2025年統(tǒng)編版2024高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年統(tǒng)編版2024高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷361考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為48，前2n項(xiàng)和為60，則前3n項(xiàng)和為（）A.108B.63C.75D.832、設(shè)a=b=c=2是（）

A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.a＜c＜b

D.b＜a＜c

3、若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則k的值是（）A.B.C.D.4、函數(shù)y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞，﹣5]上是減函數(shù)，則a的范圍是（）A.a≥0B.a≤0C.a≥10D.a≤105、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A.B.C.D.6、函數(shù)f（x）=在[2，+∞）上為增函數(shù)，且f（0）=0，則f（x）的最小值是（）A.f（2）B.f（0）C.f（-2）D.f（4）評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)7、向量的坐標(biāo)分別是(1,2)、(3,-4),則在上的射影=____▲.8、函數(shù)的值域是______．9、【題文】奇函數(shù)在處有極值，則的值為____．10、【題文】設(shè)集合則____．11、【題文】若集合則=_________12、設(shè)f：A→B是A到B的一個(gè)映射，其中A=B={（x，y）|x，y∈R}，f：（x，y）→（x-y，x+y），則B中元素（1，3）在A中的對應(yīng)元素是__________13、若冪函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm-1在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為______．評卷人得分三、證明題(共7題，共14分)14、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．15、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．16、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD交于點(diǎn)O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．17、如圖；過圓O外一點(diǎn)D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點(diǎn)E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點(diǎn)；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．18、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．19、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時(shí)也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD交于點(diǎn)O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．評卷人得分四、解答題(共1題，共10分)21、【題文】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí)；恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.評卷人得分五、綜合題(共3題，共24分)22、已知y=ax2+bx+c（a≠0）圖象與直線y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）兩點(diǎn)，與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)C．

（1）求直線和拋物線解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．23、如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c恰好經(jīng)過x軸上A；B兩點(diǎn)．

（1）求A；B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式．24、已知拋物線y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求證：拋物線的頂點(diǎn)必在x軸的下方；

（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），過A、B兩點(diǎn)的圓M與y軸相切，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為；求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為P，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，求△CPA的面積．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】【解析】試題分析：成等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，即解得．故選B考點(diǎn)：本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【解析】【答案】B2、C【分析】

∵=0，=32=9，＜1；

∴a＜c＜b．

故選C．

【解析】【答案】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

3、A【分析】解答：滿足約束條件：平面區(qū)域如圖示：由圖可知，直線恒經(jīng)過點(diǎn)A（0，），當(dāng)直線再經(jīng)過BC的中點(diǎn)D（）時(shí)，平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分；

當(dāng)x=y=時(shí)，代入直線的方程得：

k=

故選A．

分析：先根據(jù)約束條件：畫出可行域，求出可行域頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用幾何意義求面積即可．4、D【分析】【解答】解：函數(shù)y=x2+2（a﹣5）x﹣6的圖象是。

開口方向朝上；以x=5﹣a為對稱軸的拋物線。

若函數(shù)y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞；﹣5]上是減函數(shù)。

則5﹣a≥﹣5

解得a≤10

故選D．

【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+2（a﹣5）x﹣6，我們可以分析出函數(shù)圖象的形狀，及函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞，﹣5]上是減函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出滿足條件的a的范圍．5、D【分析】【解答】令則

【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，由是解題的關(guān)鍵.6、A【分析】解：由于當(dāng)x＞-2時(shí)；函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

又由函數(shù)在[2；+∞）上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)；

故當(dāng)x＞-2時(shí)；f（x）≥f（2）；

又由當(dāng)x≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）=2-x為減函數(shù)；

則當(dāng)x≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）≥f（-2）=2-2＞0=f（0）＞f（2）；

故f（x）的最小值是f（2）；

故選：A．

依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到若f（4-x）=f（x），則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，進(jìn)而得到當(dāng)x＞-2時(shí)，f（x）的單調(diào)性，再由當(dāng)x≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）=2-x為減函數(shù)；進(jìn)而得到函數(shù)的最小值．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．【解析】【答案】A二、填空題(共7題，共14分)7、略

【分析】【解析】

因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)分別是(1,2)、(3,-4),則在上的射影【解析】【答案】-18、略

【分析】試題分析：正切函數(shù)在是單調(diào)遞增的，所以在處取得最小值，在處取得最大值.考點(diǎn)：正切函數(shù)圖像及性質(zhì).【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以因?yàn)樵谔幱袠O值，所以即所以

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性，函數(shù)極值.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

試題分析：由補(bǔ)集的定義有由并集的定義有

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】解：當(dāng)x-y=1；x+y=3時(shí)，x=2，y=1；

故B中元素（1；3）在A中的對應(yīng)元素為（2，1）；

故答案為（2；1）

直接由映射的概念列關(guān)于x；y的二元一次方程組求解x，y的值，則答案可求．

本題考查了映射的概念，考查了方程組的解法，是基礎(chǔ)的概念題．【解析】（2，1）13、略

【分析】解：由冪函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm-1，可得m2-m-1=1；解得m=2或-1．

又冪函數(shù)y=xm-1在區(qū)間（0；+∞）上是增函數(shù)，∴m=2．

故答案為：2．

利用冪函數(shù)的定義；單調(diào)性即可得出．

本題考查了冪函數(shù)的定義、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】2三、證明題(共7題，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．15、略

【分析】【分析】首先作CD關(guān)于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點(diǎn)共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關(guān)于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點(diǎn)共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】延長AM，過點(diǎn)B作CD的平行線與AM的延長線交于點(diǎn)F，再連接CF．根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)和逆定理可得CF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點(diǎn)B作CD的平行線與AM的延長線交于點(diǎn)F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】要證E為中點(diǎn)，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點(diǎn)．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽R(shí)t△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】構(gòu)造以重心G為頂點(diǎn)的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點(diǎn)共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點(diǎn)共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點(diǎn)共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．19、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】延長AM，過點(diǎn)B作CD的平行線與AM的延長線交于點(diǎn)F，再連接CF．根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)和逆定理可得CF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點(diǎn)B作CD的平行線與AM的延長線交于點(diǎn)F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．四、解答題(共1題，共10分)21、略

【分析】【解析】（1）證明∵函數(shù)定義域?yàn)镽；其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

∵f（x+y）-f（x）+f（y）；令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0；得f(-x)=-f(x),

∴f(x)為奇函數(shù).

（2）解方法一設(shè)x,y∈R+；∵f（x+y）=f（x）+f（y）；

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+；f（x）＜0,

∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0；+∞）上是減函數(shù).又∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0；

∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（-2）為最大值；f(6)為最小值.

∵f(1)=-∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,

f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x)在區(qū)間［-2；6］上的最大值為1，最小值為-3.

方法二設(shè)x1＜x2,且x1,x2∈R.

則f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.

∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-

∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1；f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.【解析】【答案】（1）證明漸近線（2）f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.五、綜合題(共3題，共24分)22、略

【分析】【分析】（1）由直線y=kx+4過A（1，m），B（4，8）兩點(diǎn)，列方程組求k、m的值，再把O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求a、b；c的值；

（2）存在．根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)求△OAB的面積，再由S△OCD=2S△OAB=12，求D點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求D點(diǎn)縱坐標(biāo)．【解析】【解答】解：（1）∵直線y=kx+4過A（1；m），B（4，8）兩點(diǎn)；

∴，解得；∴y=x+4；

把O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，；

∴y=-x2+6x；

（2）存在．設(shè)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為h（h＞0）；

由O（0，0），A（1，5），B（4，8），可知S△OAB=6；

∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12；解得h=4；

由-x2+6x=4，得x=3±；

∴D（3+，4）或（3-，4）．23、略

【分析】【分析】（1）過C作CE⊥AB于E；根據(jù)拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得Rt△OAD≌Rt△EBC，則OA=AE=BE，可設(shè)菱形的邊長為2m，則AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出m的值，由此可確定A；B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)（1）題求得的三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．【解析】【解答】解