2024-2025學(xué)年上海虹口區(qū)高三數(shù)學(xué)0.5模試卷及答案（2024.11）（含答案）

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、選擇題13.B14.A15.C16.B三．解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）證明略（3）存在，20．（本題16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）已知甲和乙分別依次各拋擲次和次同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲和乙每次拋硬幣均互不影響．（1）若，設(shè)事件：甲拋擲的3次硬幣中至少1次正面；事件：甲拋擲的3次硬幣中有且僅有第二次是反面，判斷事件和事件是否是獨(dú)立的，并說明理由；（2）若，若甲在第次拋擲的結(jié)果與乙在第次拋擲的結(jié)果相同，則稱甲和乙“心有靈犀”，求在此情況下，甲和乙“心有靈犀”有且僅有2次的概率；（3）若，求甲拋擲次硬幣的正面數(shù)比乙拋擲次硬幣的正面數(shù)多的概率．【答案】（1）見解析;（2）;（3）.【解析】法一：（1）事件A的發(fā)生的情況包括第一第三次正面，第二次反面,即事件A包括事件B,故事件A和事件B不是獨(dú)立的.法二：,故事件和事件不是獨(dú)立的.

（2）法一：由題意知每次拋硬幣的結(jié)果相互獨(dú)立，且正反面概率均為,

則每次拋擲結(jié)果中，甲和乙"心有靈犀"的概率為.

則甲和乙"心有靈犀"有且僅有2次的概率為

法二：設(shè)事件C：甲和乙"心有靈犀"有且僅有2次，則.（3）記事件C為"甲拋擲次硬幣的正面數(shù)比乙拋擲次硬幣的正面數(shù)多",事件為"甲拋擲次硬幣的正面數(shù)比乙拋擲次硬幣的正面數(shù)多".

則根據(jù)對稱性，由拋擲的正反面概率均為，可知,從而由得.

則當(dāng)事件D發(fā)生時(shí)，無論甲第次拋擲結(jié)果如何，事件C均成立.

若拋擲次后甲拋擲硬幣正面數(shù)少于乙，則乙至少比甲多拋一次正面，從而無論甲第次拋擲結(jié)果如何，事件C均不發(fā)生.故.即所求概率為.21．（本題18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）已知為實(shí)數(shù)，記．（1）當(dāng)時(shí)，定義在上的奇函數(shù)滿足；當(dāng)時(shí)，，求的解析式；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，若對于任意，關(guān)于的不等式均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：“”是“存在正數(shù)，使得函數(shù)在處取到最小值”的充要條件．【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí),.

所以.

（2）當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，必有，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)確為偶函數(shù).此時(shí),令,解得,故當(dāng)時(shí),,函數(shù)是嚴(yán)格減函數(shù);當(dāng)時(shí),,函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù),結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù),所以等價(jià)于.

化簡得,即對恒成立.

令,則有當(dāng)時(shí),為嚴(yán)格減函數(shù),當(dāng)時(shí),為嚴(yán)格增函數(shù),結(jié)合,可知,解得.（3）充分性：當(dāng)時(shí)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且,,設(shè)在時(shí)恒大于零,故在上是嚴(yán)格增函數(shù),故,故.又由于的圖像是連續(xù)曲線,由零點(diǎn)存在性定理,可知存在,使得,由在上是嚴(yán)格增函數(shù),可知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),且當(dāng)時(shí),是嚴(yán)格減函數(shù),當(dāng)時(shí),是嚴(yán)格增函數(shù)，故函數(shù)在處取到最小值.

必要性:當(dāng)存在正數(shù)，使得函數(shù)在處取到最小值，必有

當(dāng)時(shí),在R上是嚴(yán)格增函數(shù),不存在最小值,故,

所以在上是嚴(yán)格增函數(shù),由于,所以,即,故.因此,""是"存在正數(shù),使得函數(shù)在處取到最小值"的充要條件.

注：

1.若通過