2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講函數(shù)的奇偶性與周期性創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE1-第3講函數(shù)的奇偶性與周期性[考綱解讀]1.了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性．(重點(diǎn))3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會推斷、應(yīng)用簡潔函數(shù)的周期性．(重點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，函數(shù)的奇偶性與周期性是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)料2024年高考會側(cè)重以下三點(diǎn)：①函數(shù)奇偶性的推斷及應(yīng)用；②函數(shù)周期性的推斷及應(yīng)用；③綜合利用函數(shù)奇偶性、周期性和單調(diào)性求參數(shù)的值或解不等式.1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x，都有eq\x(01)f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于eq\x(02)y軸對稱奇函數(shù)一般地，假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x，都有eq\x(03)f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于eq\x(04)原點(diǎn)對稱2．周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有eq\x(01)f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個(gè)eq\x(02)最小的正數(shù)，那么這個(gè)eq\x(03)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要條件．()(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0.()(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．()(4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．()(5)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若在(－∞，0)上是減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(6)若T為y＝f(x)的一個(gè)周期，那么nT(n∈Z)也是函數(shù)f(x)的周期．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．小題熱身(1)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x答案A解析A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C，D是非奇非偶函數(shù)．(2)若f(x)是R上周期為2的函數(shù)，且滿意f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝________.答案－1解析因?yàn)閒(x)是R上周期為2的函數(shù)，所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.(3)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，所以f(－2)＋f(0)＝－5.(4)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.答案3解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(1)＝f(3)＝3.綜上可知，f(－1)＝3.(5)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________．答案(－2,0)∪(2,5]解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，作出其圖如右，視察圖象可知，不等式f(x)＜0的解集為(－2,0)∪(2,5]．

題型一函數(shù)的奇偶性角度1推斷函數(shù)的奇偶性1．(2024·成都市高三階段考試)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③ B．②③C．①④ D．②④答案D解析因?yàn)閥＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函數(shù)；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函數(shù)；由y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝x是定義在R上的奇函數(shù)，奇×奇＝偶，知③是偶函數(shù)；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函數(shù)．2．推斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(3)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－eq\r(3)，eq\r(3)}，∴f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)由eq\f(1＋x,1－x)≥0得－1≤x<1，所以f(x)的定義域?yàn)閇－1,1)，所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x).又f(－x)＝eq\f(lg[1－－x2],x)＝eq\f(lg1－x2,x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(4)明顯函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對于定義域內(nèi)的隨意x，總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．角度2奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用3．(2024·衡水模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若x＞0時(shí)，f(x)＝xlnx，則x＜0時(shí)，f(x)＝()A．xlnx B．xln(－x)C．－xlnx D．－xln(－x)答案B解析設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－xln(－x)．又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝xln(－x)．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)的最大值為M，最小值為N，則(M＋N－1)2024的值為()A．1 B．2C．22024 D．32024答案A解析由已知x∈R，f(x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)＝eq\f(sinπx＋x2＋e2＋2ex,x2＋e2)＝eq\f(sinπx＋2ex,x2＋e2)＋1.令g(x)＝eq\f(sinπx＋2ex,x2＋e2)，易知g(x)為奇函數(shù)，由于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最大值與最小值和為0，所以M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以(M＋N－1)2024＝1.5．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________.答案－eq\f(3,2)解析解法一：因?yàn)閒(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln(e－3x＋1)－ax＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e3x)＋1))－ax＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋e3x,e3x)))－ax＝ln(1＋e3x)－3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，所以－3－a＝a，解得a＝－eq\f(3,2).解法二：函數(shù)f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax為偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡得lneq\f(1,e3x)＝2ax＝lne2ax，即eq\f(1,e3x)＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1.所以2ax＋3x＝0，解得a＝－eq\f(3,2).1．推斷函數(shù)奇偶性的三種方法(1)定義法(如舉例說明2)(2)圖象法(3)性質(zhì)法(如舉例說明1(③)，4)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出．如舉例說明3.(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，依據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性或等式恒成立的條件得方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．如舉例說明5.(4)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象．(5)求特別值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特別結(jié)構(gòu)的函數(shù)值．如舉例說明4.留意：對于定義域?yàn)镮的奇函數(shù)f(x)，若0∈I，則f(0)＝0.1．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋m，則f(－2)等于()A．－3 B．－eq\f(5,4)C.eq\f(5,4) D．3答案A解析由已知得，f(0)＝20＋m＝0.解得m＝－1.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.2．(2024·遼寧名校聯(lián)考)函數(shù)y＝x2lgeq\f(x－2,x＋2)的圖象()A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線y＝x對稱 D．關(guān)于y軸對稱答案B解析記f(x)＝x2lgeq\f(x－2,x＋2)，定義域?yàn)?－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f(－x)＝(－x)2lgeq\f(－x－2,－x＋2)＝x2lgeq\f(x＋2,x－2)＝－x2lgeq\f(x－2,x＋2)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)y＝x2lgeq\f(x－2,x＋2)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．3．(2024·武漢十校聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿意f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝()A．ex－e－x B.eq\f(1,2)(ex＋e－x)C.eq\f(1,2)(e－x－ex) D.eq\f(1,2)(ex－e－x)答案D解析∵f(x)＋g(x)＝ex，①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)－g(x)＝e－x，②由①②解得g(x)＝eq\f(ex－e－x,2).故選D.題型二函數(shù)的周期性1．(2024·溫州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的最小正周期等于T，則下列函數(shù)的最小正周期肯定等于eq\f(T,2)的是()A．f(2x) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))C．2f(x) D．f(x2答案A解析由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)，所以函數(shù)f(2x)的周期是eq\f(T,2)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋T))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))，即feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋2T))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))，所以函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函數(shù)2f(x)的周期是T.函數(shù)f(x2)不肯定是周期函數(shù)．

2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f(x)＝x＋ex，則f(2024)＝________.答案1解析因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，所以f(x＋4)＝eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4.當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝x＋ex，所以f(2024)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.1．求函數(shù)周期的方法方法解讀適合題型定義法詳細(xì)步驟為：對于函數(shù)y＝f(x)，假如能夠找到一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函數(shù)y＝f(x)的周期非零常數(shù)T簡潔確定的函數(shù)，如舉例說明1遞推法采納遞推的思路進(jìn)行，再結(jié)合定義確定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a為f(含有f(x＋a)與f(x)的關(guān)系式，如舉例說明2換元法通過換元思路將表達(dá)式化簡為定義式的結(jié)構(gòu)，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，則x＝t＋a，則f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a為f(f(bx±a)＝f(bx±c)型關(guān)系式2．函數(shù)周期性的應(yīng)用依據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決詳細(xì)問題時(shí)，要留意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．如舉例說明2.1．(2024·綿陽模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，－1≤x＜3，,fx－4，x≥3，))則f(9)＝________.答案1解析f(9)＝f(9－4)＝f(5)＝f(5－4)＝f(1)＝2×1－1＝1.2．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．答案7解析因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè)．題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度1單調(diào)性與奇偶性結(jié)合1．(2024·成都模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若f(2a)＞f(1－a)，則aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(2a)＞f(1－a)?f(|2a|)＞f(|1－a|)，又當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以|2a|＜|1－a|，所以(2a)2＜(1－a)2，即3a2＋2a－1＜0，解得－1＜a＜eq\f(1角度2周期性與奇偶性結(jié)合2．(2024·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50答案C解析因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且滿意f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，f(x＋4)＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)．所以f(x)是周期為4的函數(shù)．因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因?yàn)閒(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因?yàn)閒(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，從而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故選C.角度3單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合3．(2024·青島二中模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)為奇函數(shù)；③當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0(x1≠x2)恒成立，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))，f(4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))的大小關(guān)系正確的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＞f(4)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))B．f(4)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＞f(4)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＞f(4)答案C解析由f(x＋2)＝f(x)可知函數(shù)f(x)的周期為2，所以f(x)＝f(x－2)，又f(x－2)為奇函數(shù)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)＋2×4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)＝0.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－2×3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，又x∈[0,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增．故奇函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞f(0)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＞f(4)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2))).函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．解此類問題常利用以下兩特性質(zhì)：①假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．如舉例說明1.(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．如舉例說明2.(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性、奇偶性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用單調(diào)性求解．如舉例說明3.1．已知函數(shù)f(x)＝(mx＋n)(x－1)為偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(2－x)＞0的解集為()A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案A解析f(x)＝(x－1)(mx＋n)＝mx2＋(n－m)x－n.∵函數(shù)f(x)＝(mx＋n)(x－1)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．即mx2＋(n－m)x－n＝mx2－(n－m)x－n，得－(n－m)＝(n－m)，即n－m＝0，則m＝n，則f(x)＝mx2－m，∵f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴m＜0，由f(2－x)＞0，得m(2－x)2－m＞0，即(2－x)2－1＜0，得x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3，即不等式的解集為(1,3)．2．(2024·廣東珠海模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024\f(1,2)))＝()A.eq\f(9,4) B.eq\f(1,4)C．－eq\f(9,4) D．－eq\f(1,4)答案D解析因?yàn)閒(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閒(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，因?yàn)樵赱0,1]上有f(x)＝x2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,4).3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)答案D解析因?yàn)閒(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)．

組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·武威模擬)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝tanxC．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝|x|答案A解析f(x)＝|x|是偶函數(shù)，解除D；f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，＋∞)上先減后增，解除C；f(x)＝tanx在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，解除B；f(x)＝ex－e－x符合題意．2．函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能為()答案A解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，所以y＝f(x)·g(x)為奇函數(shù)，解除B；由兩函數(shù)的圖象可知當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))時(shí)，y＝f(x)·g(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))時(shí)，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有選項(xiàng)A符合題意，故選A.3．(2024·煙臺適應(yīng)性練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為2，且滿意f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x＜0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－x))，0≤x＜1，))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，則f(5a)等于()A.eq\f(7,16) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(11,16) D.eq\f(13,16)答案B解析由于函數(shù)f(x)的周期為2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋a，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,2)))＝eq\f(1,10)，所以－eq\f(1,2)＋a＝eq\f(1,10)，所以a＝eq\f(3,5)，因此f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋eq\f(3,5)＝－eq\f(2,5).故選B.4．已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析∵y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，則f(－2)＝f(2)＋4＝5，故選D.5．(2024·成都模擬)若函數(shù)f(x)＝1－eq\f(a,2x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a等于()A．－2 B．－1C．1 D．2答案A解析由已知得，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－eq\f(a,2－1)＋1－eq\f(a,\f(1,2)－1)＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.6．(2024·合肥模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則對實(shí)數(shù)a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(|b|)＝f(b)．因?yàn)閒(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，a＞|b|≥0.所以f(a)＞f(|b|)＝f(b)．若f(a)＞f(b)．舉反例f(－3)＝f(3)＞f(1)，而－3＜|1|.故由f(a)＞f(b)無法得到a＞|b|.所以“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要條件．7．(2024·沈陽市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)，實(shí)數(shù)a，b滿意不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，則下列不等關(guān)系恒成立的是()A．b－a＜2 B．a(chǎn)＋2b＞2C．b－a＞2 D．a(chǎn)＋2b＜2答案C解析由題意知f(－x)＝eq\f(1－2－x,1＋2－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝－eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝eq\f(2－1＋2x,1＋2x)＝eq\f(2,1＋2x)－1，所以f(x)在R上為減函數(shù)，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故選C.8．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝lgx，則feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))的值為________．答案－lg2解析由已知得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝lgeq\f(1,100)＝－2.f(－2)＝－f(2)＝－lg2，所以feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))＝－lg2.9．已知奇函數(shù)f(x)(x∈R)滿意f(x＋4)＝f(x－2)，且當(dāng)x∈[－3,0)時(shí)，f(x)＝eq\f(1,x)＋3sineq\f(π,2)x，則f(2024)＝________.答案－4解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)滿意f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x∈[－3,0)時(shí)，f(x)＝eq\f(1,x)＋3sineq\f(π,2)x，所以f(2024)＝f(337×6－1)＝f(－1)＝eq\f(1,－1)＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－4.10．(2024·甘肅天水摸底)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[1,2]上的解析式是________．答案f(x)＝log2(3－x)解析因?yàn)閒(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)．所以設(shè)x∈[1,2]，則x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．組實(shí)力關(guān)1．已知p：a＝±1，q：函數(shù)f(x)＝ln(x＋eq\r(a2＋x2))為奇函數(shù)，則p是q成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析若函數(shù)f(x)＝ln(x＋eq\r(a2＋x2))為奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝ln(－x＋eq\r(a2＋x2))＋ln(x＋eq\r(a2＋x2))＝lna2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要條件．2．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a，a](a＞0)上的奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2024，則g(x)的最大值與最小值之和為()A．0 B．1C．2024 D．4038答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a，a]上的奇函數(shù)，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2024]＋[f(x)min＋2024]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.3．(2024·南陽模擬)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)答案C解析若x∈[－2,0]，則－x∈[0,2]，∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝－x－1，即在一個(gè)周期[－2,2]內(nèi)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，0≤x≤2，,－x－1，－2