2024年新東方初中數(shù)學(xué)初二年級寒假第4講 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)含答案

2024年新東方初中數(shù)學(xué)初二年級寒假第4講圖形的

平移與旋轉(zhuǎn)（難）含答案第4節(jié)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

目標(biāo)層級圖

課前檢測

I.把點(diǎn)A（2,及）向上平移2貝個(gè)單位得到點(diǎn)A'坐標(biāo)為（）

A.（2,-72）B.（2,V2）C.（2,-3&）D.（2,3夜）

2.如圖，在中，/AC5=90°,NA=35°,將△A3C繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角到△

4'B'C'的位置，A'力恰好經(jīng)過點(diǎn)B,則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為.

3.下列生活現(xiàn)象中，屬于平移現(xiàn)象的是（）

A.急剎車時(shí)汽車在地面滑行

B.足球在草地上跳動(dòng)

C.投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上

D.鐘擺的擺動(dòng)

4.如圖，。為等邊三角形八BC內(nèi)一點(diǎn)，PC=3,%=4,PB=5,求/APC的度數(shù).

A

課中講解

一.平移的概念與性質(zhì)

平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)成為

平移.平移不改變圖形的形狀和大小.

平移的性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在一條

直線上）且相等；對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且用等，對應(yīng)角相等.

A.2B.3C.4D.5

過關(guān)檢測

1.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)4向左平移1個(gè)單位長度，向下平移4個(gè)單位長度.則點(diǎn)

A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(5,3)B.(-1,-2)C.(-I,-1)D.(0,-1)

2.如圖，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(1,2)、(4,0),將AAOB沿x軸向右平移，得到△CDE,

已知。8=1,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

三.旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形

運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大

小.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任

意一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.

例1.如圖，將△A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△￡￡＞（7.若點(diǎn)、A,D,￡在同一條直線上,

NAC8=20。，則N4OC的度數(shù)是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

過關(guān)檢測

1.如圖,在RtAA8c中，ZB=90°,AB=BC=4,將AABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得

到△MNC,則BM的長足

B

2.如圖，等腰直角三角形CDE的腰C￡＞在08上，ZECD=45°,將三角形COE

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,點(diǎn)五的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在04上，則空的值為

CD

四.旋轉(zhuǎn)的作圖（格點(diǎn)下）

例1.如圖，△48C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為月（2,4）,8（1,1）,C（4,3）.

（1）請畫出△A8C關(guān)于x軸對稱的△AliG，并寫出點(diǎn)Ai的坐標(biāo);

（2）請畫出△/18c統(tǒng)點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"后的△八23c2；

（3）求出（2）中。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留根號和IT）；

（4）求M（2）△/128c2的面積是多少.

過關(guān)檢測

1.如圖，平面宜角坐標(biāo)系中，△A8C的頂點(diǎn)都在正方形（每個(gè)小正方形邊長為單位1）網(wǎng)格

的格點(diǎn)上.

（1）△ABC的形狀是（直接寫答案）；

（2）平移△A8C,若人對應(yīng)的點(diǎn)4坐標(biāo)為（3,-1）,畫出向G；

（3）畫出△ABC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△8A2C2并求出旋轉(zhuǎn)過程中△ABC掃過的面

積.（結(jié)果保留TT）

五.解密旋轉(zhuǎn)全等的構(gòu)造

例1.如圖，E、尸分別是正方形A8CO的邊8C、CD上一點(diǎn),且BE+DF=EF,則/￡4斤=

_______度.

D

過關(guān)檢測

1.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，/XBOC是等腰三角形，且/8。。=120度.以。

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交A8于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)M連接MN.

(1)求證：MN=〃M+NC：

(2)求的周長為多少？

2.已知：如圖，點(diǎn)P是等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，％=2,尸8=G,PC=1,求N80C的度數(shù).

A

3.(1)閱讀理解

利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是?種常用的方法.如圖1,點(diǎn)尸是等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，

網(wǎng)=1,PR=6,PC=2.求N8PC的度數(shù).

為利用已知條件，不妨把ABPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C,連接尸P',則P?

的長為;

在△心P'中，易證/B4P'=90“，且/尸P'A的度數(shù)為,綜上口」得N8PC的度數(shù)

為;

(2)類比遷移

如圖2,點(diǎn)P是等腰RtZkAAC內(nèi)一點(diǎn)，ZACfi=90°,M=2,PB=,PC=\.求/APC

的度數(shù)；

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在四邊形ABC。中，BC=5,CO=8,AB=AC=-AD,ZBAC=2ZADC,請直接

2

寫Hl8。的長.

六.中心對稱圖形及性質(zhì)

概念：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這

兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做它們對稱中心.如圖，AABC與△A'B'C'

成中心對稱，點(diǎn)O是它們的對稱中心.

性質(zhì)：成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平方.

例1.下列美麗的圖案中，是中心對稱圖形的個(gè)數(shù)是（）

X?80

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

過關(guān)檢測

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.如圖，已知△A/5C和△人斤。關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZABC=ZA'B'CB.ZAOB=ZA'OB'

C.AB=A'B'D.OA=OB'

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（?3,4）.將它沿），軸方向向.上平移3個(gè)單位所得點(diǎn)的坐標(biāo)

是（）

A.(-3,1)B.(-3,7)C.(0,4)D.(-6,4)

2.下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

3.如圖，將△ABC向右平移得到△OER已知A,D兩點(diǎn)的距離為1,CE=2,則B/的長為

（）

C.3D.2

4.兩個(gè)全等的三角尺重疊放在aACB的位置，將其中?個(gè)三角尺繞著點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)至4DCE的位置，使點(diǎn)A恰好落在邊上，AB與CE相交于點(diǎn)F.已知NACB=NDCE

=90°,NB=30°,AB=Scnu則CF=cm.

5.如圖，等腰RtZXABC中，BA=BC,N4BC=90°,點(diǎn)。在4c上，將△48。繞點(diǎn)8沿順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到人向凡

(1)求NOCE的度數(shù);(2)若AB=4,CD=3AD,求OE的長.

第4節(jié)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

目標(biāo)層級圖

*1S)可?

的轉(zhuǎn)

第一部分：首先學(xué)習(xí)了圖形平移的概念，可以舉一些生活中常見的例子如，坐

電梯等，讓學(xué)生能夠更加清楚的理解到平移現(xiàn)象，然后通過例子去帶學(xué)生研究

出平移的性質(zhì)，圖形的形狀和大小都不改變。

第二部分：引入平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)坐標(biāo)的平移，需要解釋清楚上下左右平移

分別對應(yīng)的坐標(biāo)變化情況，同時(shí)如果是任意的移動(dòng)，可以轉(zhuǎn)化成上下左右來進(jìn)

行移動(dòng)，從而達(dá)到簡便的目的

第三部分：旋轉(zhuǎn)的概念，也需要舉一些實(shí)際生活案例進(jìn)行引入，比如：汽車的

方向盤、鐘表指針的旋轉(zhuǎn)、湯秋千等，然后跟學(xué)生一起研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一般

考試不經(jīng)?？夹D(zhuǎn)的概率判定，更多的是考察圖形的旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)的線段相等，

角度相等，去求一些邊長或關(guān)系或者角度問題，也有一定的難度；

第四部分：旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格作圖題：這部分首先還是必須梳理圖形，特別是三角形關(guān)

于x軸、y軸、原點(diǎn)的對稱圖形的畫法，其次也要講清楚圖形繞著原點(diǎn)（主）或

不是原點(diǎn)（次）旋轉(zhuǎn)90?；蛘?80。的圖形的畫法，然后對應(yīng)成績好的學(xué)生還

要講解某條邊在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積（扇形的面積公式或推導(dǎo)方法）；

第五部分：旋轉(zhuǎn)在全等圖形中的運(yùn)用，這部分主要從“半角模型”和“奔馳模

型”兩種模型進(jìn)行講解，首先需要給學(xué)生解釋清楚半角和奔馳的模型判定方法，

然后會正確的畫出旋轉(zhuǎn)之后的圖形構(gòu)造出全等圖形，從而實(shí)現(xiàn)邊和角的轉(zhuǎn)化；

特別是奔馳模型，建議新老師一定要提前梳理清楚；

第六部分：中心對稱，這部分內(nèi)容比較簡單，也不是一個(gè)重難點(diǎn)考點(diǎn)，所以帶

學(xué)生梳理清楚中心對稱的定義及能夠簡單進(jìn)行運(yùn)用即可。

課前檢測

1.把點(diǎn)A(2,V2)向上平移2亞個(gè)單位得到點(diǎn)4坐標(biāo)為()

A.(2,-V2>B.(2,V2)C.(2,-3^2)D.(2,3加)

【答案】。

【解答】解：將點(diǎn)A(2,V2)向上平移2亞個(gè)單位，得到點(diǎn)A',則4'的坐標(biāo)為

(-2,3&),

故選：

2.如圖，在RtZXACB中，/ACB=90°,NA=35°,將AABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角到△

4'C的位置，A'B'恰好經(jīng)過點(diǎn)從則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為70。.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???在Rt^ACB中，N4C8=90°,NA=35°,

???N48C=55",

??,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角到△/!'B'C的位置,

???N8'=ZABC=55°,NB'CA'=ZACB=90°，

CB=CB',

：,/CBB'=/B'=55°,

AZa=70°,

故答案為：70°.

【點(diǎn)評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的

對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

3.下列生活現(xiàn)象中，屬于平移現(xiàn)象的是（）

A.急剎車時(shí)汽車在地面滑行

B.足球在草地上跳動(dòng)

C.投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上

D.鐘擺的擺動(dòng)

【答案】4

【解答】解：A.急剎車時(shí)汽車在地面滑行，是平移現(xiàn)象：

8.足球在草地上跳動(dòng)，方向變化，不符合平移的定義，不屬于平移；

C.投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上，大小發(fā)生了變化，不符合平移的定義，不屬于

平移；

D.鐘擺的擺動(dòng)，不沿直線運(yùn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，不屬于平移.

故選：A.

4.如圖，P為等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，PC=3,%=4,尸3=5,求NAPC的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：將ABCP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACQ,連接PQ.再過4作C尸的延

長線的垂線A。，垂足為。，

:,AQ=PB=5,CQ=PC,NPCQ=60°，

???△PCQ是等邊三角形，

：?PQ=PC=3,NQPC=60°,

在△心。中，???必=4,AQ=5,PQ=3,

：.AQ2=PA1+PQ1,

：.ZAPQ=90°,

???ZAPC=ZAPQ+ZQPC=150°.

B

課中講解

一.平移的概念與性質(zhì)

平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)成為

平移.平移不改變圖形的形狀和大小.

平移的性質(zhì)；一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在一條

直線上）且相等；對?應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且用等，對應(yīng)角相等.

例1.下列現(xiàn)象中是平移的是（）（平移的定義判定）

A.翻開書中的每一頁紙張

B.飛碟的快速轉(zhuǎn)動(dòng)

C.將一張紙沿它的中線折疊

D.電梯的上下移動(dòng)

【答案】。

【解答】解：A不是沿某一直線方向移動(dòng)，不屬于平移.4不是沿某一直線方向移動(dòng),

不屬于平移.。新圖形與原圖形的形狀和大小不同，不屬于平移.因此C錯(cuò)誤.

故選：D.

過關(guān)檢測

1.下列現(xiàn)象屬于數(shù)學(xué)中的平移的是（）（平移的定義判定）

A.樹葉從樹上隨風(fēng)飄落

B.升降電梯由一樓升到頂樓

C.汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)

D.“神舟”號衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)

【答案】B

【解答】解：A、樹葉從樹上隨風(fēng)飄落不屬于平移，故此選項(xiàng)不合題意；

以升降電梯由一樓升到頂樓屬于平移，故此選項(xiàng)符合題意;

C、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)不合題意；

。、“神舟”號衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

2.下列運(yùn)動(dòng)屬于平移的是()(平移的定義判定)

A.電風(fēng)扇扇葉的轉(zhuǎn)動(dòng)

B.石頭從山頂滾到山腳的運(yùn)動(dòng)

C.電梯從一樓運(yùn)動(dòng)到三樓

D.蕩秋千

【答案】C

【解答】解：A.電風(fēng)扇扇葉的轉(zhuǎn)動(dòng)不是平移，故A選項(xiàng)不符合題意；

B.石頭從山頂滾到山腳的運(yùn)動(dòng)不是平移，故8選項(xiàng)不符合題意；

C.電梯從一樓運(yùn)動(dòng)到三樓是平移，故C選項(xiàng)符合題意；

D.蕩秋千不是平移，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

二.坐標(biāo)系下點(diǎn)的平移

例1.將點(diǎn)尸(1,2)向左平移3個(gè)單位后的坐標(biāo)是()(點(diǎn)的平移)

A.(-2,2)B.(1,-1)C.(I,5)D.(-L-1)

【答案】A

【解答】解：點(diǎn)P（l,2）向左平移3個(gè)長度單位后，坐標(biāo)為（1-3,2）,即（-2,2）.

故選:A.

例2.如圖，A”的坐標(biāo)為（2,0）,（0,1）,若將線段A8平移至4S，則的值為（）

（線段的平移，也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的平移）

【分析】直接利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求解即可.

【解答】解：由B點(diǎn)平移前后的縱坐標(biāo)分別為1、2,可得8點(diǎn)向上平移了1個(gè)單位，

由A點(diǎn)平移前后的橫坐標(biāo)分別是為2、3,可得A點(diǎn)向右平移了1個(gè)單位，

由此得線段A8的平移的過程是：向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，

所以點(diǎn)A、3均按此規(guī)律平移，

由此可得a=0+l=I,〃=0+1=1,

故a+b=2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的

平移與圖形I：某點(diǎn)的平移相同.平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐

標(biāo)上移加，下移減.

過關(guān)檢測

1.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)A向左平移1個(gè)單位長度，向下平移4個(gè)單位長度.則點(diǎn)

A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()(平移的定義判定)

A.(5,3)B.(-1,-2)C.(-1,-1)D.(0,-1)

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：點(diǎn)4(1,3)向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位所得的對應(yīng)點(diǎn)的坐

標(biāo)為(1-1,3-4),即對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-1).

故選：D.

2.如圖，點(diǎn)A、4的坐標(biāo)分別為(1,2)、(4,0),將△A06沿x軸向右平移，得到△CDE,

己知。8=1,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,2).(圖形的平移，利用平移的性質(zhì)求解)

【分析】利用。3=1,B(4,0),得出△AO8沿x軸向右平移了3個(gè)單位長度，再

利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求解即可.

【解答】解：???點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1,2)、(4,0),將△408沿x軸向右平移，

得到△(?￡>￡：,DB=1,

???0。=3,

???△AO8沿x軸向右平移了3個(gè)單位長度,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4,2）.

故答案為：（4,2）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖

形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同.平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；

縱坐標(biāo)上移加，下移減.

三.旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形

運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大

小.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任

意一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.

例1.如圖，將△/WC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC.若點(diǎn)4,E在同一條直線上,

4CB=20°,則N/WC的度數(shù)是（）（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)邊不變，從而出現(xiàn)等腰三

角形）

E

3

BC

A.55°B.60°C.65°D.70°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可.

【解答】解：???將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EQC.

??.N￡）CE=NAC8=20°,ZBCD=ZACE=W,AC=CE,

???NC4O=45°,NACO=90°-20°=70°,

AZADC=180°-450?70°=65°,

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三舛形內(nèi)先和解答.

過關(guān)檢測

1.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=BC=4,將&4BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得

到△MNC,則的長是，點(diǎn)+2&_.（解析給的方法是證明AC_LBM,設(shè)交點(diǎn)為O,

去分別求BO和OM的長度求和；對于成績比較好的學(xué)生可以補(bǔ)充15°的直角三角形的

三邊關(guān)系，從而過點(diǎn)M作BC的垂線與點(diǎn)H,求出CH和HM的長度，然后利用勾股定

理求解）

R'A

【分析】如圖，連接AM,由題意得：CA=CM,NACM=60°,得到為等

邊三角形根據(jù)AB=8C,CM=AM,得出垂直平分AC,于是求出OM

=CM?sin60°,最終得到答案8M=B0+0M=2企+2%.

【解答】解：如圖，連接AM,

由題意得：CA=CM,NACM=60°,

???△ACM為等邊三角形，

?=CM,NM4C=NMC4=N4MC=60°；

VZABC=90Q,A8=BC=4,

.MC=4&，CM=4五

'：AB=BC,CM=AM,

??.BM垂直平分AC,

：,B0=—AC=2^OA/=CM?sin60。=2%，

2

二BM=BO+OM=2A/2+2加，

故答案是：2點(diǎn)+2加.

【點(diǎn)評】本題考查了圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，OALOB,等腰直角三角形CDE的腰在08上，ZECD=45°,將三角形石

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在（M上，則匹的值為返.

CD-2一

（本題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)的邊相等，得到NC和CE相等，可以設(shè)出CD的長，求出CE的

長，求出NNCO=60°,再求出OC,進(jìn)而可以比，對于題目有角度的時(shí)候，一定要注意特殊的

角，是解題的關(guān)鍵）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出NNCE=75°,求出NNCO,設(shè)OC=m則CN=2a,根據(jù)

△CMN也是等腰直角三角形設(shè)CM=MN=x,由勾股定理得出F+f=(2〃)2,求出工

=心，得出。。=亞小代入求出即可.

【解答】解：???將三角形CQE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在

0A上,

AZEGV=75°,

VZECD=45°,

???NNCO=180°-75°-45°=60°,

*：AOLOB,

???NAO8=90°,

???/ONC=30°,

設(shè)OC=a,則CN=2a,

???等腰直角三角形。CE旋轉(zhuǎn)到△CMN,

???△CMN也是等腰直角三角形，

設(shè)CM=MN=x,則由勾股定理得：『+/=(2a)2

x=^J-2a,

即CO=CM=傷,

?0C_a

**CDV2a

故答案為：坐.

2

【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，主要考杳學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算

的能力，題目比較好，但有一定的難度.

四.旋轉(zhuǎn)的作圖（格點(diǎn)下）

例1.如圖，△48C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2,4）,8（1,1）,C（4,3）.

（1）請畫出關(guān)于x軸對稱的△ABG，并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；（圖形對稱）

（2）請畫出△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△/hBCz;（圖形的旋轉(zhuǎn)）

（3）求出（2）中。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留根號和n）；（扇形面

積，可以補(bǔ)充扇形面積公式和弧長公式）

（4）求出（2）△zhBC2的面積是多少.（圖形的面積，常用割補(bǔ)法，利用四邊形來

減三角形）

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸時(shí)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，寫出點(diǎn)A、B、。的對應(yīng)點(diǎn)4、

用、G的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到△A8iG；

（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫舟點(diǎn)A.C的對應(yīng)點(diǎn)4、C2,則可得到△43C2；

（3）C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過的路徑是以8點(diǎn)為圓心，BC為半徑,圓心角為90°

的弧，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；

（4）利用一個(gè)矩形的面積分別減去二個(gè)三角形的面枳可計(jì)算出△A2AC2的面積.

【解答】解：（I）如圖，山iG為所作，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,-4）；

（2）如圖,△4BC2為所作;

（3）4c=422+32=^1^，

所以C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長=處上返=返大

1802

1117

（4）ZXA田G的面積=3X3--XIX2--XIX3-—X2X3=—.

■2222

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于

旋轉(zhuǎn)角，而應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的隹，在角的邊上截取相等的線段的方

法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.也考查了軸對稱變換.

過關(guān)檢測

I.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形（每個(gè)小正方形邊長為單位I）網(wǎng)格

的格點(diǎn)上.

（1）ZkABC的形狀是一等腰直角二角形（直接寫答案）；

（2）平移△A8C,若A對應(yīng)的點(diǎn)4坐標(biāo)為（3,-1）,畫出△4B1G;

（3）畫出△ABC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△BA2c2并求出旋轉(zhuǎn)過程中AABC掃過

的面積.（結(jié)果保留死）

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及其逆定理即可判斷；

（2）分別作出三頂點(diǎn)平移的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得答案；

（3）作出點(diǎn)A,C繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得，旋轉(zhuǎn)過程

中三角形掃過的面枳是三角形面枳與扇形的面枳和，據(jù)此列式計(jì)算.

【解答】解：（1）VAB2=l2+22=5,4C2=l2+22=5,BC2=I2+32=10,

：.AB2+AC2=BC2,且A8=AC,

???△ABC是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形：

（2）如圖,△AIBIG即為所求.

（3）如圖，△胡2。2即為所求,

BC=NI2+32=775,BA=y]I2+22=

△布掃過的面積。X泥x在+9°x兀X（6）2=2L.

23602

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換與旋轉(zhuǎn)變換的

定義及其性質(zhì)，扇形的面積公式等知識點(diǎn).

五.解密旋轉(zhuǎn)全等的構(gòu)造

例1.如圖，E、尸分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點(diǎn)，且8f+DF=";則NE4F=

45度.（半角旋轉(zhuǎn)：分為兩種，例題是半角完全包含在大角內(nèi)部，還有一種部分包含的，

需要老師提前找一個(gè)例題，帶學(xué)生清楚的熟練兩種不同的情況）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖：延長到G,使。G=BE,則尸G=EF,

'AB=AD

在aABE和aAOG中，NB=/ADG，

BE=DG

A^ABE^AADG(SAS),

：,AE=AG

又???4斤=4/，GF=EF

???AAGF^AAEF

AZEAF=ZGAF=-X90°=45°.

2

過關(guān)檢測

I.如圖，△48C是邊長為3的等邊三角形，ABOC是等腰三角形，且NB/）C=120度.以。

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交A8于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)M連接MM

（1）求證：MN=BM+NC；（半角模型證線段相等）

（2）求△AMN的周長為多少？（轉(zhuǎn)化邊）

\

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：是等腰三角形，且N8OC=120°,

:?/BCD=/DBC=30°，

???△ABC是邊長為3的等邊三角形，

AZABC=ZBAC=ZfiC4=60°,

.??NQB/1=NOCA=9()°,

延長48至F,使B/=CN,連接DF,

在和△CN。中，

BF=CN

，NFBD=NDCN，

DB=DC

:?△BDFqACND(SAS),

:?NBDF=/CDN,DF=DN,

VZMDN=60a,

???NBOM+NCQN=60°,

???N8DM+N8。產(chǎn)=60°,

在△OWN和中，

rDM=MD

NFDM:NMDN，

DF=DN

???ADMN//XDMF(SAS)

：,MN=MF=MB+BF=MB+CN；

(2)由(1)證得MN=M6+CM

???△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=6.

2.已知：如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=V3,PC=1,求N8PC的度數(shù).

（奔馳模型，可以帶學(xué)生把三個(gè)三角形分別進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，對比

不同的情況的求解過程）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：以BP為邊作等邊三角形BPD,連接A。,

則BD=BP=DP=遭,NDBP=/BDP=6G,

???△A8C是等邊三角形,

；.AB=BC,/A8C=60°,

VZABD+ZABP=ZCBP+ZABP=60°,

AB=BC

在△480與△C8P中，，ZABD=ZCBP.

BD=BP

：.4ABDWACBP（SAS）,---------------------------------------------------------------------------------

--（3分）

:?/BPC=/BDA,AD=PC=\,

在△4。尸中，???必=2,尸。=加，40=1,

：.AP2=DP2+AD2,

???△APO是直角三角形，--------------------------------------------------------

（4分）

AZADP=90°,

ZADB=ZADP+ZBDP=150°,

???NBPC=150°.----------------------------------------------------------------------------------------------

3.(1)閱讀理解

利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖1,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),

PA=\,P8=夷，PC=2.求N8PC的度數(shù).

為利用已知條件，不妨把△8PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得C,連接PP',則PP'

的長為2；

在△心"'中，易證N%P'=90°,且NPP'4的度數(shù)為30°,綜上可得NBPC

的度數(shù)為90°；（奔馳旋轉(zhuǎn)）

（2）類比遷移

如圖2,點(diǎn)P是等腰RtZXABC內(nèi)一點(diǎn)，ZACB=90°,PA=2,PB=?PC=\.求N

APC的度數(shù)；（奔馳旋轉(zhuǎn)）

（3）拓展應(yīng)用

如圖3,在四邊形A8CO中，BC=5,CD=8,AB=AC=-AD,ZBAC=2ZADC^請

直接寫出8。的長.（需要平移aBAD,轉(zhuǎn)化BD,剛好出現(xiàn)直角三角形，利用勾股定理

求解，方法很靈活，需要提前做一遍）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）把△3PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得產(chǎn)C,連接PP'（如圖1）.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知P是等邊三角形；

:?P'A=PB=近、ZCP1P=60°、P'P=PC=2,

在△AP'P中，?.?AP2+尸'A2=l2+（V3）2=4=PP2；

???△AP'〃是直角三角形；

???/〃40=900.

VM=—PC,

???NAPP=30°；

:?/BPC=NCP'4=NCPP+NAP尸=600+30°=90°.

故答案為:2；30°；90°；

(2)如圖2,把△3PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AA產(chǎn)C,連接PP'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP'P是等腰直角三角形；

：.P'C=PC=\,ZCPP'=45°、P'P=V2?PB=AP、=在

在P中，\,AP，1+P,/=(V2)2+(V2)2=2=4/；

???△AP'〃是直角三角形；

AZAP'P=90°.

/.NAPP'=45°

???NAPC=NAPP'+NCPP=450+45°=90°

(3)如圖3,*：AB=AC,

將△AB。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4CG,連接。G.則BO=CG,

ZBAD=ZCAG,

：.ZBAC=ZDAG,

'：AB=AC.AD=AG,

：.NA8C=ZACB=NADG=NAGD,

J^ABC^/XADG,

*：AD=2AB,

：,DG=2BC=\0,

過A作AE_L8C于E,

???N/ME+NA8C=9()°,ZBAE=ZADC,

???NADG+/AOC=90°,

AZGDC=90°,

ACG=VDG2-CD2=V102+82=2^>

ABD=CG=2V41.

六.中心對稱圖形及性質(zhì)

概念：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這

兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做它們對稱中心.如圖，△ABC與△A'B'C'

成中心對稱，點(diǎn)O是它們的對稱中心.

性質(zhì)：成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平方.

例1.下列美麗的圖案中，是中心對稱圖形的個(gè)數(shù)是（）（中心對稱圖形的判定）

國區(qū)心?

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：第I、3、4個(gè)圖形為中心對稱圖形，共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度

后與原圖重合.

過關(guān)檢測

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）（中心對稱圖形的判定）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故比選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后與原圖重合.

2.如圖，已知△A8C和△AbC關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）（中心對

稱圖形的性質(zhì)）

A.ZABC=ZA'B'CB.ZAOB=ZA'OB'

C.AB=A'B'D.OA=OB'

【答案】。

【解答】解：??.△ABC和△△'B'C關(guān)于點(diǎn)。成中心對稱，

B'C,

：.AB=A,,OA=OA,,ZABC=ZA'B'C',

可得NAOC=NA'OC,

故A,B,C正確，只有。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：。.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)。(?3,4).將它沿)，軸方向向上平移3個(gè)單位所得點(diǎn)的坐標(biāo)

是()(點(diǎn)的平移〕

A.(-3,I)B.(-3,7)C.(0,4)D.(-6,4)

【答案】B

【解答】解：所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

縱坐標(biāo)為4+3=7,

即(-3,7).

故選：B.

2.下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()(中心對稱和軸對稱定義判

定)

【答案】D

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意;

8、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

。、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意.

故選：D.

3.如圖，將△ABC向右平移得到已知A,。兩點(diǎn)的距離為1,CE=2,則B尸的長為

（）（圖形的平移）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解答】解：???將向右平移得到△/）￡/，

：?AD=BE=CF=1,

VEC=2,

：.BF=BE+EF+CF=\^-2+\=4,

故選：B.

4.兩個(gè)全等的三角尺重疊放在aACB的位置，將其中一個(gè)三角尺繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)至△￡）（；￡的位置，使點(diǎn)4恰好落在邊。E上，A8與CE相交于點(diǎn)F.已知N4CB=N

DCE=90°,NB=30°,AB=8cm,則CF=2&cm.（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）

E

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DC=4C，NO=/CAB,再利用已知角度得出乙4尸。

=90",再利用直角三角形的性偵得出尸C的長.

【解答】解：???將其中一個(gè)三角尺繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△QCE的位置，使

點(diǎn)A恰好落在邊上，

：.DC=AC,ZD=ZCAB,

：.ZD=ZDAC,

VZACB=ZDCE=90°,NB=30°,

AZD=ZCAB=60°,

???NOCA=60°,

???NAC尸=30。，

可得NA〃C=90°,

AB=Scm,

r.FC=4cos30°=2V3（cm）.

故答案為：2加.

【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及宜角三角形的性質(zhì)，正確得出NArC的度

數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.如圖，等腰RtZ\4BC中，BA=BC,N48C=90°,點(diǎn)。在4C上，將△48。繞點(diǎn)8沿順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)9（r后，得到△C8E.（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）

（I）求/OCE的度數(shù);

(2)若4B=4,CD=3AD,求。E的長.

【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)求得NBA。、N8C。的度數(shù)，然后由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得N8CE的度數(shù)，故此可求得NOCE的度數(shù)；

（2）由（1）可知△OCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的長，然后依據(jù)比

例關(guān)系可得到C七和DC的長，最后依據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：（1）,??△ABC為等腰直角三角形，

：.ZBAD=ZBCD=45a.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NB4O=N8CE=45°.

AZDCE=ZBCE+ZBCA=450+45°=90°.

（2）?；BA=BC,N/16C=90°,

.,.AC=A/AB2+BC2=472.

\*CD=3AD,

?"。=&，DC=3版

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD=EC=^/2.

22

???DE=VCE+DC=2泥.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，

求得NOCE=90°是解題的關(guān)鍵.

家長簽字：____________

第5講因式分解1

目標(biāo)層級圖

課前檢測

1.下列等式從左到右的圖形，屬于因式分解的是（）

A.rn(a—b)=mu—mbB.2a2+u=u(a+1)

C.(x+y)2=x2+2xy+y2D.m2+4m+4=m(m+4)+4

2.(1)若x+y=4,Ay=3,求+母?的值.

3.分解因式/（工一為+⑶一X）=.

課中講解

一?概念

1.定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)

式因式分解，也

叫作分解因式。

分解因式與整式乘法互為逆變形。

注意：

（1）分解的結(jié)果要以積的形式表示；

（2）每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須不高于原來多項(xiàng)式的

次數(shù)；

（3）必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止

2.因式分解結(jié)果的要求

因式分解結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式常見錯(cuò)誤或不規(guī)范模式

符合定義，結(jié)果一定是乘積的形式(x+l)(x+2)(x+3)+7

不能含有中括號，大括號(x+l)[2(x+3)-ll

最后的因式不能再次分解(x-I)(x2-l)

相同因式寫成事的形式A(X-1)(X-1)(X+1)

括號首項(xiàng)不能為負(fù)x(-x-1)(x4-1)

因式中不含有分式

X

因式中不含無理數(shù)

x(x-\[2)(x+y/2)

單項(xiàng)式因式寫在多項(xiàng)式因式前面U-DMx-l)

每個(gè)因式第一項(xiàng)系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)

x(-x-l)(x+l)

3

例1.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為()

A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-l)(x+l)+y2

C.x2-1=(X-1)(A+1)D.ax-bx+c=x(a+b)+c

過關(guān)檢測

1.下列從左到右邊的變形，是因式分解的是()

A.(x+3)(3-x)=9-x2B.(y-l)(y-3)=-(3-y)(y+1)

C.4yz-2y2+z=2z(2z-yz)+zD.-8.r2+8x-2=-2(2x-I)2

2.下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是()

A.f_/_2=x(x-1)-2B.(a+h)(a-b)=a2-b2

C.x2-4=(X-2)(A-2)D.X-1=X(1——)

x

3.下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是()

A.(a-2)(a+2)=G2-4B.x2+x-\=(x-\)(x+2)+\

C.a+ax+ay=a{x+y)D.crb-ab1=ab(a-b)

二.提公因式法

1.公因式定義：多項(xiàng)式以+慶的各項(xiàng)都含有相同的因式如我們把多項(xiàng)式各

項(xiàng)都含有相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

2.確定公因式的方法：

①系數(shù)一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

②字母或多項(xiàng)式因式——取各項(xiàng)都含有的字尾或多項(xiàng)式因式的最低次塞

3.提公因式法定義：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，可將這個(gè)公因

式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提

公因式法。

4.提公因式步驟：

①確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式（包括系數(shù)、字母、多項(xiàng)式因式）

②提出公因式（注意符號）

③確定多項(xiàng)式提出公因式后的因式（把原多項(xiàng)式除以公因式所得的商作為另

一個(gè)因式，寫出結(jié)果），將提出公因式后的因式合并同類項(xiàng)

（注意：如果某一項(xiàng)提出全部后，還剩1）

例1.（1）3a2b2-1-12a2b2c（2）45〃%2c+9a2be-54a2b2e

(3)x3+3X2+X

過關(guān)檢測

1.因式分解：2a2-4a=

2.把下列各式因式分解

(1)-3R，3+27/)，(2)一12/一6/-9工

(3)JC-IX(4)3^-\2X2-3X

例2.對下列式子進(jìn)行因式分解

(1)(a-/?)4+a[a-bf+b(b-a)3(2)2x(x-2)+(2-x)

過關(guān)檢測

I.把下列各式進(jìn)行因式分解

(1)fl(x-3)+24>(x-3);(2)5(X-?+10()，-X)3

(3)4^/(1-p)3+2(p-I)2(4)3〃?(x-)，)-〃(y-x)

2.已知(2x-2l)(3x-7)T3x-7)(x-13)可分解因式為(3x+a)(x+b),其中a、b均為整數(shù),

則。+3Z?=.

例3.若-2/T-4a"的公因式是M,則M等于()

A.2/TB.-2a"C.—2"iD.-2^'+,-2an+1