專題14-5-認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)(知識(shí)講解)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練

專題14.5認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握無(wú)理數(shù)的概念，能正確區(qū)別有理數(shù)和無(wú)理數(shù),掌握無(wú)理數(shù)的表現(xiàn)形式，并能確找出無(wú)理數(shù).【要點(diǎn)梳理】1、定義：有理數(shù)：我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式(m、n是整數(shù)，n≠0)的數(shù)叫做有理數(shù)。無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。如圓周率、。2、有理數(shù)的分類整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，它們統(tǒng)稱為有理數(shù)。零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以看作分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)。3、無(wú)理數(shù)的兩個(gè)前提條件：（1）無(wú)限（2）不循環(huán)4、區(qū)別：（1）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。（2）任何一個(gè)有理數(shù)后可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)則不能。實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)注意：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a＞0表明a是正數(shù)；a＜0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。幾個(gè)易混淆概念【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的分類1．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：－2，100，－，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…，正有理數(shù)集合：｛…｝整數(shù)集合：｛…｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛…｝無(wú)理數(shù)集合：｛…｝【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義，以及有理數(shù)的分類分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．解：根據(jù)題意，則正有理數(shù)集合：｛0.9，，…｝；整數(shù)集合：｛－2，0，…｝；負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛－，－∣－5.2∣，…｝；無(wú)理數(shù)集合：｛100，0.1010010001…，…｝；【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義，以及有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題．【變式1】把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．．（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）（1）正數(shù)集合{

}；（2）有理數(shù)集合{

}；（3）無(wú)理數(shù)集合{}．【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）；（2）、0.1、、、0；（3）、、0.1212212221．．．（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行填寫即可．解：（1）正數(shù)集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）}；（2）有理數(shù)集合{-、0.1、、、0}；（3）無(wú)理數(shù)集合{、、0.1212212221．．．（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）}．【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類，掌握有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】將這些數(shù)按要求填入下列集合中：，4，，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，負(fù)數(shù)集合｛…｝分?jǐn)?shù)集合｛…｝非負(fù)整數(shù)集合｛…｝無(wú)理數(shù)集合｛…｝【答案】見(jiàn)解析【解析】試題分析：根據(jù)負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)以及無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.題中-（-5）=5，-|-5|=-5.解：負(fù)數(shù)集合｛，-1，-|-5|，…｝分?jǐn)?shù)集合｛，3.2…｝非負(fù)整數(shù)集合｛4，0，-（-5）…｝無(wú)理數(shù)集合｛，…｝類型二、網(wǎng)格上認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)1．如圖，在甲乙兩個(gè)4×4的方格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．（1）請(qǐng)求出圖中陰影正方形的邊長(zhǎng)；（2）大家知道是無(wú)理數(shù)，，∴它的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分可以表示為．請(qǐng)?jiān)趫D乙中畫一個(gè)與圖甲陰影部分面積不相等的正方形，要求邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)，并求所畫正方形邊長(zhǎng)的整數(shù)部分．（3）的整數(shù)部分是；小數(shù)部分是．【答案】（1）；（2）圖見(jiàn)解析，整數(shù)部分為2；（2）6，【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理即可求解；（2）畫出正方形，然后利用勾股定理求解即可；（3）估算出的范圍，即可找到答案．解：（1）邊長(zhǎng)為；（2）如圖，邊長(zhǎng)為，，，整數(shù)部分是2；（3），，∴整數(shù)部分為6，小數(shù)部分為．【點(diǎn)撥】本題主要考查無(wú)理數(shù)，掌握無(wú)理數(shù)的估算和勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在下列網(wǎng)格中分別畫出一個(gè)符合條件的直角三角形，要求三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且滿足：（1）三邊均為有理數(shù)；（2）其中只有一邊為無(wú)理數(shù)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】（1）由勾股定理得出5，畫出圖形即可；（2）由勾股定理得出直角邊長(zhǎng)為2、斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，畫出圖形即可．解：（1）5，△ABC即為所求，如圖1所示；（2）由勾股定理得：，△DEF即為所求，如圖2所示．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理、實(shí)數(shù)的定義；熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算與作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，四邊形ABCD中AC，BD相交于點(diǎn)O，試說(shuō)明邊AB，BC，CD，AD的長(zhǎng)度和對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)度中，哪些是有理數(shù)？哪些不是有理數(shù)？【答案】AB，AC，BD的長(zhǎng)度是有理數(shù)，BC，CD，AD的長(zhǎng)度不是有理數(shù).【解析】【分析】運(yùn)用勾股定理求出各條線段的長(zhǎng)度即可求得結(jié)果.解：由題圖知AC=7，BD=5，AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理，得ABBCCDAD因此AB，AC，BD的長(zhǎng)度是有理數(shù)，BC，CD，AD的長(zhǎng)度不是有理數(shù).【點(diǎn)撥】此題主要考查了有理數(shù)及無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001?，等有這樣規(guī)律的數(shù).類型三、與無(wú)理數(shù)有關(guān)的探究題3．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：≈1.414…，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說(shuō)出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來(lái)，但可以用﹣1來(lái)表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說(shuō)法．現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說(shuō)法解答：（1）的小數(shù)部分是a，的整數(shù)部分是b，求a+b﹣的值．（2）已知8+=x+y，其中x是一個(gè)整數(shù)，0＜y＜1，求3x+（y﹣）2018的值．【答案】（1）1；（2）28.【解析】（1）估算出和的大致范圍，然后可求得a、b的值，然后再求代數(shù)式的值即可．（2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后進(jìn)行計(jì)算即可．試題解析：（1）∵4＜5＜9，9＜13＜16，∴2＜＜3，3＜＜4．∴a=﹣2，b=3．∴a+b﹣=﹣2+3﹣=1．（2）∵1＜＜2，∴9＜8+＜10，∴x=9．∵y=8+﹣x．∴y﹣=8﹣x=﹣1．∴原式=3×9+1=28．舉一反三：【變式1】（閱讀材料）∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜＜2．∴﹣1的整數(shù)部分為1．∴﹣1的小數(shù)部分為﹣2（解決問(wèn)題）的小數(shù)部分是多少；我們還可以用以下方法求一個(gè)無(wú)理數(shù)的近似值．閱讀理解：求的近似值．解：設(shè)=10+x，其中0＜x＜1，則107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．因?yàn)?＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值為10.35．理解應(yīng)用：利用上面的方法求的近似值（結(jié)果精確到0.01）．【答案】解決問(wèn)題：的小數(shù)部分為-9；理解應(yīng)用：的近似值為9.89.【分析】解決問(wèn)題：先求出介于哪兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間，即可得出結(jié)論；理解應(yīng)用：設(shè)=9+x，其中0＜x＜1，求出97≈81+18x，求出x，即可得出答案．解：解決問(wèn)題：∵，即，∴的整數(shù)部分為9，∴的小數(shù)部分為-9.理解應(yīng)用：設(shè)=9+x，其中0＜x＜1，則97=（9+x）2，即97=81+18x+x2，∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1，∴97≈81+18x，解之得x≈0.89，即的近似值為9.89.【點(diǎn)撥】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．【變式2】觀察下圖,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.

(1)圖中陰影部分(正方形)的面積是多少?它的邊長(zhǎng)是多少?(2)估計(jì)陰影部分(正方形)的邊長(zhǎng)在哪兩個(gè)整數(shù)之間?【答案】(1).(2)邊長(zhǎng)在3與4之間..【解析】試題分析：（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來(lái)大正方形的面積減去周圍四個(gè)直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)，可以得到陰影正方形的邊長(zhǎng)；

（2）根據(jù)＜＜，可以估算出邊長(zhǎng)的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間．試題解析：(1)由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：，則陰影正方形的面積為10，即圖中陰影正方形的面積是10，邊長(zhǎng)是.(2)∵＜＜,∴，即邊長(zhǎng)的值在3與4之間.類型四、無(wú)理數(shù)的估算4已知的平方根是，的立方根是2，是的整數(shù)部分，求的值..【答案】16【分析】直接利用平方根以及立方根和估算無(wú)理數(shù)的大小得出a，b，c的值進(jìn)而得出答案．解：∵2a-1的平方根是±3，

∴2a-1=9，

解得：a=5，

∵3a+b-9的立方根是2，

∴15+b-9=8，

解得：b=2，

∵c是的整數(shù)部分，

∴c=7，

則a+2b+c=5+4+7=16．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及了平方根以及立方根和估算無(wú)理數(shù)的大小，正確得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】閱讀理解：∵＜＜，即2＜＜3∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為-2解決問(wèn)題：已知a-1的平方根是±1，3a+b-2的立方根是2，x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，求a+b+2x+y-的算術(shù)平方根．【答案】3.【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義解答即可．解：∵a-1的平方根是±1，∴a-1=1，∴a=2，∵3a+b-2的立方根是2，∴3a+b-2=8，∴b=4，∵x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，∴x=3，y=-3，∴a+b+2x+y-=9，∴a+b+2x+y-的算術(shù)平方根=3．故答案為：3.【點(diǎn)撥】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小：估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法．也考查了平方根．【變式2】設(shè)2＋的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y.（1）求2x＋1的平方根；（2）化簡(jiǎn)：|y－2|.【答案】（1）±3；（2）4－.【分析】（1）先求出x和y的值，再根據(jù)平方根的定義求解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可。解：解，∴x＝4，y＝2＋－4＝－2（1）（2）|y－2|＝|－2－2|＝|－4|＝4－【點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，也考查了平方根和絕對(duì)值的定義，能估算出的大小是關(guān)鍵。類型五、無(wú)理數(shù)的應(yīng)用5.閱讀下列材料：設(shè)：，①則.②由，得，即.所以.根據(jù)上述提供的方法.把和化成分?jǐn)?shù)，并想一想.是不是任何無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)？【答案】，.任何無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù).【解析】【分析】設(shè)①則，②；由，得；由已知，得，所以任何無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以這樣化成分?jǐn)?shù).解：設(shè)①則，②由，得，即.所以.由已知，得，所以.任何無(wú)限循環(huán)小數(shù)都能化成分?jǐn)?shù).【點(diǎn)撥】考核知識(shí)點(diǎn)：無(wú)限循環(huán)小數(shù)和有理數(shù).模仿，理解材料是關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】如圖所示，是直角三角形，四邊形是正方形.，.(1)求正方形的面積；(2)求正方形對(duì)角線的長(zhǎng).（精確到1)【答案】(1)161；(2)18【分析】（1）在中，根據(jù)勾股定理，；（2）連接，在中.根據(jù)勾股定理，得.再估計(jì)AE大小.解：（1）在中，根據(jù)勾股定理，得.所以.所以正方形的面積為161.(2)如圖，連接AE，在中.根據(jù)勾股定理，得.所以.因?yàn)?，?所以.所以.所以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)約為18.【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用．要注意三角形的三邊的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．【變式2】化簡(jiǎn)求值：已知是的整數(shù)部分，，求的平方根．已知：實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1.分析：（1）由