湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

高二數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦千凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.5 B.5.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】直接由中位數(shù)的定義即可得解.【詳解】將從小到大排列為：，這9個(gè)數(shù)的中位數(shù)為5.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式可得，進(jìn)而可得.【詳解】由不等式，得，解得，所以，又，所以，故選：D.3.已知圓柱的軸截面為正方形，表面積為，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓柱的表面積公式及體積公式直接求解.【詳解】由已知可設(shè)圓柱底面半徑為，由圓柱的軸截面為正方形可知圓柱的高，所以圓柱的表面積，所以，則體積，故選：A.4.已知函數(shù)，則“在上單調(diào)遞增”的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得解.【詳解】“在上單調(diào)遞增”當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，換言之，“在上單調(diào)遞增”的充要條件是.故選：B.5.在中，，為線段的中點(diǎn)，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及共線定理可得參數(shù)值，進(jìn)而可得解.【詳解】由已知，則，又為線段的中點(diǎn)，所以，所以，即，，所以，故選：C.6.已知在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式可得的三角函數(shù)值，再利用余弦定理可得解.【詳解】由已知的面積，則，又，且，所以，，由余弦定理可得，即，故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算公式及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.【詳解】由，又，且，所以，又，所以，故選：B.8.若當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后找出有4,5個(gè)交點(diǎn)臨界狀態(tài)的解即可.【詳解】如圖所示，畫(huà)出在的圖象，也畫(huà)出的草圖，函數(shù)與的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則將的第4個(gè)，第5個(gè)與x軸交點(diǎn)向處移動(dòng)即可.滿足，解得．故選：C．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn).是純虛數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷各選項(xiàng).【詳解】由，得，設(shè)，則，所以，所以，解得，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，B選項(xiàng)正確；且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第四象限，C選項(xiàng)正確；為純虛數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值與最小值之差為1B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則是偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】將函數(shù)通過(guò)恒等變換化為，后按照最值，單調(diào)區(qū)間，對(duì)稱中心的求法求解即可判斷ABC．D選項(xiàng)運(yùn)用圖像變換結(jié)合偶函數(shù)定義可解.【詳解】.則函數(shù),，之差為，則A正確．，則區(qū)間上有增有減，則B錯(cuò)誤.將代入解析式得，，則不是對(duì)稱中心，則C錯(cuò)誤.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.則,則是偶函數(shù)，則D正確.故選：AD11.已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中點(diǎn)，，，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A.平面B.C.該三棱柱的外接球的體積為D.三棱錐的體積恒為【答案】ABD【解析】【分析】由勾股定理可證該三棱柱為正三棱柱判斷A選項(xiàng)，再根據(jù)勾股定理可證B選項(xiàng)，根據(jù)外接球的定義可得外接球半徑與體積判斷C選項(xiàng)，根據(jù)錐體的體積公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖所示，由已知三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中點(diǎn)，則，又，，，，又，且，平面，平面，故A選項(xiàng)正確；又平面，所以，又由正三角形可知，，，平面,則平面，又平面，所以，B選項(xiàng)正確；所以該三棱柱為正三棱柱，則其外接球球心為中點(diǎn)，又，則，，所以，外接球體積，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又正三棱柱可知平面，即平面，所以到平面的距離，且，所以三棱錐體積，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，，若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可列方程，解方程即可.【詳解】由已知，，則，又，所以，又，即所以，故答案為：.13.袋子中裝有6個(gè)質(zhì)地?大小均相同的球，其中有3個(gè)紅球?2個(gè)綠球和1個(gè)藍(lán)球，若從袋子中隨機(jī)一次取出2個(gè)球，則取出的2個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】寫出基本事件，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)3個(gè)紅球分別為：，2個(gè)綠球分別為：，一個(gè)藍(lán)球?yàn)椋?，則從袋子中隨機(jī)一次取出2個(gè)球，樣本空間為：，共15個(gè)基本事件；事件“取出的2個(gè)球顏色不同”包含的基本事件有：，共11個(gè)基本事件；故所求概率為：.故答案為：.14.記為，，中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】假設(shè)最小值為t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判斷即可.【詳解】設(shè)t=min{y-x,z-y,1-z},則t≤y-x,即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,三式累加可得：4t≤1+(y-2x)≤1,所以t≤.取顯然滿足且此時(shí)t=所以故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.甲?乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，每人要射擊十次，他們前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)如下表所示：甲擊中的環(huán)數(shù)乙擊中的環(huán)數(shù)（1）求甲前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）用甲?乙前九次射擊擊中環(huán)數(shù)的頻率分布估計(jì)各自第十次射擊擊中環(huán)數(shù)的概率分布，且甲?乙每次射擊相互獨(dú)立，求甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差公式直接求解；（2）根據(jù)頻率可分別估計(jì)甲乙兩人第十次擊中環(huán)數(shù)，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的加法公式可得解.小問(wèn)1詳解】由已知，；【小問(wèn)2詳解】由已知估計(jì)得甲第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；乙第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；又甲前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，乙前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，所以若甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等，則第十次射擊甲擊中的環(huán)數(shù)需比乙少環(huán)，概率.16.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)退一相減法，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；（2）根據(jù)等差數(shù)列可得與，再利用分組求和的方程求得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，即又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，故，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，則.17.如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，為棱的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明：設(shè)，取的中點(diǎn)，證得，再由，得到是二面角的平面角，結(jié)合，即可證得平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切?，且，可?如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，所以且，所以是二面角的平面角，又由，所以，所以，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，可得，設(shè)二面角的平面角的大小為，即，所以，即二面角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，左?右頂點(diǎn)分別為，，且過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）若，為上與點(diǎn)，均不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率分別為和.（i）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷直線和的位置關(guān)系；（ii）證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).【答案】（1）（2）（i）垂直；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率可得，再代入點(diǎn)可得橢圓方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，可得，可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定，并判斷位置關(guān)系；（ii）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理，可證直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由已知設(shè)橢圓方程為，又橢圓離心率為，即，所以橢圓方程為，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，則，，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)，則，又，，因?yàn)?，所以，即，解得，則，即，，所以，即直線和垂直；（ii）由橢圓的對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，，不成立，所以直線與軸不平行，設(shè)，且，，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，又，即，即，即，化簡(jiǎn)可得，則或，又當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，所以,所以，無(wú)解，綜上所述，，直線方程為，所以恒過(guò)軸上定點(diǎn).【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若的極大值為，求的取值范圍；（3）若，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得到答案；（2）分情況討論的單調(diào)性，即可得到的取值范圍；（3）將命題轉(zhuǎn)化為證明，然后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問(wèn)1詳解】我們有.當(dāng)時(shí)，.所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，從而切線方程是.【小問(wèn)2詳