2025年春新北師大版數(shù)學七年級下冊課件 第一章 整式的乘除 3 乘法公式 第1課時 平方差公式的認識

北師版七年級數(shù)學下冊3乘法公式第1課時

平方差公式的認識問題導入老王在某開發(fā)商處預定了一套邊長為x米的正方形戶型，到了交房的日子，開發(fā)商對老王說:“你定的那套房子結(jié)構(gòu)不好，我給你換一個長方形的戶型，比原來的一邊增加5米，另一邊減少5米，這樣好看多了，房子總價還一樣，你也沒有吃虧，你看如何?”老王一聽覺得沒有吃虧就答應了。你覺得老王吃虧了嗎?新課探究（1）(x+2)(x–2)（2）(1+3a)(1–3a)（3）(x+5y)(1–5y)（4）(2y+z)(2y–z)=x2–2x+2x–4=x2–4=1–3a+3a–9a2=1–9a2=x2–5xy+5xy–25y2=x2–25y2=4y2–2yz+2yz–z2=4y2–z2用多項式與多項式相乘的運算法則計算下列多項式的積：兩數(shù)的___兩數(shù)的___中間項抵消了兩數(shù)_____的___和差差平方你發(fā)現(xiàn)了什么?兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的平方的差。你能再舉一些類似的例子驗證一下你的發(fā)現(xiàn)嗎?

(a+b)(a-b)=a2

-

b2（1）(3m+1)(3m

-1);（2）(x2+y)(x2

-

y).=9m2

-3m+3m-1=9m2

–1。=x4

-

x2y+yx2

-

y2=x4

-

y2。（1）(3m+1)(3m

-1)（2）(x2+y)(x2

-

y)你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。平方差公式：平方差公式是多項式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。相反項

相同項注意用誰減誰相同項2-相反項2例1利用平方差公式計算：（1）(5+6x)(5–6x)；（2）(x–2y)(x+2y)；（3）(–m+n)(–m–n)。解：（1）(5+6x)(5–6x

)=52–(6x)2=25–36x2

；（2）(x–2y)(x+2y

)=x2–

(2y)2=x2–4y2；（3）(–m+n)(–m–n)=(–m)2–n2=m2–n2。ab總結(jié):關(guān)鍵是先確定相同項“a”和相反項“b”。（1）(a

+2)(

a

–2)

；

（2）(3a+2b)(3a–2b)。解:（1）

(a

+2)(

a

–2)

（2）(3a+2b)(3a–2b)=

a2

–22=(3a)2

–(2b)2=

a2

–4=9a2

–4b2計算：

隨堂練習

例2利用平方差公式計算

（2）(ab+8)(ab–8)。

（2）(ab+8)(ab–8)=(ab)2

–82=a2b2

–64。如何計算(a–b)(–a–b)?你是怎樣做的?

(a–b)(–a–b)=–(a–b)(a+b)=–(a2–b2)=b2–a2嘗試·思考注意:對于不能直接應用公式的，

可能要經(jīng)過變形才可以應用。（1）(–

x

–1)(1–x)

；

（2）(–4k+3)(–4k–3)。解:（1）

(–

x

–1)(1–x)

（2）(–4k+3)(–4k–3)=(–

x)2

–12=(–4k)2

–32=

x2

–1計算：=16k2

–9

隨堂練習（1）(an+b)(an–b)解（1）(an+b)(an–b)

=(an)2–b2

=a2n–b2（2）(a+1)(a–1)(a2+1)（2）(a+1)(a–1)(a2+1)

=(a2–1)(a2+1)

=(a2)2–1

=

a4–1

隨堂拓展隨堂演練1.下列式子能用平方差公式計算嗎?①(–3x+2)(3x–2)

②(b+2a)(2a–b)③(–x+2y)(–x–2y)

④(–x+y)(x–y)

不能不能

能，4a2–b2

能，x2–4y22.下列多項式中，可以用平方差公式計算的是（）A.(2a–3b)(–2a+3b)B.(–3a+4b)(–4b–3a)C.(a–b)(b–a) D.(a–b–c)(–a+b+c)B解析：(–3a+4b)(–4b–3a)=(–3a+4b)(–3a–4b)=9a2–16b23.下列計算結(jié)果正確的是()A.(x+2)(x–2)=x2–2 B.(x+2)(3x–2)=3x2–4C.(ab–c)(ab+c)=a2b2–c2

D.(–x–y)(x+y)=x2–y2Cx2–43x2+4x–4–x2–y2–2xy4.計算（1）(–3x–7y)(3x–7y)；

（2）(0.2x–0.3)(0.2x+0.3)；

（3）(mn–3n)(mn+3n)；

（4）(–2x+3y)(–2x–3y)。解：（1）(–3x–7y)(3x–7y)=(–7y)2–(3x)2=49y

2–9x2（2）(0.2x–0.3)(0.2x+0.3)=(0.2x)2

–(0.3)2=0.04x2

–0.094.計算（1）(–3x–7y)(3x–7y)；

（2）(0.2x–0.3)(0.2x+0.3)；

（3）(mn–3n)(mn+3n)；

（4）(–2x+3y)(–2x–3y)。（3）(mn–3n)(mn+3n)=(mn)2

–(3n)2（4）(–2x+3y)(–2x–3y)=

m2n2

–9n2=(–2x)2–(3y)2=4x