2024年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)基本不等式試卷

2.2基本不等式（精講）一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．二．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.三．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．基本不等式求最值滿足條件利用基本不等式求最值時(shí),要注意其必須滿足的三個(gè)條件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù).(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí),必須驗(yàn)證等號成立的條件,若不能取等號,則這個(gè)定值就不是所求的最值.二．利用基本不等式求最值常見形式與方法（1）配湊法①形如f(②配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形,配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.（2）常值代換法已知形如或可化為x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by的最值以及形如或可化為ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解時(shí)要注意將已知條件變形為“1”的形式,將ax+by看作是(ax+b（3）消元法對于二元變量的條件最值問題,若不能夠化為“角度三”的類型,常用其中一個(gè)變量表示另一個(gè)變量,將待求式化為一個(gè)變量的關(guān)系式后求最值,此類要注意所保留變量的取值范圍.三．恒（能）成立含參數(shù)的問題①分離參數(shù)法：則常將參數(shù)分離后,利用最值轉(zhuǎn)化法求解分離參數(shù)法分離參數(shù)法利用基本不等式求解實(shí)際問題(1)根據(jù)題意將待求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)后,將實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析后,再將函數(shù)解析式變形利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.考法一直接法求最值【例1-1】（2023廣西）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【解析】∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故函數(shù)的最小值為4.故選：D.【例1-2】（2022·北京大興）當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最大值為故選：B【例1-3】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】，因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號，故選：C【一隅三反】1．（2022·廣東茂名）若a，b都為正實(shí)數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋紴檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D2．（2023云南）若,那么的最小值是（

）A．64 B．128 C． D．【答案】A【解析】(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號).故選A3．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：A.4．（2023·廣西柳州·柳州高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由已知可得.因?yàn)椋?，由基本不等式知，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以，所以，所以，所以的最小值為2.故選：D.考法二配湊法求最值【例2-1】（2023內(nèi)蒙古）已知x＞1，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．12 D．10【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為10.故選：D【例2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【解析】令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：A【一隅三反】1．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校二模）函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因?yàn)?，所?x－1>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號成立，故函數(shù)的最小值為5．選：D．2．（2023·云南）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因?yàn)樗裕?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立故最小值為，故選：A3．（2022·江蘇）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．故選：B．4．（2023北京）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，所以即函數(shù)的最大值是.故選：C.考法三常數(shù)替代求最值【例3-1】（2022·安徽）已知，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號；故選：C【例3-2】（2023春·湖南）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以.又，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立.所以，的最小值是.故選：C.【例3-3】．（2022·貴州畢節(jié)）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【解析】由于，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.故選：C．【例3-4】（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值是______．【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，的最小值是.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．【答案】/【解析】因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，則,則,當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即，時(shí)取等號，故答案為：2．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，所以，因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以的最小值為，故選：A.考法四消元法求最值【例4】（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【解析】由題意，，得，故，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，即，故的最小值是13，故選：C【一隅三反】1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】已知，且xy+2x+y=6，y=2x+y=2x+=2(x+1)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故2x+y的最小值為4.故選:A2．（2022·河南·鄭州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，則（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴有最小值故選：D.3．（2022·遼寧丹東）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以的最小值為.故選：B.考法五基本不等式解成立問題【例5-1】（2023·河南）若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，的最大值為，所以，解得的取值范圍為．故選：B【例5-2】（2023·山西）已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)的最小值為9，因?yàn)橛薪猓?，即，解得或，故選：A【一隅三反】1．（2023·四川南充）已知實(shí)數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．因不等式恒成立，只需，因此，故實(shí)數(shù)的最大值為25．故選：D2.（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）當(dāng)，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為．所以，即．3．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以由可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，故選：B．考法六基本不等式解實(shí)際問題【例6】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由題意可得：該設(shè)備年平均費(fèi)用，∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為9.故選：C.【一隅三反】1．（2023·北京）設(shè)計(jì)用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【解析】設(shè)長方體車廂的長為xm，高為hm，則，即，∴，即，解得，∴．∴車廂的容積為．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號成立．∴車廂容積的最大值為．選B．2．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國家號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，．每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件【答案】D【解析】由題意得，銷售收入為100x萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，利潤；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，利潤．所以利潤因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．又，所以當(dāng)時(shí)，所獲利潤最大，最大值為1000萬元．故選:D．3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機(jī).某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時(shí)，，該款汽車售價(jià)為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（

）A．1500萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．3800萬元【答案】C【解析】設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為（萬元），由題意可知，，即，當(dāng)時(shí)，的對稱軸，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值2200.綜上，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選：C.考法七基本不等式與其他知識綜合【例7-1】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，故最大值為.故選：C【例7-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【解析】對求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：D．【一隅三反】1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最大值為8．故選：B．2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是______.【答案】【解析】函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)，則，所以，由，得，則令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取等號，所以的最小值是.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題