高考重難點題型歸納：第30講 排列組合12種題型歸納（原卷版）

第30講排列組合12類

【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空

【典例分析】

1.有匹男生，三女生站一排，其中只有倆個女生相鄰：

2.有匹男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個女生相鄰：

【變式演練】

L在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場,

且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

2.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的

排法種數(shù)是（）

A.144B.120C.72D.48

3.2021年4月15日，是第六個全民國家安全教育日，教育廳組織宣講團到某市的六個不同高校進行國家安

全知識的宣講，時間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個，且高校甲宣講結束后需立即到高校丁宜

講，高校乙、高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）

A.2g種B.32種C.36種D.44種

【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）

【典例分析】

如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個小區(qū)涂色，規(guī)定每個區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概

率是

A.1/7b.2/7c.3/7D.4/7

【變式演練】

1.正方體六個面上分別標有A、B、C、。、E、尸六個字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，

要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.

A.420B.600C.720D.780

2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內，且

恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（）.

A.40320種B.5040種C.20160種D.2520種

3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4,B,C,。，E,廣，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中

每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

A.192B.336C.600D.以上答案均不對

【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）：

【典例分析】

如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表

面涂色（底面44c不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）

A.6種B.9種

C.12種D.36種

【變式演練】

L如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

2.在如圖所示的d'■一面體ABCDERG”/中，用3種不同顏色給這個幾何體各個頂點染色，每個頂點染一種顏

色，要求每條棱的兩端點異色，則不同的染色方案種數(shù)為.

3,用五種不同顏色給三棱臺ABC-。砂的六個頂點染色，要求每個點染一種顏色，且每條棱的兩個端點染不

同顏色.則不同的染色方法有那.

【題型四】書架插書模型

【典例分析】

有12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其他人的相

對順序不變，則不同調整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【變式演練】

1.從A,B,C,D,a,btc,d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按4（a）,BS）,C（c）,D（d）

先后順序，但大小寫可以交換位置，如AMc或辦比都可以），這樣的情況有種.（用數(shù)字作答）

2?.在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進去三個節(jié)目，求共有多少

種安排方法

3.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有

（）.

A.210種B.252種C.504種D.505種

【題型五】球放盒子模型1:球不同，盒子也不同

【典例分析】

已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的

盒子的編號之和恰為11,則不同的放球方法種數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【變式演練】

1.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

2.將編號分別為1,2,3,4,5的5個小球分別放入3個不同的盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子中所

放小球的編號奇偶性均不相同的概率為

1167

D

A.7-B.6-一

2524

3.將A,B,C,。四個小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A,8不能放

入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（)

A.15B.30C.20D.42

【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同

【典例分析】

把1995個不加區(qū)別的小球分別放在10個不同的盒子里，使得第i個盒子中至少有i個球=

則不同放法的總數(shù)是

A.CbB.C.G*9D.C^|9

【變式演練】

1.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

2.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每

盒至少4個球，共有種方法.

A.C；B.C]C.C；A：D.C^Cl

3.將7個相同的小球放入A,B,C三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（）種不同的放法.

A.60種B.36種C.30種D.15種

【題型七】相同元素排列模型1:數(shù)字化法

【典例分析】

如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動，則

小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

A.24B.18C.12D.9

【變式演練】

L一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能

力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，則小蜜蜂不同的

飛行方式有多少種？

A.5B.25C.55D.75

2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外

跳到第8個格子的方法種數(shù)為

加「卜卜卜卜卜”

A.8種B.13種C.21種D.34種

3.如圖所示，甲、乙兩人同時出發(fā)，甲從點A到B,乙從點C到。，且每人每次都只能向上或向右走一格.

則甲、乙的行走路線沒有公共點的概率為（）.

圖3

【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等

【典例分析】

1.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個

連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

2.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的路燈，滿足條件的關燈辦法有

種

【變式演練】

1.某公共汽車站有6個候車位排成一排，甲、乙、丙三個乘客在該汽車站等候228路公交車的到來，由于市

內堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個位置，則恰好有2個連續(xù)空

座位的候車方式的種數(shù)是

A.48B.54C.72D.84

2.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲

車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

3.地面上有并排的七個汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時倒車入庫.當停車完畢后，恰有兩

個連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有.

【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等

【典例分析】

欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.C種D.144種

【變式演練】

1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故乂稱為“兔子

數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34.....在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下被

遞推的方法定義：/(1)=1,/(2)=1,/5)=/(〃-1)+/(〃-2乂〃之2,〃eN)這種遞推方法適合研究生活

中很多問題.比如：一六八中學食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到

二樓就餐有()種上樓方法.

A.377B.610C.987D.1597

2.從一樓到二樓共有12級臺階，可以一步邁一級也可以一步邁兩級，要求8步走完，則從一樓到二樓共有

走法.

A.12B.8C.70D.66

3.某人從上一層到二層需跨10級臺階.他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為

二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.

則他從一層到二層可能的不同過程共有()種.

A.6B.8C.10D.12

2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東賽區(qū)預賽試題

【題型十】多事件限制重疊型

【典例分析】

班班會準備從含甲、乙、丙的7名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)

言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為

2333

A.-B.—C.——D.—

17162628

【變式演練】

1.某同學計劃用他姓名的首字母-X,身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個符號人。設置一

個六位的密碼.若廠X必選，且符號不能超過兩個，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對順序不

變，則他可設置的密碼的種數(shù)為（）

A.864B.1009C.1225D.1441

2.2019年11月19日至20日，北京師范大學出版集團攜手北師大版數(shù)學教材編寫組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦

了以“新課程，我們都是追夢人”為主題的北師大版中小學數(shù)學教材交流研討會，會議期間舉辦了一場“互動

沙龍”，要求從6位男嘉賓，2位女嘉賓中演機選出4位嘉賓進行現(xiàn)場演講，且女嘉賓至少要選中1位，如果2

位女嘉賓同時被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（）

A.1860B.1320C.1140D.1020

3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個車位中的四個內，要求相同顏色的車不

在同一行也不在同一列，則共有種不同的停放方法.（用數(shù)字作答）

ABC

DEF

【題型十一】多重限制分類討論

【典例分析】

高一新生小崔第一次進入圖書館時看到了館內樓梯（圖1）,她準備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心

中默默計算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有

一寬度達L5米的平臺，這樣原來的走樓梯方案需要調整，請問，對于剩下的15級（12+3）樓梯按分2段的

走法與原來一次性走15級的走法相比較少了種.

圖1圖2

【變式演練】

1.市內某公共汽車站有7個候車位（成一排），現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學隨機坐在某個座位上候車，則

甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為：（用數(shù)字作答）3位同學相鄰，另2位同學也相鄰，

但5位同學不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

2.2021年某地電視臺春晚的戲曲節(jié)目，準備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個劇種的各

一個片段.對這6個劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該

戲曲節(jié)目演出順序共有（）種.

A.120B.156C.188D.240

3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺劇《星火》.《星火》的票價為50元/人，每人限購

一張票.甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔.他們六人排成一列到售票處

買票，而售票處一開始沒有準備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊順序能使購票時售票處不出

現(xiàn)找不出錢的狀態(tài).（）

A.720B.360C.180D.90

【題型十二】綜合應用

【典例分析】

設十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第2,…，10）個人的水桶需77分鐘，假設

方各不相同，當水龍頭只有一個可用時，應如何安排他（她）們的接水次序，使他（她）們的總的花費時間（包括

等待時間和自己接水所花費的時間）最少（）

A.從不中最大的開始，按由大到小的順序排隊

B.從77中最小的開始，按由小到大的順序排隊

C.從靠近77平均數(shù)的一個開始，依次按取一個小的取一個大的的擺動順序排隊

D.任意順序排隊接水的總時間都不變

【變式演練】

1.由1,2,3,4,5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，

后3個數(shù)字保持遞增“（如五位數(shù)“43125”：前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率

是（）

2.設A是集合｛1,2,345,6,7,8910｝的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集4的個數(shù)為（）

A.32B.56C.72D.84

3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運動會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名學生擔任冰球、冰壺和短道速滑三個

項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人.則學生甲不會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為（）

【課后練習】

1.如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則AC區(qū)域涂色不相同的概

4

D.

7

2.將一個四棱錐S-ABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用,

則不同的染色方法的總數(shù)是

A.540B.480C.420D.360

3.清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進

入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年

級3人相鄰的前提下，高一年級3人不相鄰的概率為（）

795

B.—C.—D.—

A.H121414

4.10名同學合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調整到前排，若其他人的相對

順序不變，則不同調整方法的總數(shù)是（）

A.B.C試C.C；&D.C試

5.將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有

且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

6.現(xiàn)有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數(shù)互不相同，則不同

放法的種數(shù)是（）

A.28B.24C.18D.16

7.某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連

在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為

A.16B.18C.32D.72

8.校園某處并排連續(xù)有6個停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機上下車，規(guī)定：當有汽車相鄰停

放時，車頭必須同向；當車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有種.（用數(shù)學作

答）

9.如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A、A是道路網(wǎng)中位于一條對

角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的

最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N、M處為止.則下列說法正確的是（）

A.甲從M到達N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過4到達N處的方法有64種

Q1

C.甲、乙兩人在A2處相遇的概率為不

400

D.甲、乙兩人相遇的概率為g

10.有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學

7步登完樓梯的概率為.

11.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務人員支援武漢六個不同的方艙醫(yī)

院，每個方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務人員的年齡為4