金融工程學(xué)：第三章 利率衍生產(chǎn)品的定價和短期利率動態(tài)模型

固定收益證券第三章利率衍生產(chǎn)品的定價和短期利率動態(tài)模型3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價市場不均衡時的套利機(jī)會[例題]市場中有三種固定收益證券，證券A為二年期息票率為3.08%的債券，市場價格為102元（根據(jù)折現(xiàn)因子計算的均衡價格為101.6363元），證券B面值為2.275元，一年后到期，息票率為2.59%，市場均衡價格為1.005998元/1元面值，債券C面值為1002.3337元，與A同時到期，息票率為2.84%，市場均衡價格為1.011514元/1元面值。請構(gòu)造一個套利組合。頭寸計算現(xiàn)金流賣空10張債券A10×102.001020買進(jìn)1張債券B-1.00598×2.275-2.2886買進(jìn)1張債券C-1.011514×1002.333-1013.8746總計3.8368初始時刻現(xiàn)金流3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價頭寸計算現(xiàn)金流10張債券A利息-10×100×0.0308-30.8000債券C利息1002.3337×0.028428.4663債券B本息和2.2750×1.02592.3339總計0第一年后現(xiàn)金流頭寸計算現(xiàn)金流10張債券A本息-10×100×1.0308-1030.8000債券B本息1002.3337×1.02841030.8000總計0第二年后現(xiàn)金流這樣我們就在初始時刻獲得無風(fēng)險的套利收益3.8368元。3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價格和利率變化。

請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價格和利率變化。

假設(shè)有一個在時刻1到期（半年后）的看漲期權(quán)，行權(quán)價格為99.00元，求改期權(quán)現(xiàn)在的市場價格。3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價對于債券來講，我們用二叉樹模型來介紹無套利均衡分析的定價方法：[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價格和利率變化。1.89%2.05%1.90%1/21/2利率的二叉樹二叉樹模型繪制要點時刻0和時刻1間隔時間為6個月利率在計算中的生效時間段為它后面那兩個線段所處的時間段。比如1.89%生效的時間段為時刻0到時刻1這6個月，而2.05%和1.90%在時刻1以后的6個月生效。時刻1時刻06個月3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價格和利率變化。1.89%2.05%1.90%1/21/2利率二叉樹99.06100100半年期零息債券價格二叉樹一年期零息債券價格二叉樹98.0898.9999.05100100100時刻0時刻1時刻23.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價格和利率變化。一年期零息債券價格二叉樹98.0898.9999.051001001001.89%2.05%1.90%1/21/2利率二叉樹時刻1和時刻0是否遵循時間價值關(guān)系呢？實際上，由于在時刻1債券的價格將有兩種價格可能，這實際上形成了風(fēng)險（債券成為風(fēng)險證券），這樣根據(jù)風(fēng)險補償?shù)脑瓌t時刻1價格的期望值折現(xiàn)后高于時刻0。1/21/21/23.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價[例題]承接上題，假設(shè)有一個在時刻1到期的看漲期權(quán)，行權(quán)價格為99.00元，求改期權(quán)現(xiàn)在的市場價格。一年期零息債券（債券B)價格二叉樹98.0898.9999.05100100100？00.05看漲期權(quán)價格二叉樹模型99.06100100半年期零息債券（債券A)價格二叉樹我們要利用無套利復(fù)制技術(shù)來確定這個期權(quán)在0時刻的價值。假設(shè)期權(quán)在0時刻的價值可以用x份債券A，y份債券B來確定，那么期權(quán)在0時刻的價值為：99.06x＋98.08y那么，在時刻1的情況怎樣？3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價一年期零息債券（債券B)價格二叉樹98.0898.9999.0510010010099.06100100半年期零息債券（債券A)價格二叉樹？00.05看漲期權(quán)價格二叉樹模型在時刻1，債券A的價格為100元，當(dāng)債券B的價格為98.99元時，期權(quán)的價格為0100x＋98.99y＝0（1）在時刻1，債券A的價格為100元，當(dāng)債券B的價格為99.05元時，期權(quán)的價格為0.05100x＋99.05y＝0.05（2）3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價100x＋98.99y＝0（1）100x＋99.05y＝0.05（2）聯(lián)立解方程組，求出x和y：

x＝－0.8249（份）y＝0.8333（份）這樣我們得到：賣空0.8249份債券A，買入0.8333份債券B,這樣的債券組合可以復(fù)制該期權(quán)。那么，期權(quán)在0時刻的價值為：－0.8249×99.06＋0.8333×98.08＝0.02元3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價讓我們做一個練習(xí)：[練習(xí)]假定半年期和一年期的即期利率分別為3.99％和4.16％（名義利率，半年復(fù)利一次）。假定半年以后的半年期的即期利率有兩種可能的取值，4％和4.5％。市場中有兩種對應(yīng)的零息債券。有一個看漲期權(quán)在半年后到期，敲定價格為96.850元。利用上面的條件，畫出債券的兩叉樹模型，并求期權(quán)在0時刻的價格。解題的步驟：（1）畫出利率的兩叉樹模型。（2）分別求債券A和B在以半年為時間段的均衡價格。（3）畫出期權(quán)的二叉樹模型。（4）利用無套利技術(shù)復(fù)制期權(quán)，形成方程組，解決問題。3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價3.99%4.5%4%1/21/2利率二叉樹98.044100100半年期零息債券價格二叉樹一年期零息債券價格二叉樹95.96697.79998.039100100100？0.9491.189看漲期權(quán)價格二叉樹模型在時刻1，債券A的價格為100元，當(dāng)債券B的價格為98.99元時，期權(quán)的價格為0100x＋97.799y＝0.949（1）在時刻1，債券A的價格為100元，當(dāng)債券B的價格為99.05元時，期權(quán)的價格為0.05100x＋98.039y＝1.189（2）假設(shè)期權(quán)在0時刻的價值可以用x份債券A，y份債券B來確定，那么期權(quán)在0時刻的價值為：98.044x＋95.966y3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價聯(lián)立解方程組，求出x和y：

x＝－0.9685（份）y＝1.00（份）這樣我們得到：賣空1.005份債券A，買入1.037份債券B,這樣的債券組合可以復(fù)制該期權(quán)。那么，期權(quán)在0時刻的價值為：－0.9685×98.044＋1.00×95.966＝1.01元100x＋97.799y＝0.949（1）100x＋98.039y＝1.189（2）3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價3.2風(fēng)險中性定價一年期零息債券（債券B)價格二叉樹94.99697.2797.511001001005%5.6%5.1%1/21/2利率二叉樹實際上，由于在時刻1債券的價格將有兩種價格可能，這實際上形成了風(fēng)險（債券成為風(fēng)險證券），這樣根據(jù)風(fēng)險補償?shù)脑瓌t時刻1價格的期望值折現(xiàn)后高于時刻0。債券在時刻1的價格和采用的折現(xiàn)率是不能變動的，那么唯一可以變動的是這兩個價格發(fā)生的概率。通過變動概率，使得時刻1的期望價值滿足折現(xiàn)公式，這包含什么樣的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義？3.2風(fēng)險中性定價風(fēng)險厭惡、風(fēng)險中性和風(fēng)險喜好……在拉斯維加斯有一個賭場設(shè)計這樣一個賭局:賭博的形勢是猜硬幣的正反面，如果是正面，賭客贏得賭場2000元，如果是反面，賭客一分錢也得不到。請問這個賭局的入局費（賭注）應(yīng)該是多大才公平？根據(jù)輸贏的概率，得到入局費的標(biāo)準(zhǔn)：50％×2000元＋50％×0＝1000元1000元的賭注對于賭場和賭客而言都是公平的。那么你希望賭注是多大才能夠參與？3.2風(fēng)險中性定價我希望賭注小于1000元。希望賭注小于1000元(比如300元）的人屬于風(fēng)險厭惡型的。風(fēng)險厭惡型的人拒絕公平賭博，他希望風(fēng)險應(yīng)該得到補償（比如700元的補償）。我愿意無條件參加賭博。愿意無條件參加賭博的人屬于風(fēng)險中性的人，他們對于風(fēng)險采取無所謂的態(tài)度。假設(shè)另外一場賭注達(dá)到10000元的公平賭博，他們也愿意無條件參加（顯然新賭局風(fēng)險更大）。風(fēng)險中性的人對于不確定性風(fēng)險不要求補償。即使賭注大于1000元我也愿意參加。對于明顯不利于自己的賭博也要參加的人屬于風(fēng)險喜好型的。最典型的例子是買彩票，一張彩票的價格為2元，而中300萬大獎的概率為6.29×10－8。不算小獎，彩票的公平價格為0.20元。3.2風(fēng)險中性定價在一個風(fēng)險中性的世界里，所有參與者都是風(fēng)險中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風(fēng)險大小或者是否有風(fēng)險，預(yù)期收益率都相同，都等于無風(fēng)險收益率。所有資產(chǎn)的價值都是未來預(yù)期值用無風(fēng)險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。3.2風(fēng)險中性定價效用風(fēng)險風(fēng)險厭惡風(fēng)險中性風(fēng)險喜好哪一條曲線代表風(fēng)險中性？3.2風(fēng)險中性定價回到題中，我們希望在時刻1得到的期望價格遵循折現(xiàn)規(guī)律，也就是對于價格的不確定沒有風(fēng)險補償，這就是風(fēng)險中性狀態(tài)。為了達(dá)到這種狀態(tài)，我們能改變的只有概率，假設(shè)概率如圖所示，分別為p和1－p。我們列出等式計算概率。一年期零息債券（債券B)價格二叉樹94.99697.2797.511001001005%5.6%5.1%1/21/2利率二叉樹

p1－p這種虛擬的概率稱為風(fēng)險中性概率，這種方法稱為風(fēng)險中性定價法。結(jié)論3.2風(fēng)險中性定價一年期零息債券（債券B)價格二叉樹94.99697.2797.51100100100

p1－p接上頁，我們得到風(fēng)險中性的概率：我們直接利用這個結(jié)果計算期權(quán)在0時刻的價值：？0.9491.189看漲期權(quán)價格二叉樹模型期權(quán)在0時刻的價值為1.01元。如果用上一節(jié)的方法，結(jié)果一樣嗎？3.2風(fēng)險中性定價這里，我們得到的概率實際上是一個假想的概率，利用這個概率求得的債券的期望值于現(xiàn)值之間遵循時間價值的折現(xiàn)規(guī)律。

3.2風(fēng)險中性定價[練習(xí)]假定半年期和一年期的即期利率分別為3.99％和4.16％（名義利率，半年復(fù)利一次）。假定半年以后的半年期的即期利率有兩種可能的取值，4％和4.5％。市場中有兩種對用的零息債券。有一個看漲期權(quán)在半年后到期，敲定價格為96.850元。利用風(fēng)險中性原理來計算期權(quán)在0時刻的價格。一年期零息債券價格二叉樹95.96697.79998.0391001001003.99%4.5%4%1/21/2利率二叉樹？0.9491.189看漲期權(quán)價格二叉樹模型3.2風(fēng)險中性定價接上頁，我們計算風(fēng)險中性概率：利用風(fēng)險中性概率計算期權(quán)價格：結(jié)果與原來的方法一樣。3.3多期的無套利定價我們利用風(fēng)險中性概率來解決多期債券定價的問題：[例題]假設(shè)半年期即期利率為5.0％，18個月的即期利率為5.28％。從現(xiàn)在開始，市場預(yù)測6個月后半年期即期利率有兩種可能，分別是：5.6％和5.1％；12個月后市場預(yù)期的半年期即期利率可能為5.7％、4.9％和5.25％。債券的面值為1000元，請以半年為周期為債券定價，并求風(fēng)險中性概率。第一步確定利率的二叉樹模型：5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%3.3多期的無套利定價第二步構(gòu)造債券價格的二叉樹模型1000100010001000這里，哪些價格我們能夠簡單計算出來？3.3多期的無套利定價第三步計算模型中的數(shù)據(jù)5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%1000100010001000925.21972.29974.42976.09pupd注意價格和利率的對應(yīng)關(guān)系!3.3多期的無套利定價第三步計算模型中的數(shù)據(jù)(continue)我們還需要知道在時刻1風(fēng)險中性的概率,這個概率可以通過市場中1年期債券價格得到。我們利用前一節(jié)的結(jié)果，知道風(fēng)險中性概率分別為：0.585和0.415。（這里我們假設(shè)這是已知結(jié)果。實際上如果我們知道半年后即期利率的分布狀態(tài)，我們可以求得時刻1的風(fēng)險中性概率）

我們設(shè)時刻2風(fēng)險中性的概率分別為p和1－p。

列出方程組。5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%1000100010001000925.21972.29974.42976.09pupd0.5850.415p1－pp1－p3.3多期的無套利定價第三步計算模型中的數(shù)據(jù)(continue)5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%1000100010001000925.21972.29974.42976.09pupd0.5850.415q1－qq1－q列方程組3.3多期的無套利定價第三步計算模型中的數(shù)據(jù)(continue)結(jié)論3.3多期的無套利定價讓我們來做一個練習(xí)[例題]假設(shè)半年期即期利率為4.0％，12個月的即期利率為4.15%，18個月的即期利率為4.28％。從現(xiàn)在開始，市場預(yù)測6個月后半年期即期利率有兩種可能，分別是：4.6％和4.1％；12個月后市場預(yù)期的半年期即期利率可能為4.7％、3.9％和4.25％。債券的面值為1000元，請以半年為周期為債券定價，并求風(fēng)險中性概率。第一步確定利率的二叉樹模型：4.0%4.6%4.1%4.7%4.25%3.9%1000100010001000938.45977.04979.19980.87pupd第二步債券價格的二叉樹模型：3.3多期的無套利定價第三步確定風(fēng)險中性概率：4.0%4.6%4.1%960.15100010001000977.51979.91通過一年期面值為1000元的零息債券求風(fēng)險中性概率3.3多期的無套利定價4.0%4.6%4.1%4.7%4.25%3.9%1000100010001000938.45977.04979.19980.87pupd第四步列方程組解決問題：列方程組？3.3多期的無套利定價我們可以將我們的方法推廣到多期，如下圖（圓點為未知數(shù)據(jù)）在上圖中，需要求出時刻1和時刻2的債券價格，首先根據(jù)市場上一年期債券和十八個月的債券計算風(fēng)險中性概率，然后設(shè)時刻3的風(fēng)險中性概率為未知數(shù)，可以列出六元六次方程組解決問題。1000100010001000x33x32x31x30q1－qp2q2x0pq10002年期零息債券4.0%4.6%4.1%4.7%4.25%3.9%4.9%4.5%4.3%3.6%我們只要知道利率的二叉樹模型，我們就能夠求出在此期間任意的零息債券的節(jié)點價值。怎樣得到利率變化的情況？3.4Hoo-Lee模型

Hoo（霍）－Lee(李）模型是在1986年給出的，方法直觀簡單，我們按照步驟來了解模型是如何解決問題的……(1)利用模型計算的前提條件我們需要知道市場上一系列零息債券的市場價格，這樣我們能夠得到相應(yīng)的即期利率的數(shù)值。比如我們需要分三個階段（每個階段6個月）來計算一個零息