在幾何圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略

摘要：幾何圖形教學(xué)中蘊(yùn)含著歸納推理和類比推理的素材。教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真觀察圖形的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷從個(gè)別到一般的思考過程，憑借觀察所獲得的經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納的方式獲得圖形的特征，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；圓的面積；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；推理能力《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。在核心素養(yǎng)觀念下，教師應(yīng)探索如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，發(fā)展學(xué)生的思維。根據(jù)新課標(biāo)指出的“學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)的過程，認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”這一基本理念，筆者著重思考以下兩個(gè)問題：推理的本質(zhì)是什么？怎樣培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？一、以實(shí)際應(yīng)用為背景創(chuàng)設(shè)推理情境數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)中，推理能力是一種非常重要的能力，推理可以分為合情推理和演繹推理兩種。合情推理是從已經(jīng)存在的事實(shí)中，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和直覺，用歸納或類比來進(jìn)行推論的一種思維方法，通常分為歸納推理和類比推理兩種。演繹推理是由已有的事實(shí)或已知的命題，并由法則推導(dǎo)出結(jié)論的一種思維方法。合情推理不一定是對(duì)的，但往往是有創(chuàng)意的。所以，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，往往是先從合情推理中得出猜想，然后再用演繹推理來驗(yàn)證結(jié)論，這兩種方法相互補(bǔ)充，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)程以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方面都有著無可替代的作用。在小學(xué)階段，學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察與思考后，較多地運(yùn)用合情推理解決問題。推理意識(shí)的形成是學(xué)習(xí)思考的重要體現(xiàn)，它可以幫助學(xué)生養(yǎng)成說理、組織等思維方式，提升交際能力，為推理能力的形成奠定實(shí)踐基礎(chǔ)。而推理意識(shí)則是對(duì)邏輯推理過程和含義的初步認(rèn)識(shí)。下面，筆者以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”為例，談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生的推理能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！皥A的面積”是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓的特征、學(xué)會(huì)了圓周長(zhǎng)的計(jì)算以及學(xué)習(xí)過直線圍成的平面圖形面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形等圖形的面積計(jì)算；知道利用剪、拼、移的方法，研究圖形之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出公式，并滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但是，像圓這樣曲線圖形的面積計(jì)算，學(xué)生還是第一次接觸到，接受起來會(huì)有一定的難度。所以，本節(jié)課教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生處理好曲線平面圖形與直線平面圖形的關(guān)系，把曲線平面圖形轉(zhuǎn)化成直線平面圖形，從而推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。這其中的設(shè)計(jì)理念是讓學(xué)生通過詳細(xì)的實(shí)踐操作，與課件的直觀展示相結(jié)合，通過提問、解決問題、合作探索、進(jìn)行轉(zhuǎn)換的實(shí)驗(yàn)，來提高學(xué)習(xí)興趣，提升課堂教學(xué)的效率。設(shè)計(jì)思路是以求圓的面積公式為主線，充分利用課件的優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生在原有的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，借助事先準(zhǔn)備好的學(xué)具，經(jīng)過幾次例外的移拼，將改變了形狀而面積不變的圖形進(jìn)行對(duì)比，把圓的面積轉(zhuǎn)換為已學(xué)過的平面圖形來計(jì)算面積，進(jìn)而推導(dǎo)出圓的面積的計(jì)算公式。本節(jié)課一開始，教師課件演示了“工人叔叔給圓形花壇鋪草坪”的情境圖，其目的有兩個(gè)：一是對(duì)圓的面積概念的初步認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生明確——這個(gè)圓形草坪所占平面的大小，叫作這個(gè)草坪的占地面積；二是從工人叔叔所提出的問題中引出圓形花壇面積的計(jì)算，讓學(xué)生感悟要學(xué)習(xí)的內(nèi)容與身邊生活息息相關(guān)，從而為后面的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)推理情境。二、以學(xué)習(xí)任務(wù)為依托創(chuàng)設(shè)推理空間【學(xué)習(xí)任務(wù)1】采用格子計(jì)數(shù)法培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算圖形面積的能力格子計(jì)數(shù)法是指把要求計(jì)算出面積的圓放置在方格紙上，由圓在方格紙上所占的小格數(shù)量來求出圓的面積。格子計(jì)數(shù)法主要是以直觀的方式呈現(xiàn)，它在代數(shù)領(lǐng)域中運(yùn)用了直觀的教學(xué)方法，在幾何圖形的面積計(jì)算中，把復(fù)雜的曲線圖形的面積計(jì)算以一種直觀、簡(jiǎn)便的方式進(jìn)行，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。在方格紙上，每個(gè)小方格的面積是一個(gè)單位。計(jì)算圓形的面積時(shí)，用圓形在方格紙上所占格數(shù)來表示。但在計(jì)算時(shí)，因?yàn)閳A形是一種曲線形狀，它的邊緣并不能完全覆蓋整個(gè)小格，因此，在應(yīng)用格點(diǎn)計(jì)算時(shí)，需要把不完全的邊所占的小格合理地連接起來，從而達(dá)到計(jì)算小格的目的。【學(xué)習(xí)任務(wù)2】運(yùn)用極限理論構(gòu)建學(xué)生的空間感在指導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)圓的面積的過程中，極限理論起著重要作用。在運(yùn)用極限理論時(shí)，需要學(xué)生具備一定的空間構(gòu)建能力，需要在其頭腦中對(duì)思維對(duì)象進(jìn)行無限放大、縮小或無限分段的想象。當(dāng)利用極限理論來計(jì)算圓形的面積時(shí)，學(xué)生通過連接圓形的每個(gè)邊點(diǎn)和圓形中心，得到了許多相同尺寸的扇形；將這個(gè)圓形無限地分割開來，被無限劃分之后的每個(gè)扇形的邊緣都會(huì)被近似地看作是一條直線，并且將被分割后的兩個(gè)扇面拼接成一個(gè)大致的長(zhǎng)方形。最后，沒有分割的大長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)度幾乎等于圓的一半，而大的長(zhǎng)方形的寬度則與圓的半徑相等。將極限理論運(yùn)用于圓面積計(jì)算公式的演進(jìn)中，可以幫助學(xué)生建立起良好的空間觀念，使學(xué)生的整體數(shù)學(xué)能力得到全面提升，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展?！緦W(xué)習(xí)任務(wù)3】轉(zhuǎn)化思想，鍛煉學(xué)生的推理能力和思維轉(zhuǎn)換能力在利用極限思維的基礎(chǔ)上，學(xué)生應(yīng)該具有轉(zhuǎn)化的思維：把圓轉(zhuǎn)化為多個(gè)扇形。在扇面的拼接過程中，把圓面積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為拼接成的大長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算，在掌握了長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算之后，就可以推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。在推理的過程中，把圓的面積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算，還可以提升學(xué)生的推理能力和思維轉(zhuǎn)化能力。三、以學(xué)生活動(dòng)為渠道習(xí)得推理方法一是歸納推理。歸納推理指的是從個(gè)別到一般的推理方法。在“圓的面積”的推導(dǎo)中，在學(xué)生明確了圓的面積的意義基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生在紙上用圓規(guī)畫一個(gè)圓把它剪下來。學(xué)生互相觀察不同大小的圓及其對(duì)應(yīng)的面積，嘗試找出圓面積與某些幾何量（如直徑、半徑）之間的關(guān)系。學(xué)生通過多次實(shí)踐活動(dòng)歸納出圓的面積與直徑和半徑的大小有關(guān)，這是推導(dǎo)面積公式前的重要一步。二是類比推理。類比推理指的是當(dāng)兩個(gè)或兩類對(duì)象間具有某些相同或相似的屬性時(shí)，可推出它們?cè)谄渌矫嬉簿邆湎嗤蛳嗨频膶傩?。在教學(xué)“圓的面積”時(shí)，有的學(xué)生先把一個(gè)圓四等分，用半徑做邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的面積可以用r2表示；在這個(gè)圓上可以畫同樣的四個(gè)正方形，它們的面積可以用4r2表示；再在圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形由四個(gè)同樣大小的三角形組成，每個(gè)三角形面積是[12]r2，四個(gè)三角形總面積就是2r2。由于圓在這兩個(gè)正方形中間，所以學(xué)生猜測(cè)圓的面積大于2r2而小于4r2。通過這樣的猜想，學(xué)生的合情推理能力得到很大提升（如圖1）。三是極限思想和轉(zhuǎn)化思想。接下來，教師讓學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證以上的猜想。學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)提示展開活動(dòng)，把圓分成若干等份，剪開后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，看看能發(fā)現(xiàn)什么（如圖2）。有的學(xué)生把圓平均分成8份，用剪下來的圖形拼成了一個(gè)近似的平行四邊形，認(rèn)為求出了平行四邊形的面積就能求出圓的面積了。還有的學(xué)生把圓平均分成了16份、32份或48份，他們拼成的也都是近似的平行四邊形。而且，當(dāng)把圓平均分成了32份時(shí)，拼成的圖形就接近長(zhǎng)方形了。接著，教師用投影演示，把圓平均分成64份，128份再拼。這時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)把圓等分的份數(shù)越多，每一份拼成的圖形就會(huì)越接近于長(zhǎng)方形，當(dāng)?shù)确值姆輸?shù)達(dá)到無限時(shí)，即把圓平均分成無數(shù)份時(shí)，拼成的圖形就無限接近長(zhǎng)方形了。這一過程展示了從有限到無限、從近似到精確的數(shù)學(xué)思想，這對(duì)于理解圓面積的本質(zhì)具有重要意義。教師進(jìn)一步總結(jié)：這些作品都是把圓平均分成若干個(gè)小扇形進(jìn)行拼組，無論拼成的是近似的平行四邊形還是近似的長(zhǎng)方形，都是將圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形求面積，把沒學(xué)過的圖形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形，將曲線圖形轉(zhuǎn)化為近似的直線圖形，這就是轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)思想方法。教師讓學(xué)生找出拼成的圖形和圓之間有什么關(guān)系，試著推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。這種轉(zhuǎn)化的方法不僅簡(jiǎn)化了問題，也促進(jìn)了學(xué)生空間想象能力和創(chuàng)新思維的發(fā)展。幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，促使學(xué)生通過幾何圖形直觀感知了圓的面積，同時(shí)利用代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行了精確的計(jì)算和推導(dǎo)。到這里，學(xué)生已經(jīng)知道了圓的面積計(jì)算公式是：S=πr2，并且驗(yàn)證了之前猜測(cè)的圓的面積在2r2和4r2之間是對(duì)的，因?yàn)棣锌梢匀〗浦?.14。接下來，教師讓學(xué)生就用所學(xué)知識(shí)來解決之前圓形草坪的面積的問題：圓形草坪的直徑是20米，每平方米草皮8