自我相關(guān)的意義與對(duì)OLS估計(jì)式的影響

1自我相關(guān)的意義與對(duì)OLS估計(jì)式的影響2學(xué)習(xí)目標(biāo)自我相關(guān)的意義與對(duì)OLS估計(jì)式的影響檢測(cè)自我相關(guān)

存在自我相關(guān)的修正

Generalizedleastsquares(GLS)估計(jì)自我相關(guān)系數(shù)的方法ThefirstdifferencemethodEstimatedfromDurbin-WatsondStatisticsEstimatedfromOLSresiduals3自我相關(guān)與影響(1/10)

Thetermautocorrelationmaybedefinedas“correlationbetweenmembersofseriesofobservationsorderedintime(time-seriesdata)orspace(asincross-sectionaldata.”古典線性回歸模型假設(shè)誤差項(xiàng)無(wú)自我相關(guān)，也就是“thedisturbancetermrelatingtoanyobservationisnotinfluencedbythedisturbancetermrelatingtoanyotherobservation”簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是影響某個(gè)觀察值的隨機(jī)因素與影響另個(gè)觀察值的隨機(jī)因素是否有關(guān)，倘若無(wú)關(guān)，則為無(wú)自我相關(guān)。比如說(shuō)某季的產(chǎn)出因?yàn)榱T工而減少，此干擾并未影響下一季的產(chǎn)出，或是某個(gè)家計(jì)單位的消費(fèi)因?yàn)橐馔馑枚黾?，此干擾因素并未影響其他家計(jì)單位的消費(fèi)。4自我相關(guān)與影響(2/10)存在自我相關(guān)(autocorrelation)

比如前例中某季的罷工會(huì)影響到下一季的產(chǎn)出(時(shí)間序列)或是某個(gè)家計(jì)單位的消費(fèi)增加會(huì)影響到其他家計(jì)單位的消費(fèi)(橫斷面)產(chǎn)生自我相關(guān)的原因Inertia(sluggishness):時(shí)間序列資料(GDP,employment,priceindexes等等)多數(shù)都存在著緩慢調(diào)整的現(xiàn)象。比如當(dāng)景氣從谷底復(fù)甦時(shí)，許多總體數(shù)據(jù)會(huì)慢慢向上攀升，因此successiveobservationsarelikelytobeinterdependentinvolvingtimeseriesdata.5自我相關(guān)與影響(3/10)SpecificationBias:Excludingvariables

當(dāng)回歸模型設(shè)定錯(cuò)誤，遺漏了重要解釋變量時(shí)，往往會(huì)造成殘差項(xiàng)顯現(xiàn)出相關(guān)性，比如說(shuō)正確的模型為

其中應(yīng)變數(shù)為每季的牛肉需求量，X2為牛肉價(jià)格X3

為消費(fèi)者所得，

X4

為豬肉價(jià)格。若錯(cuò)誤設(shè)定為則，theerrortermvwillreflectasystematicpatternthuscreating(false)autocorrelation.

6自我相關(guān)與影響(4/10)SpecificationBias:IncorrectFunctionalForm

當(dāng)回歸模型的函數(shù)形式設(shè)定錯(cuò)誤時(shí)，往往會(huì)造成殘差項(xiàng)顯現(xiàn)出相關(guān)性，比如說(shuō)正確的模型為

卻錯(cuò)誤地設(shè)定為則，hencevwillcatchthesystematiceffectofoutput2termonmarginalcost.Inthiscasevwillreflectautocorrelationbecauseoftheuseofanincorrectfunctionalform.7自我相關(guān)與影響(5/10)TheCobwebphenomenon:蛛網(wǎng)現(xiàn)象

許多農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)都有所謂的蛛網(wǎng)現(xiàn)象假設(shè)t期的干擾因素造成供給增加，使得，則農(nóng)夫可能決定減少t+1期的生產(chǎn)量:Iffarmersoverproduceinyeart,theyarelikelytoreducetheirproductionint+1.

Lag:應(yīng)變數(shù)可能受到自身落后期的影響8自我相關(guān)與影響(6/10)Theaboveregressionisknownasautoregressionbecauseoneoftheexplanatoryvariablesisthelaggedvalueofthedependentvariable.Ifweignorethelaggedterm,theresultingerrortermwillreflectasystematicpatternduetotheinfluenceoflaggedconsumptiononcurrentconsumption.DataTransformationOriginalmodel

Transformedmodel

若原本模型的誤差項(xiàng)為無(wú)自我相關(guān)，可證明轉(zhuǎn)換之模型的誤差項(xiàng)有自我相關(guān)。

9自我相關(guān)與影響(7/10)自我相關(guān)對(duì)OLS估計(jì)式統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的影響

在CLRM假設(shè)下，OLS估計(jì)式具有BLUE的良好性質(zhì)，倘若其他假設(shè)仍成立，但無(wú)自我相關(guān)的假設(shè)不滿足，則OLS估計(jì)式的性質(zhì)為:仍為線性不偏。不再具有最小變異數(shù)(不滿足效率性)。OLS估計(jì)式變異數(shù)的估計(jì)偏誤，對(duì)于真實(shí)母體變異數(shù)之估計(jì)式

亦為偏誤。經(jīng)由信賴區(qū)間與假設(shè)檢定所得推論也不可靠。

10自我相關(guān)與影響(8/10)

存在自我相關(guān)對(duì)OLS估計(jì)式之變異數(shù)的影響以簡(jiǎn)單回歸模型與AR(1)為例，假設(shè)對(duì)誤差項(xiàng)的設(shè)定為(Markov)first-orderautoregressivescheme,usuallydenotedasAR(1).:

thefirst-ordercoefficientofautocorrelation,orthecoefficientofautocorrelationatlag1.

假設(shè)

則11自我相關(guān)與影響(9/10)

Asaresult,undertheAR(1)schemethevarianceofuiisstillhomoscedastic,butuiiscorrelatednotonlywithitsimmediatepastvaluebutitsvaluesseveralperiodsinthepast.

meansthevarianceofunderAR(1)scheme.

12自我相關(guān)與影響(10/10)

若，前兩式相等。否則有自我相關(guān)時(shí)，OLS估計(jì)式變異數(shù)有偏誤。

13檢測(cè)自我相關(guān)(1/10)檢測(cè)自我相關(guān)的概念和檢測(cè)異質(zhì)變異雷同，皆是透過(guò)OLS回歸所得到的殘差來(lái)進(jìn)行。GraphicalMethod

Therearevariouswaysofexaminingtheresiduals.

Plotresidualsagainsttime(figure12.8)

Plotstandardizedresidualsagainsttime(figure12.8)standardizedresidualsaretheresidualsdividedbythestandarderroroftheregression

OrPlotagainst

,akindofempiricaltestoftheAR(1)scheme.14檢測(cè)自我相關(guān)(2/10)RunsTest

Arethe5runsobservedinourillustrativeexampleconsistingof46observationstoomanyortoofewcomparedwiththenumberofrunsexpectedinastrictlyrandomsequenceof46observations?

Runs:definedanrunasanuninterruptedsequenceofonesymbol

Underthenullhypothesisthattheresidualsareindependent,thenumberofrunsRis(asymptotically)normallydistributedwith()15檢測(cè)自我相關(guān)(3/10)因此，虛無(wú)假設(shè)成立之下，R的95%信賴區(qū)間為若the

number

of

runs

R落于信賴區(qū)間，則在5%顯著水平下，不拒絕殘差為隨機(jī)的虛無(wú)假設(shè)。

Rejectthehypothesisthattheresidualsarerandomwith95%confidence.Inotherwords,theresidualsexhibitautocorrelation.

16檢測(cè)自我相關(guān)(4/10)Durbin-Watsondtest

此檢定法由DurbinandWatson提出，檢定量d的公式如下:

d:theratioofthesumofsquareddifferencesinsuccessiveresidualstotheRSS

雖然Durbin-Watsondstatistic是常用的自我相關(guān)檢定量，但必須注意使用該檢定量背后的假設(shè)。

17這些假設(shè)包括回歸模型必須包含截距項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)自我相關(guān)的形式必須為AR(1)、隨機(jī)項(xiàng)為常態(tài)分配、回歸模型中的解釋變量不包括被解釋變量的落后期等。

如何根據(jù)d值判斷是否存在自我相關(guān)?

令則

:samplefirst-ordercoefficientofautocorrelation檢測(cè)自我相關(guān)(5/10)18由于相關(guān)系數(shù)值在于-1與1之間，可知。

若，:ifthereisnoserialcorrelation,disexpectedtobeabout2;若

，:perfectpositivecorrelationintheresiduals;若

，:perfectnegativecorrelationintheresiduals.因此若d值愈接近零，顯示可能有positiveautocorrelation，愈接近2可能是noautocorrelation愈接近于4愈可能有negativeautocorrelation。Criticalvalues:DurbinandWatson提出criticalvalues表(lowerlimit與upperlimit

)檢測(cè)自我相關(guān)(6/10)19

本例d=0.2175，查表，(at5%significantlevel)，因此wecannotrejectthehypothesisthatthereispositiveserialcorrelationintheresiduals.

檢測(cè)自我相關(guān)(7/10)TheDurbin-Watsondstatistic.2021檢測(cè)自我相關(guān)(8/10)

Breusch-GodfreyTest此檢定法屬于LM(Lagrangemultiplier)test，比Durbin-Watson更為一般化，可使用于更高階的自我相關(guān)模式，以及解釋變量含應(yīng)變數(shù)落后期等?？紤]一個(gè)簡(jiǎn)單回歸模型假設(shè)

虛無(wú)假設(shè)為22檢測(cè)自我相關(guān)(9/10)

step1:跑原始回歸得到殘差

step2:將殘差對(duì)解釋變量與殘差落后期跑輔助回歸，得到判定系數(shù)step3:樣本數(shù)大時(shí)，若檢定值大于卡方臨界值，則拒絕虛無(wú)假設(shè)，即有自我相關(guān)的現(xiàn)象。23檢測(cè)自我相關(guān)(10/10)

AdrawbackofBGtestisthatthevalueofp,thelengthofthelag,cannotbespecifiedapriori.Sometimeswecanusetheso-calledAICandSICtoselectthelaglength.

以前例來(lái)說(shuō)，假設(shè)

aAR(6)scheme

遠(yuǎn)超過(guò)

的臨界值，theconclusionisthatatleastoneofthesixautocorrelationsmustbenonzero.24存在自我相關(guān)的修正(1/3)檢測(cè)出有自我相關(guān)之后，修正方法大致可分