2024-2025學(xué)年吉林省白城市高一上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省白城市高一上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可將轉(zhuǎn)化為：或，解得答案．【詳解】函數(shù)，函數(shù)在，上為減函數(shù)，在(0,+∞)上函數(shù)值保持不變，若，則或，解得：，故選：．本題主要考查的知識點是分段函數(shù)的解析式、單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，難度中檔．2.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x應(yīng)為（）A.10m B.15m C.20m D.25m【正確答案】C【分析】設(shè)出矩形花園的寬為ym，根據(jù)相似得到方程，求出，從而表達(dá)出矩形花園的面積，配方求出最大值，并得到相應(yīng)的.【詳解】設(shè)矩形花園的寬為ym，則，即，矩形花園的面積，其中，故當(dāng)m時，面積最大.故選：C3.若是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則下列四個命題中正確的有（1）若，則；（2）若，則；（3）若是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)；（4）若是奇函數(shù)，則．A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【正確答案】A【分析】利用單調(diào)性判斷①；利用單調(diào)性與反證法判斷②；利用奇偶性的定義判斷③;利用奇偶性以及單調(diào)性判斷④.【詳解】對于①,是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),若,則,故①正確;

對于②,當(dāng)時,若,由是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)得與已知矛盾,故②正確;

對于③,若是奇函數(shù),則,也是奇函數(shù),故③正確;

對于④,當(dāng)是奇函數(shù),且是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)時,若,則,

若,故④正確;

故選A.本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.4.已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用一元二次方程有解，可得判別式大于等于零可求解.【詳解】由題意知，關(guān)于x的一元二次方程有解，則，即，解得或.所以的取值范圍是.故選：C.5.設(shè)是兩個實數(shù)，命題“中至少有一個數(shù)大于1”的充分條件是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】用賦值法，取不同的x與y代入，可排除A、C、D.【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足，但命題不成立；對于C，D，當(dāng)時，滿足，，但命題不成立.故選：B.6.當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)最值分析求解.【詳解】記，則．而，當(dāng)時，，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選C．7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意的，，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】確定數(shù)在上單調(diào)遞增，是上的偶數(shù)，變換得到，，，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，是上的奇函數(shù)，故是上的偶數(shù)，，，.，故.故選：A8.若定義在上的函數(shù)同時滿足：①為奇函數(shù)；②對任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題意可以推出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，然后對進(jìn)行分類討論解不等式即可.【詳解】因為對任意的，且，都有，即對任意兩個不相等的正實數(shù)不妨設(shè)，都有，所以有，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，又因為為奇函數(shù)，即有，有，所以有，所以為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)，即時，有,由，得，所以，解得，此時無解；當(dāng)，即時，由，得，所以，解得或．綜上所述，不等式的解集為．故選：C.關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是由已知條件去構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合已知導(dǎo)出其函數(shù)性質(zhì)，從而分類討論解不等式即可.二、多項選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.設(shè)函數(shù)的定義域為，對于任一給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則稱函數(shù)為的“界函數(shù)”.若給定函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】結(jié)合“界函數(shù)”的定義可確定函數(shù)解析式，再結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)值，進(jìn)而判斷各選項.【詳解】因為，，令，即，解得，則，A選項：，，即，A選項正確；B選項：，，即，B選項錯誤；C選項：，即，C選項正確；D選項：，，即，D選項正確；故選：ACD.10.以數(shù)學(xué)家約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚沟拿置摹案咚购瘮?shù)”為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，則（）A.，B.不等式的解集為C.當(dāng)，的最小值為D.方程的解集為【正確答案】AB【分析】設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，則得到A正確，解不等式得到，計算B正確，均值不等式等號條件不成立，C錯誤，舉反例得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，的整數(shù)部分為，，故，正確；對選項B：，則，故，正確；對選項C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，不成立，故等號不成立，錯誤；對選項D：取，則，代入驗證成立，錯誤；故選：AB11.若存在常數(shù)k和b使得函數(shù)和分別對其定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，若使直線為函數(shù)和之間的隔離直線，則實數(shù)b的取值可以為（）A.0 B.－1 C.－3 D.－5【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意得到，計算得到一個范圍，再根據(jù)雙勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最大值，綜合得到答案.【詳解】，即恒成立，故，解得；，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故.綜上所述.故選：BC.（2023·浙江省余姚中學(xué)期中）12.已知，則（）A.的最大值為B.的最小值為4C.的最小值為D.的最小值為16【正確答案】BCD【分析】A選項，對不等式變形為，利用基本不等式得到，求出的最大值；B選項，將不等式變形為，利用基本不等式得到，求出的最小值；C選項，對不等式變形為，利用求解的最小值；D選項，不等式變形為，利用基本不等式求出和的最小值.【詳解】由得：，因為，所以，所以，由基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，解得：或，因為，所以舍去，故的最大值為2，A錯誤；由得：，因為，所以，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，解得：或，因為，所以舍去，故的最小值為4，B正確；由變形為，則，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，令，則由，解得：或（舍去）所以的最小值為，C正確；由可得：，從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，故最小值為16.故選：BCD，三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知實數(shù)，，且，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】利用可得，根據(jù)和基本不等式求出的最小值，從而可得解.【詳解】根據(jù)題意得到，變形為，則,因為，故得到,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故故答案為.本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題14.若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)解，則不等式的解集__________．【正確答案】【詳解】試題分析：因為關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)解，所以，可得，故答案為．考點：1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2、不等式的性質(zhì)．15.若，，則的最小值為___________.【正確答案】4【詳解】，（前一個等號成立條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時取得，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.【考點】均值不等式【名師點睛】利用均指不等式求最值要靈活運用兩個公式，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；（2），，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.16.若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，且時，有，的最大值為，最小值為，則______，的值為______．【正確答案】①.2023②.4046【分析】根據(jù)題意，取特殊點，結(jié)合單調(diào)性的定義，可得答案.【詳解】∵對于任意的，都有，∴令，得，再令，將代入可得，設(shè)，則，∴，又，∴可得，即函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，∴，，又∵，∴的值為4046．故2023；4046四、解答題：寫出必要的文字描述、解題過程.共6題.17.經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間有函數(shù)關(guān)系：．（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時車流量最大？最大車流量為多少？（精確到）（2）為保證在該時段內(nèi)車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【正確答案】（1）當(dāng)（千米/小時）時，車流量最大，最大值約千輛/小時；（2）汽車的平均速度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)（單位：千米/小時）.【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論；（2）解不等式即可得解.【小問1詳解】解：，（千輛/小時），當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)（千米/小時）時，車流量最大，最大值約為千輛/小時.【小問2詳解】解：據(jù)題意有，即，即，解得，所以汽車的平均速度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)（單位：千米/小時）.18.（1）若，求的取值范圍；（2）若（），求關(guān)于的不等式的解集.【正確答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）對分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出的取值范圍；（2）原不等式等價于.再對分類討論解不等式得解.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式可化為，顯然在R上不恒成立，所以.當(dāng)時，則有解得.故的取值范圍為.（2）等價于.①當(dāng)時，，原不等式的解集為?∞,1.②當(dāng)時，，原不等式的解集為.③當(dāng)時，.若，原不等式的解集為R；若，原不等式的解集為；若，原不等式的解集為.本題主要考查二次型不等式的恒成立問題，考查解二次型的不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知關(guān)于的不等式的解集為，試求關(guān)于的不等式的解集．【正確答案】或x>1．【分析】由題意可知，關(guān)于的方程的兩個根為、，利用韋達(dá)定理可求得、的值，進(jìn)而可求得不等式的解集.【詳解】由題意可知，關(guān)于的方程的兩個根為、，由韋達(dá)定理得，即，所以，不等式，即，解得或.因此，不等式的解集為或x>1．本題考查一元二次不等式的求解，同時也考查了利用一元二次不等式的解集求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù).（1）用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x)；（2）畫出函數(shù)f(x)的圖象；（3）寫出函數(shù)f(x)的值域.【正確答案】（1）；（2）圖象答案見解析；（3）.【分析】（1）分和兩種情況去掉絕對值可求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的解析式畫出函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可求出函數(shù)的值域【詳解】（1）.（2）函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示.（3）由圖得函數(shù)f(x)的值域為.此題考查分段函數(shù)，考查由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求出函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上的最大值為．（i）求實數(shù)a的值；（ii）若函數(shù)，是否存在正實數(shù)b，使得對區(qū)間上任意三個實數(shù)r，s，t，都存在以，，為邊長的三角形？若存在，求實數(shù)b的取值范圍；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）在和上單調(diào)遞增（2）（i）；（ii）存在，【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷單調(diào)性；（2）（i）根據(jù)題意，分別對和兩種情況討論單調(diào)性，即可得出結(jié)果；（ii）由題意，可證得在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，設(shè)，，則，從而把問題轉(zhuǎn)化為，時，求實數(shù)的取值范圍．結(jié)合的單調(diào)性，分，，，四種情況討論即可求得答案.【小問1詳解】由題意得．設(shè)且，則，因為，所以，，當(dāng)時，，即.所以在上單調(diào)遞增；同理可得，在上單調(diào)遞增.故在和上單調(diào)遞增.【小問2詳解】（i）在區(qū)間上的最大值為．①當(dāng)時，同理（1）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得（舍去）；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得．綜上所述，．（ii）由（i）知，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴，即，∴在區(qū)間上的值域為．討論函數(shù)：令，則，當(dāng)時，，所以，為減函數(shù)；當(dāng)時，，所以，為增函數(shù)；∴在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，令，則，∴．在區(qū)間上任意三個實數(shù)r，s，t，都存在以，，為邊長的三角形，等價于，．①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，∴，由，即，得，∴；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，由，即，得，解得，∴；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，由，即，得，解得，∴；④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴，由，即，解得，∴．綜上所述，實數(shù)b的取值范圍為．關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是結(jié)合對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過對的分類討論從而得到不等式，解出即可.（2023·四川省攀枝花市第三高級中學(xué)月考）22.已知______，且函數(shù)．①函數(shù)在上值域為；②函數(shù)在定義域上為偶函數(shù)．請你在①②兩個條件中選擇一個條件，將上面的題目補(bǔ)無完整．（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)在上的值域；（3）設(shè)，若，使得成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）選①根據(jù)單調(diào)性及值域列方程組求解；選②利用奇偶