2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第八節(jié)曲線與方程學(xué)案含解析新人教B版

PAGE1-第八節(jié)曲線與方程最新考綱考情分析1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系．2．了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法探討幾何問題的基本方法．3．能夠依據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.曲線與方程一般在客觀題中主要考查圓的方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程，以考查待定系數(shù)法和定義法為主；在主觀題中往往僅作為某一問的形式出現(xiàn)，重點(diǎn)結(jié)合圓錐曲線的其他性質(zhì)進(jìn)行綜合考查.學(xué)問點(diǎn)一曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系：那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．學(xué)問點(diǎn)二求動點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點(diǎn)和一條直線．(×)(2)動點(diǎn)的軌跡方程和動點(diǎn)的軌跡是一樣的．(×)(3)方程y＝eq\r(x)與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．(×)2．小題熱身(1)若M，N為兩個定點(diǎn)，且|MN|＝6，動點(diǎn)P滿意eq\o(PM,\s\up16(→))·eq\o(PN,\s\up16(→))＝0，則P點(diǎn)的軌跡是(A)A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線(2)平面內(nèi)到點(diǎn)(1,1)與到直線x＋2y－3＝0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是(D)A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．一條直線(3)已知點(diǎn)O(0,0)，A(1，－2)，動點(diǎn)P滿意|PA|＝3|PO|，則P點(diǎn)的軌跡方程是(A)A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\r(x－12＋y＋22)＝3eq\r(x2＋y2)，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.(4)已知F是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是x2＝2y－1.解析：因?yàn)閽佄锞€x2＝4y的焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)線段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則P(2x,2y－1)在拋物線x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化簡得x2＝2y－1.(5)已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是2x－y＋5＝0.解析：由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)則P(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.考點(diǎn)一干脆法求軌跡方程【例1】已知△ABC的三個頂點(diǎn)分別為A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2eq\r(2))，定點(diǎn)P(1,1)．(1)求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過定點(diǎn)P的直線與△ABC的外接圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求弦EF的中點(diǎn)的軌跡方程．【解】(1)由題意得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\r(2))，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，kAC＝eq\r(2)，kAB＝1，故AC的中垂線的斜率為－eq\f(\r(2),2)，AB的中垂線的斜率為－1，則AC的中垂線的方程為y－eq\r(2)＝－eq\f(\r(2),2)x，AB的中垂線的方程為y－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y－\r(2)＝－\f(\r(2),2)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))∴△ABC的外接圓圓心為(2,0)，半徑r＝2＋1＝3，故△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝9.(2)設(shè)弦EF的中點(diǎn)為M(x，y)，△ABC外接圓的圓心為N，則N(2,0)，由MN⊥MP，得eq\o(NM,\s\up16(→))·eq\o(PM,\s\up16(→))＝0，∴(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，故弦EF的中點(diǎn)的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).方法技巧(1)若曲線上的動點(diǎn)滿意的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用干脆法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)→列式→化簡→檢驗(yàn)．求動點(diǎn)的軌跡方程時要留意檢驗(yàn)，即除去多余的點(diǎn)，補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)．(2)若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說明軌跡是什么圖形．1．已知點(diǎn)F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(QF,\s\up16(→))＝eq\o(FP,\s\up16(→))·eq\o(FQ,\s\up16(→))，則動點(diǎn)P的軌跡C的方程為(A)A．x2＝4y B．y2＝3xC．x2＝2y D．y2＝4x解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)．∵eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(QF,\s\up16(→))＝eq\o(FP,\s\up16(→))·eq\o(FQ,\s\up16(→))，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－eq\f(1,3).則動點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠1)．解析：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得eq\f(y－1,x＋1)·eq\f(y＋1,x－1)＝－eq\f(1,3)，化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)．考點(diǎn)二定義法求軌跡方程【例2】(1)△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________．(2)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，則圓心P的軌跡方程為________．【解析】(1)如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.依據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．(2)因?yàn)閳AP與圓M外切且與圓N內(nèi)切，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為eq\r(3)的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．【答案】(1)eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)(2)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)方法技巧定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵1適用條件,動點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線之間的某些關(guān)系滿意直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.2關(guān)鍵,定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是由題意找到動點(diǎn)所適合的常見曲線的幾何特征.1．(2024·湖北黃岡模擬)設(shè)D為橢圓x2＋eq\f(y2,5)＝1上隨意一點(diǎn)，A(0，－2)，B(0,2)，延長AD至點(diǎn)P，使得|PD|＝|BD|，則點(diǎn)P的軌跡方程為(B)A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析：∵D為橢圓x2＋eq\f(y2,5)＝1上一點(diǎn)，且易知A、B為橢圓的焦點(diǎn)，∴|DA|＋|DB|＝2a＝2eq\r(5).又|PD|＝|BD|，∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝2eq\r(5)，∴P的軌跡方程為x2＋(y＋2)2＝(2eq\r(5))2＝20.故選B.2．(2024·豫北名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0，以邊AB的中垂線為x軸，以AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則動點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(x≠0)．解析：在△ABC中，由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得sinA＋sinB＝2sin(A＋B)＝2sinC，由正弦定理得eq\f(|BC|,2R)＋eq\f(|AC|,2R)＝2·eq\f(|AB|,2R)(R為△ABC外接圓半徑)，可得|CB|＋|CA|＝2|AB|>|AB|.∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(除y軸上的點(diǎn))，其中2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(x≠0)．考點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)(代入法)求軌跡方程【例3】已知M為橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線MD，D為垂足，點(diǎn)P滿意eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(MD,\s\up16(→))，求動點(diǎn)P的軌跡E的方程．【解】(1)設(shè)P(x，y)，y≠0，M(m，n)，則D(m,0)，∵eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(MD,\s\up16(→))，∴(m－x，－y)＝eq\f(5,3)(0，－n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－x＝0，,－y＝－\f(5,3)n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝x，,n＝\f(3,5)y.))又∵M(jìn)(m，n)為橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y))2,9)＝1，即x2＋y2＝25，∴動點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2＋y2＝25(y≠0)．方法技巧1可以用“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程所滿意的條件：①某個動點(diǎn)P在已知方程的曲線上移動；②另一個動點(diǎn)M隨P的改變而改變；③在改變過程中，P和M滿意肯定的規(guī)律.2“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟：將所求動點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為x，y，另一已知動點(diǎn)Q的坐標(biāo)設(shè)為x0，y0，再找尋P，Q之間的關(guān)系，把x0，y0分別用x，y表示出來，然后代入點(diǎn)Q滿意的方程即得所求.已知點(diǎn)H(0，－8)，點(diǎn)P在x軸上，動點(diǎn)F滿意PF⊥PH，且PF與y軸交于點(diǎn)Q，Q是線段PF的中點(diǎn)．(1)求動點(diǎn)F的軌跡E的方程；(2)點(diǎn)D是直線l：x－y－2＝0上隨意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，證明：直線AB過定點(diǎn)．解：(1)設(shè)F(x，y)，y≠0，P(m,0)，Q(0，n)，則eq\o(PH,\s\up16(→))＝(－m，－8)，eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(－m，n)，∵PF⊥PH，∴m2－8n＝0，即m2＝8n，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋x,2)＝0，,\f(0＋y,2)＝n，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－x，,n＝\f(y,2)，))代入m2＝8n，得x2＝4y(y≠0)