2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷六-不等式【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷六-不等式一、選擇題1．已知，，記，，則M與N的大小關(guān)系是()A. B. C. D.無法確定2．若a，b是任意實(shí)數(shù)，且，則()A. B. C. D.3．定義，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.4．某單位在對(duì)一個(gè)長(zhǎng)，寬的矩形空地進(jìn)行綠化，設(shè)計(jì)方案初步確定為：中間為矩形綠草坪，四周是等寬的花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，則花壇寬度x（m）的取值范圍為()A. B. C. D.5．已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，且實(shí)數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C.或 D.或6．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.或C. D.或7．某服裝加工廠為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本，已知購(gòu)買m臺(tái)設(shè)備的總成本為（單位：萬元）.若要使每臺(tái)設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購(gòu)買設(shè)備()A.100臺(tái) B.200臺(tái) C.300臺(tái) D.400臺(tái)8．設(shè)，，且，則的最小值是()A.1 B.2 C.4 D.8二、多項(xiàng)選擇題9．不等式對(duì)任意的恒成立，則()A. B. C. D.10．若，，且，則()A.mn的最大值為 B.的最小值為5C.的最小值為 D.的最大值為11．若a，b，，則下列命題正確的是().A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則三、填空題12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍為___________.13．已知不等式的解集是，則不等式的解集是__________.14．已知，則的最小值為__________.四、解答題15．關(guān)于x的不等式的解集為或.（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）求關(guān)于x的不等式的解集.16．如圖1所示為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一——走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日.燈內(nèi)點(diǎn)上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動(dòng).輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖象便不斷走動(dòng)，因剪的圖象為古代武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)看起來好像幾個(gè)人你追我趕一樣，故名走馬燈.現(xiàn)打算做一個(gè)體積為的長(zhǎng)方體狀的走馬燈（題中不考慮木料的厚薄粗細(xì)）.（1）若底面大矩形的周長(zhǎng)為，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，底面面積最大？（2）若燈籠高為，現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架（如圖2），當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，框架用料最少？17．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：（1）；（2）.18．為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.（1）要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？（2）是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.19．書籍《見微知著》中談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.閱讀材料：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有整體觀察、整體設(shè)元、整體代入、整體求和等.例如，已知，求證：.證明：原式.波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長(zhǎng).”同理，我們有更多的式子滿足以上特征.請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題.（1）已知，求的值.（2）若，解關(guān)于x的方程.（3）若正數(shù)a，b滿足，求的最小值.參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題1．答案：B解析：因?yàn)椋?，所以，，所以，所?2．答案：C解析：對(duì)于A，，因?yàn)?，所以，但是a的符號(hào)不確定，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，但是a的符號(hào)不確定，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，所以D錯(cuò)誤.3．答案：C解析：方法一：等價(jià)于，即，所以，解得.方法二：等價(jià)于，即.因?yàn)?，所以，所?4．答案：B解析：因?yàn)榛▔膶挾葹?，所以綠草坪的長(zhǎng)為，寬為，綠草坪面積為，總面積為.根據(jù)題意可得，整理得，解得或.由題意知解得，所以.故選B.5．答案：D解析：由不等式的解集，可得一元二次方程的根為，，則，，由，得或.由，得，即，解得或.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.6．答案：D解析：由兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).由不等式有解，得，解得或.7．答案：B解析：由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以應(yīng)購(gòu)買200臺(tái).8．答案：A解析：方法一：因?yàn)?，，且，所以，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).方法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).二、多項(xiàng)選擇題9．答案：ACD解析：可整理為，則，故A正確.當(dāng)，時(shí)，滿足，即原不等式成立.B錯(cuò)誤；由，得，所以.C正確；.D正確.故選：ACD.10．答案：ABC解析：A√因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.B√，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.C√，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，等號(hào)成立.D×，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.11．答案：BC解析：對(duì)于A，取，，則不成立.對(duì)于B，若，則，.對(duì)于C，若，則，，.對(duì)于D，若且，則，，而b可能為0，因此不正確.三、填空題12．答案：解析：設(shè)，則解得.，，，，.13．答案：或解析：因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，?和3是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得因?yàn)椴坏仁剑?，即，解得?14．答案：解析：因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立.四、解答題15．答案：（1）（2）解析：（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以解得所以不等式化為，解得，所以所求不等式的解集?（2）由（1）知不等式可化為，即，即，即，解得，所以所求不等式的解集為.16．答案：（1）40（2）當(dāng)長(zhǎng)為，寬為時(shí)，用料最少解析：（1）設(shè)大矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，依題有，即，則底面面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，底面面積最大.（2）依題有，框架用料最少等價(jià)于底面用料為最小即可，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)長(zhǎng)為，寬為時(shí)，用料最少.17．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）證明：左邊，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.故.（2）證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，所以，所以，①同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.③，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.18．答案：（1）75人（2）存在實(shí)數(shù)m滿足條件，且實(shí)數(shù)m的值為7解析：（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的人數(shù)為，年人均投入為萬元，則，解得，又，，所以調(diào)整后的技術(shù)人員最多有75人.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件.由條件①，得，解得.又，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值7，所以.由條件②，得，不等式兩邊同除以ax，得，