2025年新高考藝術生數學突破講義專題37圓錐曲線重點常考題型之軌跡方程

專題37圓錐曲線重點常考題型之軌跡方程【考點預測】求動點的軌跡方程一、直譯法如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系且這些幾何簡單明了且易于表達，那么只需把這些關系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。二、定義法若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據定義直接求出方程中的待定系數，故稱待定系數法。三、相關點法（代入法）有些問題中，所求軌跡上點的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點相關聯的，這時要通過建立這兩點之間關系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關系式?！镜湫屠}】例1．（2024·山東泰安·一模）在平面內，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．圓【答案】D【解析】設點，點，則，.由可得：，即.所以點的軌跡為圓.故選：D例2．（2024·高二·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，動點滿足，由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，設雙曲線方程為，則有，，，所以動點的軌跡方程為.故選：D.例3．（2024·高二·江蘇常州·期中）若動點滿足方程，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知動點滿足方程，設，且，則有，故點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，且中心在原點，焦點在軸，即點的軌跡軌跡方程為橢圓的標準方程，則，，故所求軌跡方程為,故選：B.例4．（2024·高二·甘肅臨夏·期中）已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，，由點是的中點，得，可得，又點在圓上運動，所以，將上式代入可得，，化簡整理得點的軌跡方程為：.故選：B例5．（2024·高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，一動圓與軸切于點，分別過點作圓的切線并交于點(點不在軸上)，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．或D．【答案】A【解析】設分別與圓相切于點，則，，，所以，且，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支(除去與軸交點)，這里，，，則，故點的軌跡方程為.故選：A例6．（2024·廣西梧州·模擬預測）若圓與圓關于直線對稱，過點的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，因為圓與圓關于直線對稱，所以的中點滿足直線方程，解得，過點的圓P與y軸相切，設圓心P的坐標為，所以解得：，故選：C．例7．（2024·高二·全國·課時練習）等腰三角形ABC中，若底邊的兩個頂點的坐標分別為，則第三個頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，底邊的兩個頂點為，則，即第三個頂點C在線段的垂直平分線上，設，易知的中點坐標為，，所以的垂直平分線斜率，利用直線的點斜式方程可得即的垂直平分線方程為，又三點構成三角形，所以，即C的軌跡方程為.故選：C例8．（2024·高二·上海浦東新·期末）當點在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，，為中點，，則，即，又在橢圓上，，即，點軌跡方程為：.故選：D.例9．（2024·高二·廣東深圳·期末）已知點，，動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設,因為,所以又因為,所以,即得可得點的軌跡方程為故選:.例10．（2024·高三·全國·專題練習）過點且與直線相切的動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意可得，動圓的圓心到直線的距離與到點的距離相等，所以動圓的圓心是以點為焦點，直線為準線的拋物線，則其方程為．故答案為：例11．（2024·高三·全國·專題練習）已知，是圓上一動點，線段的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意，可知圓的標準方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點，如圖，∴，∴，∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故答案為：．例12．（2024·高三·全國·專題練習）若，，點P到，的距離之和為10，則點P的軌跡方程是【答案】【解析】因為，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，其中，故點P的軌跡方程為.故答案為：例13．（2024·高三·廣東東莞·階段練習）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內切，則圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設動圓P的圓心為，半徑為，由題意得，所以，所以點P的軌跡為以為焦點的橢圓，則，即，，則，所以動圓圓心的軌跡方程為，故答案為：例14．（2024·高三·全國·專題練習）已知點與點，是動點，且直線與的斜率之積等于求動點的軌跡方程;【解析】設點的坐標為，因為，所以，化簡得.故動點的軌跡方程為.例15．（2024·高三·全國·專題練習）已知圓，直線過點且與圓交于點B，C，線段的中點為D，過的中點E且平行于的直線交于點P．求動點P的軌跡方程.【解析】如圖所示，圓心，．因為D為中點，所以，即，又，所以，又E為的中點，所以為線段的垂直平分線，所以，所以，若弦為軸，此時重合，不符合題意，所以不在軸上，所以動點P的軌跡是以，為焦點的橢圓（左、右頂點除外），設動點P的軌跡方程為：，其中，，則，，所以，所以動點P的軌跡方程為：．例16．（2024·高二·全國·課堂例題）已知，動點P滿足，求動點P的軌跡方程．【解析】因為，所以根據雙曲線的定義可知，一定在1，2且焦點在x軸上的雙曲線的右支上，則，這就是說，點P的坐標一定滿足．另一方面，由可知，因此P的橫坐標要大于零，從而可知P的軌跡方程為．【過關測試】一、單選題1．（2024·高三·江西·開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設點、、，由，所以，，可得，因為正方形的面積為，即，即，整理可得，因此，動點的軌跡方程為.故選：C.2．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知點是橢圓上的動點，于點，若，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于點是橢圓上的動點，設，則，又于點，則；設，由，得，則，代入，得，即點的軌跡方程為，故選：A3．（2024·高三·江西南昌·階段練習）一動圓與圓外切，與圓內切，則動圓圓心點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；因為，可知圓與圓內切于點，顯然圓心不能與點重合，設圓的半徑為，由題意可知：，則，可知點M的軌跡是以為焦點的橢圓（點除外），且，可得，所以點的軌跡方程為.故選：D.二、填空題4．（2024·高三·山東煙臺·階段練習）已知定點B（3,0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是．【答案】．【解析】設，則，設，由為的角平分線，可得，即有，可得,，即，，可得，，則，即為．故答案為：．5．（2024·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是.【答案】或【解析】設點，依題意，，即，整理得，所以的軌跡方程是或.故答案為：或6．（2024·高三·廣東揭陽·期中）設，兩點的坐標分別為，，直線、相交于點，且它們的斜率之積是，則點的軌跡方程是.【答案】【解析】設點的坐標為，點的坐標是，所以直線的斜率.同理，直線的斜率.由已知，有，化簡，得點的軌跡方程為.所以點的軌跡是除去，兩點的橢圓.故答案為：7．（2024·高三·全國·專題練習）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【答案】【解析】設，，線段AB的中點為，連接（為坐標原點）．由題意知，則，∴點的軌跡方程為．又點在橢圓內，∴，解得：，故答案為：.8．（2024·高三·全國·專題練習）已知平面直角坐標系中有兩點，且曲線上的任意一點P都滿足．則曲線的軌跡方程為.【答案】【解析】設，由題設有，整理得到，故.故答案為：.9．（2024·高二·上海青浦·期中）已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為．【答案】【解析】設線段中點為，，則，即，因為點為圓上的點，所以所以，化簡得：故答案為：10．（2024·高三·全國·課時練習）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是.【答案】【解析】根據拋物線定義可知，點在以為焦點，直線為準線的拋物線上，所以，，拋物線方程為.故答案為：.11．（2024·高二·四川綿陽·期中）在平面坐標系中，動點P和點滿足，則動點的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意，由得，化簡得．故答案為：．12．（2024·高二·河南信陽·期末）圓與的位置關系為；與圓，都內切的動圓圓心的軌跡方程為．【答案】內含【解析】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，所以，則兩圓內含；設動圓的圓心，半徑為，則，，依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，又，所以的軌跡方程為.故答案為：內含；.13．（2024·高三·全國·專題練習）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設圓的半徑為，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為圓與圓、圓外切，則，所以，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，又，則，所以其軌跡方程為．故答案為：．三、解答題14．（2024·高三·全國·專題練習）已知圓：，點M為圓上任意一點，，的中垂線交于點E．求點E的軌跡方程．【解析】，，的中垂線交于點E．則有，，所以E點在以，為焦點的橢圓上，設該橢圓的方程為（），半焦距為，由，得，由，得，所以．故點E的軌跡方程為．15．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知點、是距離為4的兩個定點，動點滿足，建立適當的平面直角坐標系，并求動點的軌跡方程．【解析】如圖，以直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則兩定點為、．設動點的坐標是，則，．因為，所以，化簡得．這表明，動點軌跡上任意點的坐標都滿足這個方程．反過來，設平面上一點的坐標也滿足方程，即有，則．從而以方程的解為坐標的點都在軌跡上．綜上所述，方程就是所求的動點的軌跡方程．16．（2024·高一·福建莆田·階段練習）已知圓，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設切點為M.(1)若點P運動到處，求此時切線l的方程；(2)求滿足條件的點P的軌跡方程．【解析】（1）把圓化為標準方程為，∴圓心為，半徑.當l的斜率不存在時，此時l的方程為，C到l的距離，滿足條件．當l的斜率存在時，設斜率為k，得l的方程為，即，則，解得.∴l(xiāng)的方程為，即，綜上，滿足條件的切線l的方程為或.（2）設，則，.∵，∴，整理，得，∴點P的軌跡方程為.17．（2024·高三·全國·專題練習）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.求點P的軌跡方程；【解析】設，，則，，由得.因為在C上，所以.因此點P的軌跡為.18．（2024·高三·全國·專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；【解析】設，線段的中點，因為為線段的中點，，，，即，得.所以點的軌跡方程是．19．（2024·高三·全國·專題練習）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【解析】因為圓C與圓A、圓B外切，設C點坐標，圓C半徑為，則，，所以，所以點的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.20．（2024·高三·全國·專題練習）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M.求點M的軌跡方程；【解析】由題意得，即動點M到點的距離和到直線的距離相等，所以點M的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，根據拋物線定義可知點M的軌跡方程為；21．（2024·高三·全國·專題練習）已知為坐標原點，定點，是圓內一動點，圓與以線段為直徑的圓內切．求動點的軌跡方程.【解析】令，則以線段為直徑的圓的圓心為，又在圓內，且圓與以線段為直徑的圓內切，，整理可得：，，即，，整理可得：，又是圓內一動點，，則的軌跡方程為：.22．（2024·高三·全國·專題練習）已知是圓內的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．【解析】連接AB，PQ，設AB與PQ交于點M，如圖所示．因為四邊形APBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點，連接OM.由垂徑定理可知設由此可得①又在中，有②由①②得故點M的軌跡是圓．因為點M是PQ的中點，設則代入點M的軌跡方程中得，整理得，即為所求點Q的軌跡方程．23．（2024·高三·全國·專題練習）雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程.【解析】依題意，設點坐標各為，因為在雙曲線中，則，所以，因為，所以，由三角形重心坐標公式有，即，因為，所以，已知點在雙曲線上，將上面結果代入已知曲線方程，有，即所求重心的軌跡方程為：.24．（2024·高三·全國·專題練習）已知點P，Q是圓上的兩個動點，若直線OP與OQ的斜率都存在且滿足．當時，求PQ的中點M的軌跡方程；【解析】設點，，.如圖所示：點P，Q是圓上的兩個點，直線OP與OQ的斜率都存在.，.當時，，，為等腰直角三角形.點M是PQ的中點在中，由兩點間距離公式得，其中，即，所以PQ的中點M的軌跡方程為．25．（2024·高三·全國·專題練習）在中，的對邊分別為（其中為定值），以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系（如圖），請你給出適當的條件，求出頂點的軌跡方程．

【解析】若條件為.當時，頂點的軌跡為線段的中垂線，方程為；若條件為.當時，頂點的軌跡為以原點為圓心，以為半徑的圓，方程為；若條件為頂點到軸的距離等于.當頂點到軸的距離等于時，頂點的軌跡為以為焦點，以軸為準線的拋物線，方程為；若條件為或.當或時，頂點的軌跡為以A、為左右焦點，以2c為長軸的橢圓，方程為；若條件為周長為定值．當周長為定值時，頂點的軌跡為以A、為左右焦點，以為長軸的橢圓，方程為；若條件為或．當或時，頂點的軌跡為以A、為左右焦點，以為實軸的雙曲線，方程為；若條件為.當時，頂點的軌跡為以A、為左右焦點，以為實軸的雙曲線的左支，方