2025屆高考數(shù)學一輪復習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第2講排列與組合創(chuàng)新教學案含解析新人教版

PAGE第2講排列與組合[考綱解讀]理解排列、組合的概念及排列數(shù)與組合數(shù)公式，并能用其解決一些簡潔的實際問題．(重點)[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的一個熱點命題方向．預料2024年將會考查：①有條件限制的排列、組合問題；②排列、組合與其他學問的綜合問題．試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不大，屬中、低檔題型.1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素依據(jù)eq\o(□,\s\up1(01))肯定的依次排成一列組合合成一組2．排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\o(□,\s\up1(01))全部不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用eq\o(□,\s\up1(02))Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\o(□,\s\up1(03))全部不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用eq\o(□,\s\up1(04))Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝eq\o(□,\s\up1(01))n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(1)0?。絜q\o(□,\s\up1(03))1；Aeq\o\al(n,n)＝eq\o(□,\s\up1(04))n!(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\o(□,\s\up1(05))Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)4．常用結論(1)①Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n)；②Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Aeq\o\al(m,n－1)；③Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(2)①nAeq\o\al(n,n)＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)；②Aeq\o\al(m,n＋1)＝Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n).(3)1?。?·2?。?·3?。玭·n?。?n＋1)?。?.(4)①Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n－m＋1,m)Ceq\o\al(m－1,n)；②Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)；③Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,m)Ceq\o\al(m－1,n－1).(5)①kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)；②Ceq\o\al(r,r)＋Ceq\o\al(r,r＋1)＋Ceq\o\al(r,r＋2)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1).1．概念辨析(1)全部元素完全相同的兩個排列為相同排列．()(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(3)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．()(4)(n＋1)！－n?。絥·n！.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)考生甲填報某高校專業(yè)意向，準備從5個專業(yè)中選擇3個，分別作為第一、其次、第三志愿，則不同的填法有()A．10種 B．60種C．125種 D．243種答案B解析由題意，知不同的填法有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)．(2)從6名男生和2名女生中選出3名，其中至少有1名女生的選法共有________種．答案36解析分兩類：第1類是有1名女生，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,6)＝2×15＝30種；第2類是有2名女生，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,6)＝1×6＝6種．由分類加法計數(shù)原理，得共有30＋6＝36種．(3)有大小和形態(tài)完全相同的3個紅色小球和5個白色小球，將它們排成一排，共有________種不同的排列方法．答案56解析8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有依次，是組合問題．這樣共有Ceq\o\al(3,8)＝56種排法．(4)支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有________種．答案36解析先將4項工作分為3組，再排列，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36種不同的方法．題型一排列問題7位同學站成一排：(1)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？(2)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？(3)甲不排頭、乙不排尾的排法共有多少種？(4)甲、乙兩同學必需相鄰的排法共有多少種？(5)甲、乙兩同學必需相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？(6)甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？(7)甲總在乙的前面的排法有多少種？解(1)其中甲站在中間的位置，共有Aeq\o\al(6,6)＝720種不同的排法．(2)甲、乙只能站在兩端的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240種．(3)7位同學站成一排，共有Aeq\o\al(7,7)種不同的排法；甲排頭，共有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法；乙排尾，共有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法；甲排頭且乙排尾，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法；故共有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種不同的排法．(4)先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素(同學)一起進行全排列有Aeq\o\al(6,6)種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有Aeq\o\al(2,2)種方法，所以這樣的排法一共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,2)＝1440種．(5)甲、乙兩同學必需相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有：解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有Aeq\o\al(2,5)種方法；將剩下的4個元素進行全排列有Aeq\o\al(4,4)種方法；最終將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有Aeq\o\al(2,2)種方法，所以這樣的排法一共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝960種方法．解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素．若丙站在排頭或排尾有2Aeq\o\al(5,5)種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有(Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5))·Aeq\o\al(2,2)＝960種方法．解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有Aeq\o\al(1,4)種方法．再將其余的5個元素進行全排列共有Aeq\o\al(5,5)種方法，最終將甲、乙兩同學“松綁”，所以這樣的排法一共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝960種方法．(6)甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有：解法一：(間接法)Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,2)＝3600種．解法二：(插空法)先將其余五個同學排好有Aeq\o\al(5,5)種方法，此時他們留下六個位置(稱為“空”)，再將甲、乙同學分別插入這六個位置(空)有Aeq\o\al(2,6)種方法，所以一共有：Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(5,5)＝3600種．(7)甲總在乙的前面則依次肯定，共有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種．結論探究1若將本例中的結論變?yōu)椤凹?、乙、丙三個同學都不能相鄰”，則有多少種不同的排法？解先將其余四個同學排好，有Aeq\o\al(4,4)種方法，此時他們隔開了五個空位，再從中選出三個空位支配甲、乙、丙，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種方法．結論探究2若甲、乙、丙三位同學不都相鄰，則有多少種不同的排法？解7位同學站成一排，共有Aeq\o\al(7,7)種不同的排法；甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝720種．故共有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同的排法．結論探究3(1)若將7人站成兩排，前排3人，后排4人，共有多少種不同的排法？(2)若現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相對位置不變，則有多少種不同的加入方法？解(1)站成兩排(前3后4)，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040種不同的排法．(2)第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種，其次步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種，第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人有5種，此時形成6個空，任選一個空加一人，有6種，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×4×5×6＝360種方法．1．求解有限制條件排列問題的主要方法干脆法分類法選定一個適當?shù)姆诸悩藴?，將要完成的事務分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)．見舉例說明(3)分步法選定一個適當?shù)臉藴?，將事務分成幾個步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)．見舉例說明(4)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時留意捆綁元素的內(nèi)部排列．見舉例說明(5)插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中．見舉例說明(6)解法二除法對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以已定元素的全排列．見舉例說明(7)間接法對于分類過多的問題，按正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法．見舉例說明(3)，(5)解法二，(6)解法一2．解決有限制條件排列問題的策略(1)依據(jù)特別元素(位置)優(yōu)先支配進行分步，即先支配特別元素或特別位置．(2)依據(jù)特別元素當選數(shù)量或特別位置由誰來占進行分類．提示：(1)分類要全，以免遺漏．(2)插空時要數(shù)清插空的個數(shù)，捆綁時要留意捆綁后元素的個數(shù)及相鄰元素的排列數(shù)．(3)用間接法求解時，事務的反面數(shù)狀況要精確.1．(2024·六盤山高級中學月考)某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車須要停放，假如要求剩下的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為()A．18 B．24C．32 D．64答案B解析首先支配3輛車的位置，假設車位是從左到右一共7個，當3輛車都在最左邊時，不同的停放方法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，當左邊2輛，最右邊1輛時，不同的停放方法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，當左邊1輛，最右邊2輛時，不同的停放方法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，當最右邊3輛時，不同的停放方法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，綜上可知，共有不同的停放方法4×Aeq\o\al(3,3)＝24種．2．(2024·青島模擬)在高三某班進行的演講競賽中，共有5位選手參與，其中3位女生，2位男生，假如2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個，那么出場依次的排法種數(shù)為________．答案60解析2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個且2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場依次的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.題型二組合問題1．將12個相同的小球放入編號分別為1,2,3,4的四個桶中，要求每個桶中放入球的數(shù)量不得少于該桶的編號，則安排方案有()A．10種 B．12種C．14種 D．16種答案A解析解法一：依據(jù)題意，先在編號為2,3,4的3個桶中分別放入1,2,3個小球，編號為1的桶里不放球，再將剩下的6個小球放入四個桶里，每個桶里至少一個，將6個球排成一排，中間有5個空，插入3塊擋板分為四堆放入四個桶中即可，共Ceq\o\al(3,5)＝10種方法．解法二：先在編號為1,2,3,4的四個桶中分別放入與編號相同的球數(shù)，剩余2個球，把2個球放入同一個桶中有4種方法，2個球放入不同的桶中有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法，所以安排方案有4＋6＝10種．2．(2024·泉州二模)某校開設物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門選修課，甲同學需從中選修3門，其中化學、生物兩門中至少選修一門，則不同的選法種數(shù)有________(用數(shù)字填寫答案)．答案16解析解法一：甲同學需從6門中選修3門，化學、生物至少選修一門，分為兩類：第一類，化學、生物只選修1門，有Ceq\o\al(1,2)種選法，再從另外4門中選修2門，有Ceq\o\al(2,4)種選法，因此第一類共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種選法；其次類，化學、生物2門都選修，有Ceq\o\al(2,2)種選法，再從另外4門中選修1門，有Ceq\o\al(1,4)種選法，因此其次類共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種選法．所以不同的選法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝16種．解法二：甲同學需從6門中選修3門，共有Ceq\o\al(3,6)種選法．若甲同學化學、生物都不選修，即從物理、政治、歷史、地理4門中選修3門，共有Ceq\o\al(3,4)種選法，所以甲同學需從6門中選修3門，其中化學、生物至少選修一門，共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝16種選法．3．從一架鋼琴挑出的10個音鍵中，分別選擇3個，4個，5個，…，10個鍵同時按下，可發(fā)出和聲，若有一個音鍵不同，則發(fā)出不同的和聲，則這樣的不同的和聲個數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案968解析依題意共有8類不同的和聲，當有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)個鍵同時按下時，有Ceq\o\al(k,10)種不同的和聲，則和聲總數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(5,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－Ceq\o\al(0,10)－Ceq\o\al(1,10)－Ceq\o\al(2,10)＝1024－1－10－45＝968個．1．組合問題的常見題型及解題思路(1)常見題型：一般有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題等．(2)解題思路：①分清問題是否為組合問題；②對較困難的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”，一般是先整體分類，然后局部分步，將困難問題通過兩個原理化歸為簡潔問題．見舉例說明2.2．兩類帶有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的題型：若“含有”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含有”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題目要重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用干脆法或間接法都可以求解，通常用干脆法分類困難時，用間接法求解.1．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同取法的種數(shù)是()A．60 B．63C．65 D．66答案D解析因為1,2,3，…，9中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使取出的4個不同的數(shù)的和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66種不同的取法．2．(2024·丹東模擬)從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，不同選法共有()A．156種 B．168種C．180種 D．240種答案B解析從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人組成4人服務隊有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝6×5×eq\f(4×3,2)＝180種選法，服務隊中沒有女生的選法有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,2)＝4×3×1＝12種，所以要求服務隊中至少有1名女生，不同選法共有180－12＝168種．題型三排列組合的綜合應用角度1排列組合的簡潔應用1．(2024·華中師范高校第一附中模擬)學校組織學生參與社會調(diào)查，某小組共有5名男同學，4名女同學．現(xiàn)從該小組中選出3名同學分別到A，B，C三地進行社會調(diào)查，若選出的同學中男女均有，則不同的支配方法有()A．70種 B．140種C．840種 D．420種答案D解析解法一：若選出的是2名男同學，1名女同學，則有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)種選法；若選出的是1名男同學，2名女同學，則有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)種選法．所以不同的支配方法有(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4))Aeq\o\al(3,3)＝420種．解法二：從9名同學中任選3名同學分別到A，B，C三地進行社會調(diào)查的支配方法有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,3)種，3名同學全是男同學或全是女同學的支配方法有(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,4))Aeq\o\al(3,3)種，故選出的同學中男女均有的不同的支配方法有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,3)－(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,4))Aeq\o\al(3,3)＝420(種)．2．(2024·開封模擬)某班主任準備請2025屆畢業(yè)生做報告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少一人參與，若甲、乙同時參與，則他們發(fā)言中間需恰隔一人，那么不同的發(fā)言依次共有________種(用數(shù)字作答)．答案1080解析若甲、乙同時參與，則有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝120種，若甲、乙有一人參與，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960種，從而總共的發(fā)言依次有1080種．角度2分組安排問題3．將6名同學平均分成三組，每組兩人，則不同的分組方法的種數(shù)為()A．60 B．30C．15 D．10答案C解析平均分成三組的方法種數(shù)為eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.4．(2024·湖南師大附中高考模擬)習近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略．為協(xié)作國家精準扶貧戰(zhàn)略，某省示范性中學支配6名高級老師(不同姓)到基礎教化薄弱的甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，因工作須要，其中李老師不去甲校，則安排方案種數(shù)為________．答案360解析解法一：依據(jù)6名高級老師到甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，可分四種狀況：①甲校支配1名老師，安排方案種數(shù)有Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；②甲校支配2名老師，安排方案種數(shù)有Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；③甲校支配3名老師，安排方案種數(shù)有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；④甲校支配4名老師，安排方案種數(shù)有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10；由分類計數(shù)原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)安排方案．解法二：由6名老師到三所學校，每所學校至少一人，可能的分組狀況為4,1,1；3,2,1；2,2,2.①對于第一種狀況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個學校有Ceq\o\al(1,2)種，其余5名分成一人組和四人組有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)種，共Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝20(種)；李老師安排到四人組且該組不去甲校有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(種)，則第一種狀況共有20＋40＝60(種)；②對于其次種狀況，李老師安排到一人組有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝40(種)，李老師安排到三人組有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝120(種)，李老師安排到兩人組有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝80(種)，所以其次種狀況共有40＋80＋120＝240(種)；③對于第三種狀況，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60(種)；綜上所述，共有60＋240＋60＝360(種)安排方案．1．解決簡潔的排列與組合綜合問題的思路(1)依據(jù)附加條件將要完成事務先分類．(2)對每一類型取出符合要求的元素組合，再對取出的元素排列．(3)由分類加法計數(shù)原理計算總數(shù)．2．分組、安排問題的求解策略(1)對不同元素的安排問題①對于整體均分，解題時要留意分組后，不管它們的依次如何，都是一種狀況，所以分組后肯定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避開重復計數(shù)．見舉例說明3.②對于部分均分，解題時留意重復的次數(shù)是勻稱分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的勻稱分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③對于不等分組，只需先分組，后排列，留意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不須要除以全排列數(shù)．(2)對于相同元素的“安排”問題，常用方法是采納“隔板法”.1．(2024·山東省試驗中學模擬)給甲、乙、丙、丁四人支配泥工、木工、油漆工三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能支配木工，則不同的支配方法共有()A．12種 B．18種C．24種 D．64種答案C解析完成這件事情分兩類：(1)1人做木工，分兩步．第一步，從除甲以外的3人中任選1人做木工，有Ceq\o\al(1,3)種方法；其次步，支配余下3人做泥工、油漆工，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種方法，因此，1人做木工共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18(種)方法．(2)2人做木工，也分兩步．第一步，從除甲以外的3人中選2人做木工，有Ceq\o\al(2,3)種方法；其次步，支配余下2人做泥工、油漆工，有Aeq\o\al(2,2)種方法．因此，2人做木工共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)方法．綜上所述，不同的支配方法共有18＋6＝24(種)．2．在其次屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會中，為了提高安保的級別同時又為了便利接待，現(xiàn)將其中的五個參會國的人員支配酒店住宿，這五個參會國要在a，b，c三家酒店選擇一家，且這三家都至少有一個參會國入住，則這樣的支配方法共有()A．96種 B．124種C．130種 D．150種答案D解析∵五個參會國要在a，b，c三家酒店選擇一家，且這三家都至少有一個參會國入住，∴可以把5個參會國分成三組，一種是依據(jù)1,1,3；另一種是1,2,2.當依據(jù)1,1,3來分時，共有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60(種)；當依據(jù)1,2,2來分時，共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，依據(jù)分類加法計數(shù)原理，知共有60＋90＝150(種)．組基礎關1．從10名高校畢業(yè)生中選3個人擔當村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．28答案C解析分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選；甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.2．(2024·昆明質(zhì)檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，先要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()A．Aeq\o\al(5,5)種 B．Aeq\o\al(2,2)種C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種 D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種答案D解析由紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，則紅色菊花兩邊各一盆白色、黃色菊花，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種擺放方法．3．(2024·石家莊摸底)第十四屆全國運動會將于2024年在陜西舉辦，為宣揚地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪報導．工作過程中的任務劃分為：“負重扛機”“對象采訪”“文稿編寫”“編制剪輯”四項工作，每項工作至少一人參與，但2名女記者不參與“負重扛機”工作，則不同的支配方案數(shù)共有()A．150 B．126C．90 D．54答案B解析依據(jù)題意，“負重扛機”可由1名男記者或2名男記者參與，當由1名男記者參與“負重扛機”工作時，有Ceq\o\al(1,3)種方法，剩余2男2女記者可分為3組參與其余三項工作，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種方法，故由1名男記者參與“負重扛機”工作時，有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種方法；當由2名男記者參與“負重扛機”工作時，剩余1男2女3名記者各參與一項工作，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)種方法．故滿意題意的不同支配方案數(shù)共有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝108＋18＝126.故選B.4．某次聯(lián)歡會要支配3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出依次，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72 B．120C．144 D．168答案B解析解法一：先支配小品類節(jié)目和相聲類節(jié)目，然后讓歌舞類節(jié)目去插空．支配小品類節(jié)目和相聲類節(jié)目的依次有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種狀況，形式為“eq\x()，小品1，歌舞1，小品2，eq\x()，相聲，eq\x()”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36種支配方法；同理，第三種狀況也有36種支配方法；對于其次種狀況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“eq\x()，小品1，eq\x()，相聲，eq\x()，小品2，eq\x()”．有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48種支配方法，故共有36＋36＋48＝120種支配方法．解法二：先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)，再剔除小品類節(jié)目相鄰的狀況，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝24(種)，于是符合題意的排法共有144－24＝120(種)．5．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌四周開會．A是會議的中心發(fā)言人，必需坐最北面的椅子，B，C二人必需坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的坐法有()A．60種 B．48種C．30種 D．24種答案B解析B，C二人必需坐相鄰的兩把椅子，有4種坐法，B，C可以交換，有Aeq\o\al(2,2)＝2種坐法，其余三人坐剩余的三把椅子有Aeq\o\al(3,3)＝6種坐法，故共有4×2×6＝48種坐法．故選B.6．數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將這12名同學平均分成四組分別探討四個不同課題，且每組只探討一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的安排方案有()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)種 B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34種C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·43種 D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·43種答案B解析要將12名同學平均分成四組，則有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))種，每個組選一名組長，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·34種，每個組還要探討一個課題，并且只能探討一個課題，所以相當于四個組排列選課題，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34種．7．(2024·湖南衡陽質(zhì)檢)現(xiàn)要給一長、寬、高分別為3,2,1的長方體工藝品各面涂色，有紅、橙、黃、藍、綠五種顏色的涂料可供選擇，要求相鄰的面不能涂相同的顏色，且橙色跟黃色二選一，紅色要涂兩個面，則不同的涂色方案有()A．48種 B．72種C．96種 D．108種答案C解析若藍綠選一個，由橙黃二選一，共三種顏色涂6個面，每一種顏色只能涂相對的面，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)；若藍綠選兩個，由橙黃二選一，故共有4種顏色，紅色只能涂相對的面，還有4個面，故不同的涂色方案有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝72(種)，依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有24＋72＝96(種)．故選C.8．(2024·柳州模擬)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________．答案472解析解法一：從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,16)，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)，其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,16)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)－Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)＝472.解法二：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝64，若2張顏色相同，則不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同色時，不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝192，剩余2張同色時，不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(種)．9．從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)．答案1260解析若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).綜上，一共可以組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.10．(2024·鄭州三模)12本相同的資料書安排給三個班級，要求每班至少1本且至多6本，則不同的安排方法共有________種．答案25解析12本相同的資料書安排給三個班級，共有6類安排方法：三個班級的資料書的數(shù)量分別為1,5,6，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)安排方法；三個班級的資料書的數(shù)量分別為2,4,6，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)安排方法；三個班級的資料書的數(shù)量分別為2,5,5，有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)安排方法；三個班級的資料書的數(shù)量分別為3,3,6，有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)安排方法；三個班級的資料書的數(shù)量分別為3,4,5，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)安排方法；三個班級的資料書的數(shù)量分別為4,4,4，有1種安排方法．故共有6＋6＋3＋3＋6＋1＝25(種)安排方法．組實力關1．(2024·長沙模擬)三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是()A．72種 B．144種C．240種 D．288種答案D解析第一步，先選一對夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個復合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種排法．其次步，假設剩下的兩對夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三種狀況探討：①x1，x2中間有一個元素，假如是A，則y1，y2在兩端，有2種排法，假如是y1，y2中的一個，有12種排法；②x1，x2中間有兩個元素，只能是A和y1，y2中的一個，總共有8種排法；③x1，x2中間有三個元素，有2種排法．因為x1，x2有依次，所以僅有一對夫妻相鄰的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(種)．2．(2024·瀘州模擬)若一個四位數(shù)的各位數(shù)字相加和為10，則稱該數(shù)為“完備四位數(shù)”，如數(shù)字“2017”．試問用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復數(shù)字且大于2024的“完備四位數(shù)”有________個()A．53 B．59C．66 D．71答案D解析從0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加和為10的可能組合包括{1,2,3,4}，{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}，用{1,2,3,4}組成的無重復數(shù)字的“完備四位數(shù)”有Aeq\o\al(4,4)個；因為0不能放在千位上，所以{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}組成的無重復數(shù)字的“完備四位數(shù)”有4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))個；因此用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復數(shù)字的“完備四位數(shù)”共有Aeq\o\al(4,4)＋4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝96個，其中由{1,2,3,4}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}組成的“完備四位數(shù)”中小于2024的分別各有Aeq\o\al(3,3)＝6個，由{0,1,2,7}組成的“完備四位數(shù)”中小于等于2024的有Aeq\o\al(3,3)＋1＝7個，由{0,2,3,5}組成的“完備四位數(shù)”中小于等