高中數(shù)學(xué)《必修第二冊(cè)》課后習(xí)題8.6.2　直線與平面垂直

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.若空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交答案C解析取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC異面,故選C.2.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定答案C解析因?yàn)閘⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可證,m⊥平面ABC,所以l∥m,故選C.3.(多選題)已知a,b是兩條不重合的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題正確的是()A.若a⊥α,a⊥β,則α∥βB.若a⊥α,b⊥α,則a∥bC.若a⊥b,b⊥α,a∥β,則α∥βD.若α∥β,a與α所成的角和b與β所成的角相等,則a∥b答案AB解析對(duì)于A,若a⊥α,a⊥β,由線面垂直的性質(zhì)及面面平行的定義可得α∥β,故A正確;對(duì)于B,若a⊥α,b⊥α,由線面垂直的性質(zhì)定理可得a∥b,故B正確;對(duì)于C,若a⊥b,b⊥α,a∥β,則α與β可能平行,也可能相交,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若α∥β,a與α所成的角和b與β所成的角相等,則a與b可能平行、相交或異面,故D錯(cuò)誤.故選AB.4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,則PC與平面ABCD所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析如圖,連接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PAAC∴∠PCA=60°.5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,則EF與平面BB1O的位置關(guān)系是.(填“平行”或“垂直”)

答案垂直解析∵底面ABCD為正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.6.如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,則直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為.

答案15解析如圖所示,取A'B'的中點(diǎn)D,連接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥側(cè)面ABB'A',故∠C'BD是直線BC'與平面ABB'A'所成角.等邊三角形A'B'C'的邊長為1,C'D=32在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'7.在三棱錐V-ABC中,當(dāng)三條側(cè)棱VA,VB,VC之間滿足條件時(shí),有VC⊥AB.(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)

答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保證VC⊥AB即可)解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.8.如圖,∠ACB=90°,平面ABC外有一點(diǎn)P,PC=4cm,點(diǎn)P到角的兩邊AC,BC的距離都等于23cm,則PC與平面ABC所成角的大小為.

答案45°解析過P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,連接CO,則CO為∠ABC的平分線,且∠PCO為PC與平面ABC所成的角,設(shè)其為θ,連接OF,易知△CFO為直角三角形.又PC=4,PF=23,∴CF=2,∴CO=22,在Rt△PCO中,cosθ=COPC∴θ=45°.9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分別是AD,PC的中點(diǎn).證明:PC⊥BE.證明如圖,連接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn),所以EF⊥PC.又因?yàn)锽P=AP2+ABF是PC的中點(diǎn),所以BF⊥PC.又因?yàn)锽F∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因?yàn)锽E?平面BEF,所以PC⊥BE.10.如圖,在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn).(1)求證:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解連接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=AD即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為64關(guān)鍵能力提升練11.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論正確的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°答案ABC解析由于BD∥B1D1,BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,則BD∥平面CB1D1,所以A正確;因?yàn)锽D⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正確;可以證明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正確;由于AD∥BC,則∠BCB1=45°是異面直線AD與CB1所成的角,所以D錯(cuò)誤.12.(多選題)在正三棱錐A-BCD中,側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E,F分別為棱AB,CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是()A.EF與AD所成角的正切值為3B.EF與AD所成角的正切值為2C.AB與面ACD所成角的余弦值為7D.AB與面ACD所成角的余弦值為7答案BC解析設(shè)AC中點(diǎn)為G,BC的中點(diǎn)為H,連接EG,FG,AH,DH.因?yàn)锳E=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直線EF與AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32由于三棱錐A-BCD是正三棱錐,BC⊥DH,BC⊥AH,又因?yàn)锳H,HD?平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因?yàn)锳D?平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=EGFG=132=2過點(diǎn)B作BO垂直AF,垂足為O.因?yàn)镃D⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF?平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因?yàn)锽O?平面ABF,所以CD⊥BO.因?yàn)锽O⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD?平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB與平面ACD所成角.由題得BF=3,AF=22,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×213.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列結(jié)論:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1與底面ABCD所成角的正切值是22;④AD1與BD為異面直線其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案②③④解析①因?yàn)锳C∩平面CB1D1=C,所以AC與平面CB1D1不平行,故①錯(cuò)誤;②連接BC1,A1C1,圖略.易證AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因?yàn)锽1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正確;③因?yàn)镃C1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1與底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=C1CAC=2④AD1與BD既無交點(diǎn)也不平行,所以AD1與BD為異面直線,故④正確.14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中點(diǎn).(1)求證:AE⊥BC;(2)求點(diǎn)A1到平面ABE的距離.(1)證明因?yàn)锳C=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因?yàn)橹崩庵鵄BC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1?平面ACC1A1,AC?平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因?yàn)锳E?平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解設(shè)點(diǎn)A1到平面ABE的距離為h,取AB中點(diǎn)O,連接EO,在△ABE中,AE=BE=3,AB=2,則EO⊥AB,所以EO=AE所以△ABE的面積為12×2×2因?yàn)閂A所以13×S△ABE×h=13×所以13×2×h=13×12×2所以點(diǎn)A1到平面ABE的距離為2.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,動(dòng)點(diǎn)E在線段A1C1上,F,M分別是AD,CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是.

①FM與BC1所成角為45°;②BM⊥平面CC1F;③存在點(diǎn)E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱錐B-CFE的體積為定值.答案②④解析連接A1B,BC1,圖略.對(duì)于①,∵F,M分別為AD,CD的中點(diǎn),∴FM∥AC,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,則四邊形AA1C1C為平行四邊形,∴AC∥A1C1,∴異面直線FM與BC1所成的角為∠A1C1B,在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B為等邊三角形,則∠A1C1B=60°,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,∴△BCM≌△CDF,∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,又因?yàn)镃C1⊥平面ABCD,且BM?平面ABCD,所以CC1⊥BM,因?yàn)镃F∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正確;對(duì)于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因?yàn)槠矫鍯C1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BEF與平面AA1B1B有公共點(diǎn)B,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,VB-CFE=VE-BCF=13S△BCF·AA1=13×12BC·AB·AA1=16(16.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E為A1C1的中點(diǎn),CE⊥AC1.(1)證明:CE⊥平面AB1C1;(2)若C1E=3,AA1=6,AB=2BC,求點(diǎn)E到平面AB1C的距離.(1)證明∵CC1⊥平面A1B1C1,B1C1?平面A1B1C1,∴CC1⊥B1C1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,B1C1∥BC,AC⊥BC,則A1C1⊥B1C1.又A1C1?平面AA1C1C,CC1?平面AA1C1C,A1C1∩CC1=C1,∴B1C1⊥平面AA1C1C.又CE?平面AA1C1C,∴B1C1⊥CE.又CE⊥AC1,AC1?平面AB1C1,B1C1?平面AB1C1,B1C1∩AC1=C1,∴