【初中數(shù)學(xué)】專項(xiàng)04-與線段有關(guān)的計(jì)算-六大類型

與線段有關(guān)的計(jì)算-六大類型類型一單中點(diǎn)模型典例1（南京模擬）如圖，點(diǎn)B，D都在線段AC上，AB＝18，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，BD＝3BC，求AC的長．針對(duì)訓(xùn)練11．（龍口市期末）如圖，點(diǎn)C把線段MN分成兩部分，其比為MC：CN＝5：4，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，PC＝2cm，求MN的長．2．（南崗區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AB＝15，BC＝11．（1）求線段AM的長；（2）在線段BC上取一點(diǎn)N，使得CN：NB＝5：6，求線段MN的長．3．（文登區(qū)校級(jí)期中）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，AC：BC＝3：2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AB＝30，求線段CD的長；類型二雙中點(diǎn)模型典例2（新泰市期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＜CB，點(diǎn)D、E分別是AB和CB的中點(diǎn)，AC＝10cm，EB＝8cm．（1）求線段CD，DE，AB的長；（2）是否存在點(diǎn)M，使它到A，C兩點(diǎn)的距離之和等于8cm，為什么？（3）是否存在點(diǎn)M，使它到A，C兩點(diǎn)的距離之和大于10cm？如果點(diǎn)M存在，點(diǎn)M的位置應(yīng)該在哪里？為什么？這樣的點(diǎn)M有多少個(gè)？針對(duì)訓(xùn)練24．（鋼城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．（1）如果AB＝14cm，AM＝5cm，求BC的長；（2）如果MN＝8cm，求AB的長．5．（孝南區(qū)期末）如圖，已知線段AB＝12cm，CD＝2cm，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．（1）若AC＝4cm，EF＝cm；（2）當(dāng)線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷EF的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出EF的長度，如果變化，請(qǐng)說明理由．6．（大名縣期末）如圖所示，點(diǎn)C、D在線段AB上，點(diǎn)E、F分別是AC、DB的中點(diǎn)．（1）設(shè)EF＝7cm，CD＝4cm，求線段AB的長；（2）設(shè)AB＝a，EF＝b，用a，b表示線段CD的長．7．（文登區(qū)校級(jí)期中）已知：點(diǎn)C在直線AB上，AC＝10，BC＝8，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長．類型三整體思想求值典例3（興化市期末）如圖，已知AB＝10，點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．求線段MN的長．針對(duì)訓(xùn)練38．（營口期末）如圖，線段AB＝6m，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C、D分別是線段OA、OB的中點(diǎn)．（1）求線段CD的長；（2）若題中的“點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)O是線段AB延長線上一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求CD的長．9．（文山市期末）如圖所示，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長．（2）若C為線段AB上任意一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，你能猜想出MN的長度嗎？并說明理由．（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣CB＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，你能猜想出MN的長度嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．類型四方程思想求值典例4（信都區(qū)期中）已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別是4，﹣6，x．（1）求線段AB的長；（2）若點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，求x的值．典例5（玄武區(qū)期末）如圖，B、C兩點(diǎn)把線段AD分成三部分，AB：BC：CD＝2：5：3，M為AD的中點(diǎn)．（1）判斷線段AB與CM的大小關(guān)系，說明理由．（2）若CM＝10，求AD的長．針對(duì)訓(xùn)練410．（望城區(qū)期末）如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，線段AB、CD的中點(diǎn)E、F之間距離是15cm，求11．（伊川縣期末）如圖，線段AB的中點(diǎn)為M，C點(diǎn)將線段MB分成MC，CB兩段，且MC：CB＝1：3，若AC＝20，求AB的長．類型五分類討論思想求值典例6（萊西市期中）已知線段AB＝8cm，BC＝3cm．（1）線段AC的長度能否確定？（填“能”或“不能”即可）；（2）是否存在使A、C之間的距離最短的情形？若存在，求出此時(shí)AC的長度；若不存在，說明理由．（3）能比較BA+BC與AC的大小嗎？為什么？典例7（偃師市期末）A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，且線段AB＝7cm，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，線段BC＝3cm，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，請(qǐng)你畫出圖形，求線段MN的長．針對(duì)訓(xùn)練512．（?？h期末）點(diǎn)A，B，C在直線l上．若AB＝4，AB＝2AC，則BC的長度為．13．（上思縣期末）在直線上取A，B，C三點(diǎn)，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是線段AC的中點(diǎn)，則線段OA的長為．14．（紅河州期末）已知，B是線段AD上一點(diǎn)，C是線段AD的中點(diǎn)，若AD＝10，BC＝3，則AB＝．15．（宜陽縣期末）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC＝4cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長度是多少？（請(qǐng)你畫出草圖討論并解答）類型六數(shù)形結(jié)合思想求值典例8（雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，射線OM上有三點(diǎn)A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以1cm/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB上時(shí)，分別取OP和AB的中點(diǎn)E、F，OB?APEF=（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/秒，經(jīng)過秒P、Q兩點(diǎn)相距70cm．針對(duì)訓(xùn)練616．（臨湘市期末）如圖，已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，且AC＝BD，M、N分別是線段AC、AD的中點(diǎn)，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b滿足(a?10)（1）求AB、AC的長度．（2）求線段MN的長度．17．（和碩）如圖，M是線段AB上一點(diǎn)，且AB＝10cm，C，D兩點(diǎn)分別從M，B同時(shí)出發(fā)時(shí)1cm/s，3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）．（1）當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，求這時(shí)AC+MD的值．（2）若點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝3AC，求AM的長．18．（新鄉(xiāng)期末）如圖①，已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示．（1）若AB＝10cm，2＜AM＜4，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，求AC+MD的值．（2）若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝3AC，則：AM＝AB．（3）如圖②，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求

與線段有關(guān)的計(jì)算-六大類型（解析版）類型一單中點(diǎn)模型典例1（南京模擬）如圖，點(diǎn)B，D都在線段AC上，AB＝18，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，BD＝3BC，求AC的長．思路引領(lǐng)：首先根據(jù)AB＝18，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，求出線段BD的長度是多少；然后根據(jù)BD＝3BC，求出線段BC的長度是多少，進(jìn)而求出AC的長是多少即可．解：∵AB＝18，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，∴BD＝18÷2＝9；∵BD＝3BC，∴BC＝9÷3＝3，∴AC＝AB+BC＝18+3＝21．解題秘籍：此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的求法，以及線段的中點(diǎn)的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．針對(duì)訓(xùn)練11．（龍口市期末）如圖，點(diǎn)C把線段MN分成兩部分，其比為MC：CN＝5：4，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，PC＝2cm，求MN的長．思路引領(lǐng)：設(shè)MC＝5xcm，CN＝4xcm，然后表示出MN，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義表示出PN，再根據(jù)PC＝PN﹣CN列方程求出x，從而得解．解：因?yàn)镸C：CN＝5：4，所以設(shè)MC＝5xcm，CN＝4xcm，所以MN＝MC+CN＝5x+4x＝9x（cm），因?yàn)辄c(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，所以PN=12MN=因?yàn)镻C＝PN﹣CN，所以92x﹣4x解得x＝4，所以MN＝9×4＝36（cm）．答：MN的長為36cm．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，根據(jù)線段之間的關(guān)系得出等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．2．（南崗區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AB＝15，BC＝11．（1）求線段AM的長；（2）在線段BC上取一點(diǎn)N，使得CN：NB＝5：6，求線段MN的長．思路引領(lǐng)：（1）先求出AC＝4，由中點(diǎn)得到AM＝2；（2）由中點(diǎn)得到MC＝2，根據(jù)CN：NB＝5：6求出CN的值，從而得到答案．解：（1）∵點(diǎn)C在線段AB上，AB＝15，BC＝11，∴AC＝AB﹣BC＝15﹣11＝4，∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴AM=12AC（2）∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MC=12∵點(diǎn)N在線段BC上，BC＝11，∴CN+NB＝BC＝11，又∵CN：NB＝5：6，∴CN=55+6BC∴MN＝MC+CN＝2+5＝7．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差是解題關(guān)鍵．3．（文登區(qū)校級(jí)期中）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，AC：BC＝3：2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AB＝30，求線段CD的長；思路引領(lǐng)：根據(jù)題意易得到AD＝BD=12AB＝15，BC=解：∵D是線段AB的中點(diǎn)，∴BD=12AB∵AC：BC＝3：2∴BC=25∴CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝3，故線段CD的長為3．解題秘籍：本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的比例關(guān)系以及線段中點(diǎn)性質(zhì)得出各線段的值．類型二雙中點(diǎn)模型典例2（新泰市期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＜CB，點(diǎn)D、E分別是AB和CB的中點(diǎn)，AC＝10cm，EB＝8cm．（1）求線段CD，DE，AB的長；（2）是否存在點(diǎn)M，使它到A，C兩點(diǎn)的距離之和等于8cm，為什么？（3）是否存在點(diǎn)M，使它到A，C兩點(diǎn)的距離之和大于10cm？如果點(diǎn)M存在，點(diǎn)M的位置應(yīng)該在哪里？為什么？這樣的點(diǎn)M有多少個(gè)？思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)BE求出CE＝8cm，則BC＝16cm，已知AC＝10cm，則AB＝26cm，則AD＝BD＝13cm，從而求出CD和DE長度；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A、C之間的最短距離為10cm，故不存在點(diǎn)M，使它到A，C兩點(diǎn)的距離之和等于8cm；（3）線段AB外任何一點(diǎn)到A，C兩點(diǎn)的距離之和都大于10cm，這樣的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．解：（1）∵點(diǎn)E是CB的中點(diǎn)，EB＝8cm，∴CE＝BE＝8cm，∴BC＝CE+BE＝8+8＝16（cm），∵AC＝10cm，∴AB＝26cm，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝13cm，∴CD＝AD﹣AC＝13﹣10＝3（cm），DE＝BD﹣BE＝13﹣8＝5（cm）；（2）不存在，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴點(diǎn)A、C之間的最短距離為10cm，故不存在點(diǎn)M，使它到A，C兩點(diǎn)的距離之和等于8cm；（3）存在，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴線段AB外任何一點(diǎn)到A，C兩點(diǎn)的距離之和都大于10cm，這樣的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時(shí)，注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長度”．針對(duì)訓(xùn)練24．（鋼城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．（1）如果AB＝14cm，AM＝5cm，求BC的長；（2）如果MN＝8cm，求AB的長．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)得出AC＝2AM，再由AB＝14cm求出BC的長；（2）根據(jù)點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)可知NC=12BC，CM=12AC，由MN＝解：（1）∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，AM＝5cm，∴AC＝2AM＝10cm，∵AB＝14cm，∴BC＝AB﹣AC＝14﹣10＝4cm；（2）∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，∴NC=12BC，CM=∴MN＝NC+CM=12（BC+AC）=∵M(jìn)N＝8cm，∴12AB∴AB＝16cm．解題秘籍：本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．5．（孝南區(qū)期末）如圖，已知線段AB＝12cm，CD＝2cm，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．（1）若AC＝4cm，EF＝cm；（2）當(dāng)線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷EF的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出EF的長度，如果變化，請(qǐng)說明理由．思路引領(lǐng)：（1）先求出線段BD，然后再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出AE，BF即可；（2）利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)證明EF的長度不會(huì)發(fā)生改變．解：（1）∵AB＝12cm，CD＝2cm，AC＝4cm，∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝6cm，∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴CE=12AC＝2cm，DF=12∴EF＝CE+CD+DF＝7cm；故答案為：7；（2）不改變，理由：∵AB＝12cm，CD＝2cm，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴CE=12AC，DF=∴CE+DF=12AC+12∴EF＝CE+CD+DF＝7cm．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間距離，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．6．（大名縣期末）如圖所示，點(diǎn)C、D在線段AB上，點(diǎn)E、F分別是AC、DB的中點(diǎn)．（1）設(shè)EF＝7cm，CD＝4cm，求線段AB的長；（2）設(shè)AB＝a，EF＝b，用a，b表示線段CD的長．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)求出AE＝EC，DF＝FB，根據(jù)線段的和差求出AE+FB，即可求出AB長；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)求出EC+DF，即可求出CD的長．解：（1）∵點(diǎn)E、F分別是AC、DB的中點(diǎn)，∴AE＝EC，DF＝FB，∵EF＝7cm，CD＝4cm，而EF＝EC+CD+DF，∴EC+DF＝3cm，∴AE+FB＝3cm，∴AB＝AE+EF+FB＝3+7＝10cm，即AB＝10cm；（2）∵AB＝a，EF＝b，AB＝AE+EF+FB，∴AE+FB＝a﹣b，∴EC+DF＝a﹣b，∵EF＝EC+CD+DF＝b，∴CD＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a，即CD＝2b﹣a．解題秘籍：本題考查了求兩點(diǎn)之間的距離和線段的中點(diǎn)，能求出AE+FB的長是解此題的關(guān)鍵．7．（文登區(qū)校級(jí)期中）已知：點(diǎn)C在直線AB上，AC＝10，BC＝8，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長．思路引領(lǐng)：分類討論：點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC、NC的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，得MC=12AC=12×10＝5，由線段的和差，得MN＝MC+CN＝5+4＝9；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，得MC=12AC=12×10＝5，由線段的和差，得MN＝MC﹣CN＝5﹣4＝1；即線段MN的長是9或1．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．類型三整體思想求值典例3（興化市期末）如圖，已知AB＝10，點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．求線段MN的長．思路引領(lǐng)：由于點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，所以MC=12AC，由于點(diǎn)N是BC中點(diǎn)，則CN=12BC，而MN＝MC+CN=12（AC+BC解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是CB的中點(diǎn)，∴MC=12AC，CN=∴MN＝MC+CN=12AC+12CB=12（解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離．不管點(diǎn)C在哪個(gè)位置，MC始終等于AC的一半，CN始終等于BC的一半，而MN等于MC加上（或減去）CN等于AB的一半，所以不管C點(diǎn)在哪個(gè)位置MN始終等于AB的一半．針對(duì)訓(xùn)練38．（營口期末）如圖，線段AB＝6m，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C、D分別是線段OA、OB的中點(diǎn)．（1）求線段CD的長；（2）若題中的“點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)O是線段AB延長線上一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求CD的長．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)證明CD=12（2）畫出圖形后，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)證明CD=12解：（1）∵點(diǎn)C為OA中點(diǎn)，∴OC=12∵點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，∴OD=12∴CD＝OC+OD=12OA+12又∵AB＝6m，∴CD＝3m；（2）如圖所示：∵點(diǎn)C為OA中點(diǎn)，∴OC=12∵點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，∴OD=12∴CD＝OC﹣OD=12OA?12又∵AB＝6m，∴CD＝3m．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間距離，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形去分析是解題的關(guān)鍵．9．（文山市期末）如圖所示，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長．（2）若C為線段AB上任意一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，你能猜想出MN的長度嗎？并說明理由．（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣CB＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，你能猜想出MN的長度嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到MC=12AC＝4cm，NC=12BC＝3cm，然后利用MN＝（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到MC=12AC，NC=12BC，然后利用MN＝MC+NC得到（3）先畫圖，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得MC=12AC，NC=12BC，然后利用MN＝MC﹣NC得到解：（1）∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC=12×8cm＝4cm，NC=12∴MN＝MC+NC＝4cm+3cm＝7cm；（2）MN=12∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC，NC=∴MN＝MC+NC=12AC+12BC=（3）解：如圖，∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC，NC=∴MN＝MC﹣NC=12AC?12BC=12（AC解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．類型四方程思想求值典例4（信都區(qū)期中）已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別是4，﹣6，x．（1）求線段AB的長；（2）若點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，求x的值．思路引領(lǐng)：（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，要么是加絕對(duì)值，要么用右數(shù)的數(shù)減去左邊的數(shù)；（2）AB＝BC，代入求解．解：（1）AB＝xA﹣xB＝4﹣（﹣6）＝4+6＝10；（2）根據(jù)題意得，BC＝AB，即：﹣6﹣x＝4﹣（﹣6），所以x＝﹣16．解題秘籍：本題考查是數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即絕對(duì)值，解決問題的關(guān)鍵是會(huì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值．典例5（玄武區(qū)期末）如圖，B、C兩點(diǎn)把線段AD分成三部分，AB：BC：CD＝2：5：3，M為AD的中點(diǎn)．（1）判斷線段AB與CM的大小關(guān)系，說明理由．（2）若CM＝10，求AD的長．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)AB＝2x，BC＝5x，CD＝3x，依據(jù)中點(diǎn)的定義以及線段的和差關(guān)系，即可得到線段AB與CM的大小關(guān)系；（2）依據(jù)CM＝10，可得2x＝10，求得x的值，即可得到AD的長．解：（1）AB＝CM，理由如下：設(shè)AB＝2x，BC＝5x，CD＝3x，則AD＝2x+5x+3x＝10x，∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MD=12AD＝5∴CM＝MD﹣CD＝5x﹣3x＝2x，∴AB＝CM．（2）∵CM＝10，∴2x＝10，解得x＝5，∴AD＝10x＝10×5＝50．解題秘籍：本題主要考查了比較線段的大小關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是利用線段的和差關(guān)系列方程求解．針對(duì)訓(xùn)練410．（望城區(qū)期末）如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，線段AB、CD的中點(diǎn)E、F之間距離是15cm，求思路引領(lǐng)：先設(shè)BD＝xcm，由題意得AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm，再根據(jù)中點(diǎn)的定義，用含x的式子表示出AE和CF，再根據(jù)EF＝AC﹣AE﹣CF＝2.5x，且E、F之間距離是15cm，所以2.5x＝15，解方程求得x的值，即可求AB、CD的長．解：設(shè)BD＝xcm，則AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm．∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∴AE=12AB＝1.5xcm，CF=12∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5xcm．∵EF＝15cm，∴2.5x＝15，解得：x＝6．∴AB＝18cm，CD＝24cm．解題秘籍：本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離和中點(diǎn)的定義，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想．11．（伊川縣期末）如圖，線段AB的中點(diǎn)為M，C點(diǎn)將線段MB分成MC，CB兩段，且MC：CB＝1：3，若AC＝20，求AB的長．思路引領(lǐng)：本題需先設(shè)MC＝x，根據(jù)已知條件C點(diǎn)將線段MB分成MC：CB＝1：3的兩段，求出MB＝4x，利用M為AB的中點(diǎn)，列方程求出x的長，即可求出AB的長．解：設(shè)MC＝x，∵M(jìn)C：CB＝1：3，∴BC＝3x，MB＝4x．∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)．∴AM＝MB＝4x．∴AC＝AM+MC＝4x+x＝20，即x＝4．所以AB＝2AM＝8x＝32．故AB的長為32．解題秘籍：本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，在解題時(shí)要能根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，求出線段的長是本題的關(guān)鍵．類型五分類討論思想求值典例6（萊西市期中）已知線段AB＝8cm，BC＝3cm．（1）線段AC的長度能否確定？（填“能”或“不能”即可）；（2）是否存在使A、C之間的距離最短的情形？若存在，求出此時(shí)AC的長度；若不存在，說明理由．（3）能比較BA+BC與AC的大小嗎？為什么？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)點(diǎn)C的位置，點(diǎn)C不在直線AB上時(shí)，AC的長短無法確定；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，根據(jù)線段的和差，可得答案；（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，根據(jù)線段的和差，可得答案；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，根據(jù)線段的比較，可得答案；當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外時(shí)，根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C的位置不確定，∴線段AC的長度不能確定；故答案為：不能；（2）存在使A、C之間的距離最短的情形，此時(shí)AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5（cm）；（3）能．當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，BA+BC＝AC；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，BA+BC＞AC；當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外時(shí)，BA+BC＞AC，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，利用了線段的和差，線段的性質(zhì)．典例7（偃師市期末）A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，且線段AB＝7cm，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，線段BC＝3cm，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，請(qǐng)你畫出圖形，求線段MN的長．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意分當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)兩種情況畫出圖形進(jìn)行討論，再根據(jù)線段中點(diǎn)的意義推出BM=12AB，BN=解：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖1，∵AB＝7cm，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，∴BM=12AB=7又BC＝3cm，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，∴BN=12BC=3∴MN＝BM﹣BN=72?當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB＝7cm，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，∴BM=12AB=7又BC＝3cm，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，∴BN=12BC=3∴MN＝BM+BN=72+綜上，MN的長為2cm或5cm．解題秘籍：本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是格局題意畫出圖形進(jìn)行分類討論討論，根據(jù)線段中點(diǎn)的意義推出BM=12AB，BN=針對(duì)訓(xùn)練512．（浚縣期末）點(diǎn)A，B，C在直線l上．若AB＝4，AB＝2AC，則BC的長度為．思路引領(lǐng)：分兩種情況討論：點(diǎn)C在AB之間，點(diǎn)C在BA的延長線上，依據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算即可．解：如圖，若點(diǎn)C在AB之間，則BC＝AB﹣AC＝4﹣2＝2；如圖，若點(diǎn)C在BA的延長線上，則BC＝AB+AC＝4+2＝6；故答案為：2或6．解題秘籍：本題主要考查了比較線段的長短，畫出圖形并分類討論是解決問題的關(guān)鍵．13．（上思縣期末）在直線上取A，B，C三點(diǎn)，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是線段AC的中點(diǎn)，則線段OA的長為．思路引領(lǐng)：本題沒有給出圖形，在畫圖時(shí)，應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，再根據(jù)題意正確地畫出圖形解題．解：本題有兩種情形：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖．∵AC＝AB﹣BC，AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC＝9﹣4＝5cm．又∵O是線段AC的中點(diǎn)，∴OA=12AC＝2.5（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，如圖．∵AC＝AB+BC，AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC＝9+4＝13cm．又∵O是線段AC的中點(diǎn)，∴OA=12AC＝6.5解題秘籍：在未畫圖類問題中，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．14．（紅河州期末）已知，B是線段AD上一點(diǎn)，C是線段AD的中點(diǎn)，若AD＝10，BC＝3，則AB＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意，正確畫出圖形，顯然此題有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B在中點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，AB＝AC﹣BC；當(dāng)點(diǎn)B在中點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，AB＝AC+BC．解：如圖，∵C是線段AD的中點(diǎn)，∴AC＝CD=12∴當(dāng)點(diǎn)B在中點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，AB＝AC﹣BC＝2．當(dāng)點(diǎn)B在中點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，AB＝AC+BC＝8．∴AB＝2或8．解題秘籍：注意此類題要分情況畫圖，然后根據(jù)中點(diǎn)的概念以及圖形進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．15．（宜陽縣期末）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC＝4cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長度是多少？（請(qǐng)你畫出草圖討論并解答）思路引領(lǐng)：本題需要分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，計(jì)算即可．解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6cm，則MN＝MC+CN=12AC+12②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，AC＝AB+BC＝10+4＝14cm，MN＝MC﹣CN=12AC?12綜上所述，線段MN的長度是5cm．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段中點(diǎn)的定義，難點(diǎn)在于要分情況討論．類型六數(shù)形結(jié)合思想求值典例8（雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，射線OM上有三點(diǎn)A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以1cm/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB上時(shí)，分別取OP和AB的中點(diǎn)E、F，OB?APEF=（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/秒，經(jīng)過5或70秒P、Q兩點(diǎn)相距70cm．思路引領(lǐng)：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)20≤t≤80時(shí)，AP＝（t﹣20）cm，OE=12OP=12tcm，OF＝OA+12AB＝50cm，進(jìn)而即可找出EF＝（50?（2）分0≤t≤30和t＞30兩種情況考慮，根據(jù)PQ＝|OP﹣OQ|＝70，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)20≤t≤80時(shí)，AP＝（t﹣20）cm，OE=12OP=12tcm，OF＝OA+∴EF＝OF﹣OE＝（50?12t）∴OB?APEF故答案為：2．（2）當(dāng)0≤t≤30時(shí)，OP＝tcm，OQ＝（90﹣3t）cm，根據(jù)題意得：|OP﹣OQ|＝70，即|t﹣（90﹣3t）|＝70，解得：t＝5或t＝40（不合題意，舍去）；當(dāng)t＞30時(shí)，OP＝tcm，OQ＝0cm，根據(jù)題意得：|OP﹣OQ|＝70，即t＝70．綜上所述：經(jīng)過5秒或70秒P、Q兩點(diǎn)相距70cm．故答案為：5或70．解題秘籍：本題考查了兩點(diǎn)間的距離以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)找出EF＝（50?12t）；（2）分0≤t≤30和t＞30兩種情況考慮，列出關(guān)于針對(duì)訓(xùn)練616．（臨湘市期末）如圖，已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，且AC＝BD，M、N分別是線段AC、AD的中點(diǎn)，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b滿足(a?10)（1）求AB、AC的長度．（2）求線段MN的長度．思路引領(lǐng)：（1）本題可根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0．”解出a、b的值，再代入題中即可；（2）根據(jù)題意可得出B