2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11章算法復(fù)數(shù)與推理證明第3講合情推理與演繹推理創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第3講合情推理與演繹推理[考綱解讀]1.了解合情推理和演繹推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)潔的歸納推理和類比推理．(重點(diǎn))2．駕馭演繹推理的三段論，并能運(yùn)用三段論進(jìn)行一些簡(jiǎn)潔的推理．3．弄清推理的一般步驟：①試驗(yàn)、視察、比較；②概括、聯(lián)想、類推、推廣；③猜想新結(jié)論．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，演繹推理貫穿于整個(gè)高考試卷的始末，而合情推理時(shí)有考查．預(yù)料2024年將會(huì)考查歸納猜想及類比推理的應(yīng)用．題型為客觀題，試題具有肯定的綜合性，屬中等難度試題.1.推理(1)定義：依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)eq\o(□,\s\up1(01))已知的推斷來確定一個(gè)新的推斷的eq\o(□,\s\up1(02))思維過程就是推理．(2)分類：推理一般分為eq\o(□,\s\up1(03))合情推理和eq\o(□,\s\up1(04))演繹推理．2．合情推理(1)定義：依據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行eq\o(□,\s\up1(01))歸納、類比，然后提出eq\o(□,\s\up1(02))猜想的推理叫做合情推理．(2)分類：數(shù)學(xué)中常用的合情推理有eq\o(□,\s\up1(03))歸納推理和eq\o(□,\s\up1(04))類比推理．(3)歸納和類比推理的定義、特征名稱歸納推理類比推理定義由某類事物的eq\o(□,\s\up1(05))部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的eq\o(□,\s\up1(06))全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理由兩類對(duì)象具有eq\o(□,\s\up1(07))某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫做類比推理特征由eq\o(□,\s\up1(08))部分到eq\o(□,\s\up1(09))整體、由eq\o(□,\s\up1(10))個(gè)別到eq\o(□,\s\up1(11))一般的推理由eq\o(□,\s\up1(12))特別到eq\o(□,\s\up1(13))特別的推理3．演繹推理(1)定義：從一般性的原理動(dòng)身，推出某個(gè)特別狀況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到eq\o(□,\s\up1(01))特別的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所探討的特別狀況；③結(jié)論——依據(jù)一般原理，對(duì)特別狀況做出的推斷．1．概念辨析(1)歸納推理得到的結(jié)論不肯定正確，類比推理得到的結(jié)論肯定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推想空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋siny，此推理是正確的．()(4)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論肯定正確．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)①已知a是三角形一邊的長(zhǎng)，h是該邊上的高，則三角形的面積是eq\f(1,2)ah，假如把扇形的弧長(zhǎng)l，半徑r分別看成三角形的底邊長(zhǎng)和高，可得到扇形的面積為eq\f(1,2)lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，則①②兩個(gè)推理過程分別屬于()A．類比推理、歸納推理 B.類比推理、演繹推理C．歸納推理、類比推理 D.歸納推理、演繹推理答案A解析①由三角形的面積公式得到扇形的面積公式有相像之處，此種推理為類比推理；②由特別到一般，此種推理為歸納推理．(2)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B.大前提不正確C．小前提不正確 D.全不正確答案C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)．(3)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B.an＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D.an＝3n－1答案C解析a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.(4)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為________．答案1∶8解析eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).

題型一類比推理1．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，公差為eq\f(d,2).類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則等比數(shù)列{eq\r(n,Tn)}的公比為()A.eq\f(q,2) B.q2C.eq\r(q) D.eq\r(n,q)答案C解析∵在等差數(shù)列{an}中前n項(xiàng)的和為Sn的通項(xiàng)，且可寫成eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)×eq\f(d,2).所以在等比數(shù)列{bn}中應(yīng)探討前n項(xiàng)的積為Tn的開n次方的形式．類比可得eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－1，其公比為eq\r(q).2．(2024·揭陽模擬)已知結(jié)論：“在△ABC中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)”，若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB與平面ACD，平面BCD所成的角為α，β”，則有()A.eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AD,sinβ) B.eq\f(AD,sinα)＝eq\f(BC,sinβ)C.eq\f(S△BCD,sinα)＝eq\f(S△ACD,sinβ) D.eq\f(S△ACD,sinα)＝eq\f(S△BCD,sinβ)答案C解析分別過B，A作平面ACD、平面BCD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則∠BAE＝α，∠ABF＝β，VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BE＝eq\f(1,3)S△ACD·AB·sinα，VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AF＝eq\f(1,3)S△BCD·AB·sinβ，又eq\f(1,3)S△ACD·AB·sinα＝eq\f(1,3)S△BCD·AB·sinβ，即eq\f(S△BCD,sinα)＝eq\f(S△ACD,sinβ).1．類比推理的四個(gè)角度和四個(gè)原則(1)四個(gè)角度類比推理是由特別到特別的推理，可以從以下幾個(gè)方面考慮類比：①類比的定義：如等差、等比數(shù)列的定義，見舉例說明1；②類比的性質(zhì)：如橢圓、雙曲線的性質(zhì)；③類比的方法：如基本不等式與柯西不等式；④類比的結(jié)構(gòu)：如三角形的內(nèi)切圓與三棱錐的內(nèi)切球．(2)四個(gè)原則①長(zhǎng)度類比面積；②面積類比體積；③平面類比空間見舉例說明2；④和類比積，差類比商．2．類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相像性或一樣性．(2)用一類事物的性質(zhì)去推想另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)．3．常見的類比推理題型的求解策略在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要留意形式的類比，還要留意方法的類比，且要留意以下兩點(diǎn)：(1)找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等．(2024·榆林一模)我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量．在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A(－2,3)且法向量為n＝(4，－1)的直線(點(diǎn)法式)方程為4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化簡(jiǎn)得4x－y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)B(2,3,4)且法向量為m＝(－1，－2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為________．答案x＋2y－z－4＝0解析將平面中的運(yùn)算類比到空間中的運(yùn)算有：經(jīng)過點(diǎn)B(2,3,4)且法向量為m＝(－1，－2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化簡(jiǎn)得x＋2y－z－4＝0.題型二歸納推理角度1與數(shù)字有關(guān)的歸納推理1．(2024·新鄉(xiāng)模擬)視察下列各式110×248＝248,11×248＝2728,112×248＝30008,113×248＝330088,114×248＝3630968，…，則1199×248的十位數(shù)是()A．2 B.4C．6 D.8答案C解析記11n×248的十位數(shù)為an，經(jīng)視察易得：a0＝4，a1＝2，a2＝0，a3＝8，a4＝6，a5＝4，a6＝2，…，則可歸納出{an}的周期為5，則a99＝a4＝6.角度2與式子有關(guān)的歸納推理2．(2024·洛陽模擬)有下列一組不等式：eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)>eq\f(1,2)，eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)>eq\f(1,2)，eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)>eq\f(1,2)，eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)>eq\f(1,2)，…，依據(jù)這一規(guī)律，若第19個(gè)不等式為eq\f(1,m)＋eq\f(1,m＋1)＋eq\f(1,m＋2)＋…＋eq\f(1,n)>eq\f(1,2)，則m＋n＝________.答案61解析因?yàn)橛蒭q\f(1,3)＋eq\f(1,4)>eq\f(1,2)，eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)>eq\f(1,2)，eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)>eq\f(1,2)，eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)>eq\f(1,2)，…，依據(jù)這一規(guī)律，則第k個(gè)不等式為eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋2)>eq\f(1,2)，若第19個(gè)不等式為eq\f(1,m)＋eq\f(1,m＋1)＋eq\f(1,m＋2)＋…＋eq\f(1,n)>eq\f(1,2)，即m＝k＋2＝21，n＝2k＋2＝40，所以m＝21，n＝40，即m＋n＝61.角度3與圖形有關(guān)的歸納推理3．(2024·馬鞍山模擬)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系，探討了各種平面數(shù)(包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)等)，甚至將平面數(shù)推廣到了立體數(shù)，如圖所示：其中三棱錐數(shù)依次為1,4,10，…，則第20個(gè)三棱錐數(shù)為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(附：\i\su(k＝1,n,k)2＝12＋22＋32＋…＋n2＝\f(1,6)nn＋12n＋1))答案1540解析由棱錐數(shù)依次為1,1＋3,1＋3＋6,1＋3＋6＋10,1＋3＋6＋10＋15，則S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)(n2＋n)，則Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝eq\f(1,2)×(12＋1＋22＋2＋32＋3＋…＋n2＋n)，＝eq\f(1,2)×[(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,12)n(n＋1)(2n＋1)＋eq\f(1,4)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)，∴T20＝eq\f(1,6)×20×21×22＝1540.歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．視察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解．見舉例說明1.(2)與式子有關(guān)的歸納推理①與不等式有關(guān)的推理．視察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，留意是縱向看，找到規(guī)律后可解．見舉例說明2.②與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個(gè)特別項(xiàng)，采納不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可．(3)與圖形改變有關(guān)的推理．合理利用特別圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡裕娕e例說明3.1．(2024·萍鄉(xiāng)一模)對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如圖方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是________，若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值為________．答案915解析依據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)覺：在n2中所分解的最大的數(shù)是2n－1；在n3中，所分解的最小數(shù)是n2－n＋1.依據(jù)發(fā)覺的規(guī)律可求52分裂中，最大數(shù)是5×2－1＝9；若m3的“分裂”中最小數(shù)是211，則n2－n＋1＝211，解得n＝15或－14(舍去)．2．(2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)模擬)視察下列式子，ln2>eq\f(1,3)，ln3>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，ln4>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)，….依據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)不等式應(yīng)為________．答案ln(n＋1)>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)解析由ln2>eq\f(1,3)，ln3>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，ln4>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)，…，歸納得到ln(n＋1)>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)．3．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀(jì)70年頭創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題供應(yīng)了全新的思路．依據(jù)如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個(gè)樹形圖．若記圖(2)中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，則a2024＝________.答案eq\f(32024－1,2)解析依據(jù)題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0)，第2行記為(2,1)，第3行記為(5,4)，第4行的白圈數(shù)為2×5＋4＝14，黑圈數(shù)為5＋2×4＝13，所以第4行的“坐標(biāo)”為(14,13)，同理可得第5行的“坐標(biāo)”為(41,40)，第6行的“坐標(biāo)”為(122,121)，….各行黑圈數(shù)乘2，分別是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以歸納出第n行的黑圈數(shù)an＝eq\f(3n－1－1,2)(n∈N*)，所以a2024＝eq\f(32024－1,2).題型三演繹推理1．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在“一帶一路”學(xué)問測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成果進(jìn)行預(yù)料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一個(gè)人預(yù)料正確，那么三人按成果由高到低的次序?yàn)?)A．甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D.甲、丙、乙答案A解析由于三人成果互不相同且只有一個(gè)人預(yù)料正確．若甲預(yù)料正確，則乙、丙預(yù)料錯(cuò)誤，于是三人按成果由高到低的次序?yàn)榧住⒁?、丙；若甲預(yù)料錯(cuò)誤，則甲、乙按成果由高到低的次序?yàn)橐?、甲，又假設(shè)丙預(yù)料正確，則乙、丙按成果由高到低的次序?yàn)楸⒁?，于是甲、乙、丙按成果由高到低排序?yàn)楸?、乙、甲，從而乙的預(yù)料也正確，與事實(shí)沖突；若甲、丙預(yù)料錯(cuò)誤，則可推出乙的預(yù)料也錯(cuò)誤．綜上所述，三人按成果由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙．故選A.2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．證明：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.證明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝1≠0，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1∴對(duì)于隨意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)1．推理案例問題比類問題條件較多，做題時(shí)往往感到不知從哪里找到突破點(diǎn)，解答這類問題，肯定要細(xì)致閱讀題文，逐條分析所給條件，并將其引伸，找到各條件的融匯之處和沖突之處，多次應(yīng)用假設(shè)、解除、驗(yàn)證，清理出有用“線索”，找準(zhǔn)突破點(diǎn)，從而使問題得到解決．見舉例說明1.2．三段論的應(yīng)用(1)三段論推理的依據(jù)是：假如集合M的全部元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中全部元素都具有性質(zhì)P.(2)應(yīng)用三段論的留意點(diǎn)：解決問題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)明確什么是大前提，小前提，然后再找結(jié)論．見舉例說明2.提示：合情推理的結(jié)論是猜想，不肯定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論肯定正確.1．(2024·寧夏平羅中學(xué)模擬)2018年4月4日，中國(guó)詩詞大會(huì)第三季總決賽如期實(shí)行，依據(jù)規(guī)則：本場(chǎng)競(jìng)賽共有甲、乙、丙、丁、戊五位選手有機(jī)會(huì)問鼎冠軍，某家庭中三名詩詞愛好者依據(jù)選手在之前競(jìng)賽中的表現(xiàn)，結(jié)合自己的推斷，對(duì)本場(chǎng)競(jìng)賽的冠軍進(jìn)行了如下揣測(cè)：爸爸：冠軍是乙或??；媽媽：冠軍肯定不是丙和丁；孩子：冠軍是甲或戊．競(jìng)賽結(jié)束后發(fā)覺：三人中只有一個(gè)人的揣測(cè)是對(duì)的，那么冠軍是________．答案丁解析若冠軍是甲或戊，孩子與媽媽推斷都正確，不符合題意；若冠軍是乙，爸爸與媽媽推斷都正確，不符合題意；若冠軍是丙，三個(gè)人推斷都不正確，不符合題意；若冠軍是丁，只有爸爸推斷正確，符合題意，故答案為?。?．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))成立．證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期．證明由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))))＝－feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個(gè)周期．組基礎(chǔ)關(guān)1．下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)答案B解析對(duì)于A，小前提與大前提間邏輯錯(cuò)誤，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對(duì)于C，大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于D，大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式．2．已知13＋23＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2,13＋23＋33＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2,13＋23＋33＋43＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，則n＝()A．8 B.9C．10 D.11答案C解析視察所供應(yīng)的式子可知，等號(hào)左邊最終一個(gè)數(shù)是n3時(shí)，等號(hào)右邊的數(shù)為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此，令eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝3025，則eq\f(nn＋1,2)＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．3．我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(diǎn)(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為()A．3 B.5C.eq\f(5\r(21),7) D.3eq\r(5)答案B解析利用類比的方法，在空間中，點(diǎn)(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離d′＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，所以點(diǎn)(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距離d＝eq\f(2＋8＋2＋3,\r(1＋4＋4))＝eq\f(15,3)＝5.4．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個(gè)結(jié)論可知，四面體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，由平面圖形中r的求解過程類比空間圖形中R的求解過程可得四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和，則四面體的體積為V＝V四面體S－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).故選C.5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()A．Sn＝eq\f(2n,n＋1) B.Sn＝eq\f(2n－1,n＋1)C．Sn＝eq\f(2n＋1,n＋1) D.Sn＝eq\f(2n,n＋2)答案A解析∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝eq\f(n2,n2－1)·Sn－1，又S1＝a1＝1，則S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5).∴猜想得Sn＝eq\f(2n,n＋1)，故選A.6．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，對(duì)于bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于dn>0，則dn＝________時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．答案eq\r(n,c1c2·…·cn)解析在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當(dāng)bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)時(shí)，數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比推斷：若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn＝eq\r(n,c1c2·…·cn)時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．7．甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后相互交換．三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最終讀的書與丙讀的其次本書相同．”乙說：“我讀的其次本書與甲讀的第一本書相同．”依據(jù)以上說法，推斷乙讀的最終一本書是________讀的第一本書．答案丙解析因?yàn)楣灿腥緯易x的第一本書與其次本書已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最終一本書是丙讀的第一本書．8．已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax的圖象上隨意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有eq\f(ax1＋ax2,2)>aeq\f(x1＋x2,2)成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))圖象上隨意不同的兩點(diǎn)，則類似地有______________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)解析由題意知，點(diǎn)A，B是函數(shù)y＝ax的圖象上隨意不同的兩點(diǎn)，該函數(shù)是一個(gè)改變率漸漸變大的函數(shù)，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有eq\f(ax1＋ax2,2)>aeq\f(x1＋x2,2)成立；而函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))，其改變率漸漸變小，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，故可類比得到結(jié)論eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2).組實(shí)力關(guān)1．已知f(x)＝eq\f(2x,2－x)，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N*)，若fm(x)＝eq\f(x,1－256x)(m∈N*)，則m＝()A．9 B.10C．11