2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.兩條平行直線3x?y?1=0與3x?y+3=0A.4 B.23 C.2 2.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a7A.52 B.104 C.208 D.4163.已知{a,b,A.a+b，a?b，c B.a+c，b+2a，b?2c

C.a+4.已知邊長為2的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是橢圓的左、右焦點(diǎn)和短軸兩個(gè)端點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.x28+y24=1 B.5.一條光線從點(diǎn)P(0,4)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C:x2+y2?6x+8=0相切于點(diǎn)M，則光線從PA.4 B.5 C.26 6.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為ABCD的中心，側(cè)棱AA1A.90° B.60° C.45°7.已知圓C1:x2+y2=aA.2 B.22 C.2或2+2 8.“垛積術(shù)”是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中記載了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的堆垛(俯視如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球，?)，現(xiàn)有1600個(gè)相同的小球，則可擺“三角形垛”的最多層數(shù)為(????)(參考公式：12+22A.21 B.20 C.19 D.18二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知方程：(m?1)x2+(5?m)y2=(m?1)(5?m)(其中mA.若m=1，則方程表示y軸 B.若m=3，則方程表示圓

C.若m<1，則方程表示橢圓 D.若m>5，則方程表示雙曲線10.已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足anA.a1=2 B.a2<2 C.{a11.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.當(dāng)x=1時(shí)，DP與AC所成角為90°

B.當(dāng)y=1時(shí)，平面ADP與平面BCP所成角的最大值為60°

C.當(dāng)x2+y2=1時(shí)，DP與平面ABB1A1所成角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(2,?1,?3)，b=(2,?2,x)，且a⊥b，則x的值為13.已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，?，118及2，8，14，?，116，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為

．14.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2作傾斜角為5π6的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在等比數(shù)列{an}中，a(1)求{an(2)若{an}為遞增數(shù)列，bn=log2a16.(本小題12分)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，B(0,?1)，并且圓心C在y軸上．(1)求圓C的方程;(2)記過點(diǎn)B的直線l與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)△ABD的面積為4時(shí)，求直線l的方程．17.(本小題12分)

如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，∠BDC=90°，AD=BD=CD=4，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．(1)證明：PQ//平面BCD;(2)求平面DPQ與平面MPQ夾角的余弦值．18.(本小題12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:x?y?2=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于M(1)若|MN|=210，求拋物線C(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q．?①求p的取值范圍;

?②證明：以MN為直徑的圓過P，Q兩點(diǎn)．19.(本小題12分)若n項(xiàng)數(shù)列{an}同時(shí)滿足i=1nai=0，i=1(1)若等比數(shù)列{an}為“6階0?1數(shù)列”，寫出(2)若等差數(shù)列{an}為“2k?1階0?t數(shù)列”(k≥2且k∈N?，t∈N?)，求{an(3)記“n階0?t數(shù)列”{an}的前k項(xiàng)和為Sk(k=1,2,3,?,n)，若存在m∈{1,2,3,?,n}，使Sm=t2，判斷數(shù)列{Sn參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.C

6.A

7.D

8.B

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.2

13.560

14.215.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由a2a3=8a1+a4=9，得a12q3=8a1+a1q3=9，有a12?9a1+8=0，解得a1=1或a16.解：(1)方法一：因?yàn)锳(2,1)，B(0,?1)，則kAB=1，

且AB的中點(diǎn)為(1,0)，

則AB的垂直平分線的方程為y=?(x?1)=?x+1，

因?yàn)閳A心C在y上，令x=0，得y=1，即點(diǎn)C(0,1)，

又因?yàn)閞=|AC|=2，

所以圓C:x2+(y?1)2=4．

方法二：設(shè)圓心C(0,b)

因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，B(0,?1)，

所以|AC|2=|BC|2，即22+(1?b)2=(b+1)2，

解得b=1，即點(diǎn)C(0,1)，

又因?yàn)閞=|AC|=2，

所以圓C;x2+(y?1)2=4．

(2)1°.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為：x=0，

令x=0，得(y?1)2=4，所以y=3或?1，即D(0,3)，

此時(shí)|BD|=4，而點(diǎn)A(2,1)到l的距離為2，△ABD的面積為12×2×4=4滿足要求，

所以l:x=0滿足要求：

2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為：y=kx?1．

點(diǎn)A(2,1)到l的距離?=2|k?1|1+k2．17.解：(1)證明：方法一：取MD中點(diǎn)E，連接PE，QE．

因?yàn)镻、E分別為BM、MD中點(diǎn)，所以PE/?/BD，

又PE?平面BCD，BD?平面BCD，

所以PE//平面BCD，

因?yàn)锳M=MD=2ED，所以AE=3ED，又AQ=3QC，所以QE/?/CD，

又QE?平面BCD，CD?平面BCD，

所以QE//平面BCD，又PE∩QE=E，PE，QE?平面PQE，所以平面PQE//平面BCD，

又PQ?平面PQE，所以PQ//平面BCD．

方法二：取BD中點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QH//AD交CD于點(diǎn)H，

因?yàn)镻，G分別為BM，BD的中點(diǎn)，所以PG//AD．

因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以PG=14AD．

又AQ=3QC，所以QH=14AD，

所以PG//QH，且PG=QH，即四邊形PGHQ為平行四邊形，

所以PQ//GH．

因?yàn)镻Q?平面BCD，GH?平面BCD，

所以PQ/?/平面BCD．

方法三：以D為原點(diǎn)，直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意可得A(0,0,4)，C(0,4,0)，P(2,0,1)，

由AQ=34AC，得Q(0,3,1)，所以PQ=(?2,3,0)．

取平面BCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1)，

所以PQ?n=0，即PQ⊥n．

因?yàn)镻Q?平面BCD，

所以PQ//平面BCD．

(2)以D為原點(diǎn)，直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镈A=DB=DC=4，

則B(4,0,0)，C(0,4,0)，A(0,0,4)，M(0,0,2)，P(2,0,1)，

由AQ=34AC，得Q(0,3,1)，

設(shè)平面DPQ的法向量為m=x1,y1,z1，

則m·DP=2x1+z1=0m·DQ=3y1+z1=0,18.解：(1)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，聯(lián)立方程y2=2pxx?y?2=0,

得：y2?2py?4p=0，

得Δ>0y1+y2=2p,y1y2=?4p

|MN|=(1+12)[(y1+y2)2?4y1y2]=2(4p2+16p)=210，

解得p=1，所以拋物線C的方程為y2=2x．

(2)?①依題意可知直線l垂直平分線段PQ，

所以直線PQ的斜率為?1，設(shè)其方程為y=?x+b，

代入y2=2px中消去x可得到：y2+2py?2pb=0(?)，

設(shè)P(x3,y3)，Q(x4,y4)，

所以Δ=4p2+8pb>0y3+y4=?2py3y4=?2pb，

故PQ的中點(diǎn)G在直線l上，所以G(2?p,?p)，

又因?yàn)镚在直線PQ:y=?x+b上，所以b=2?2p，

因?yàn)榉匠??)有兩個(gè)相異實(shí)根，所以Δ=4p2+8pb>0，解得0<p<43，

故所求p的取值范圍是(0,43).

?②設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，

方法一：19.解：(1)設(shè)a1，a2，a3，a4，a5，a6是公比為q的等比數(shù)列，由題意q≠1，

則有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，即a1(1?q6)1?q=0，解得q=?1，

又因?yàn)閨a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=1，所以6|a1|=1，解得a1=±16，

所以數(shù)列的各項(xiàng)為16，?16，16，?16，16，?16或?16，16，?