2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE1-第2講平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表示[考綱解讀]1.熟識(shí)平面對(duì)量的基本定理及其意義，并駕馭平面對(duì)量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．會(huì)用坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，并理解用坐標(biāo)表示的平面對(duì)量共線的條件．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)料2024年會(huì)從以下幾點(diǎn)進(jìn)行命題：①向量的坐標(biāo)運(yùn)算及線性表示；②依據(jù)向量共線求參數(shù)值；③共線向量與其他學(xué)問綜合．題型以客觀題為主，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何綜合命題，試題難度以中檔題型為主.1.平面對(duì)量基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)eq\x(01)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的隨意向量a，eq\x(02)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝eq\x(03)λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組eq\x(04)基底．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)eq\x(05)相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝eq\x(01)(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝eq\x(02)(x1－x2，y1－y2)，λa＝eq\x(03)(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))，|a＋b|＝eq\r(x2＋x12＋y2＋y12).3．平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?eq\x(01)x1y2－x2y1＝0.1．概念辨析(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．()(2)平面對(duì)量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．()(3)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿意λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小題熱身(1)設(shè)平面對(duì)量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3bA．(6,3) B．(－2，－6)C．(2,1) D．(7,2)答案B解析2a－3b(2)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))答案B解析對(duì)于A，e1∥e2，不能作為基底；對(duì)于B，－1×7－2×5≠0，所以e1與e2不共線，可以作為基底；對(duì)于C，e2＝2e1，所以e1∥e2，不能作為基底；對(duì)于D，e1＝4e2，所以e1∥e2，不能作為基底．(3)如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1答案A解析由題意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，由平面對(duì)量基本定理得λ＝－eq\f(1,2)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq\f(1,2).(4)設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，且λe1＋μe2＝0，則λ2＋μ2＝________.答案0解析解法一：假設(shè)λ≠0，則由λe1＋μe2＝0得e1＝－eq\f(μ,λ)e2，則e1，e2共線，與e1，e2不共線沖突，所以λ＝0，同理可得μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.解法二：因?yàn)?e1＋0e2＝0，e1，e2不共線，又因?yàn)棣薳1＋μe2＝0，所以由平面對(duì)量基本定理得λ＝μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.題型一平面對(duì)量基本定理及其應(yīng)用1．如圖，有5個(gè)全等的小正方形，eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，則x＋y的值是________．答案1解析由平面對(duì)量的運(yùn)算可知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))＋eq\o(HB,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))－(2eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))－2eq\o(AF,\s\up6(→))，留意到eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))不共線，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，即xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))－2eq\o(AF,\s\up6(→))，所以x＝3，y＝－2，所以x＋y＝1.2．(2024·西安調(diào)研)如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長線與CD交于點(diǎn)E，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案eq\f(1,3)解析由N是OD的中點(diǎn)，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因?yàn)锳，N，E三點(diǎn)共線，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))，即meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)λ，,1＝\f(3,4)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,λ＝\f(4,3)，))故實(shí)數(shù)m＝eq\f(1,3).1．用平面對(duì)量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．(2)在基底未給出的狀況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來便利．另外，要留意運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．2．運(yùn)用平面對(duì)量基本定理時(shí)應(yīng)留意的問題(1)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面對(duì)量的一組基底，基底可以有無窮多組．(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．(3)利用“唯一性”建立方程組．如舉例說明2.1．如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案eq\f(3,11)解析設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，∵P是BN上的一點(diǎn)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴m＝1－λ，eq\f(λ,4)＝eq\f(2,11)，解得λ＝eq\f(8,11)，m＝eq\f(3,11).2．(2024·衡陽模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，則eq\f(x,y)的值為________．答案eq\f(6,5)解析設(shè)e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λx－y＝1，,λx－2y＝－2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))則eq\f(x,y)的值為eq\f(6,5).題型二平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算1．已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))答案A解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3(2)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3(2)因?yàn)閙b＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)閑q\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M(0,20)，又因?yàn)閑q\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，所以eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N(9,2)．所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中要留意方程思想的運(yùn)用及正確運(yùn)用運(yùn)算法則．1．(2024·廈門外國語學(xué)校模擬)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(3，－2) B．(2，－2)C．(－3，－2) D．(－3,2)答案D解析由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案B解析設(shè)c＝λa＋μb.則(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝－1，,λ－μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))所以c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.題型三平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示角度1利用向量共線求參數(shù)的值1．(1)(2024·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ(2)平面內(nèi)有三點(diǎn)A(0，－3)，B(3,3)，C(x，－1)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則x＝________.答案(1)eq\f(1,2)(2)1解析(1)由題意可得2a＋b∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ∴4λ－2＝0，即λ＝eq\f(1,2).(2)由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,6)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－3，－4)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，所以3×(－4)－6(x－3)＝0，解得x＝1.角度2向量共線綜合問題2．(2024·山東德州一模)已知△ABC的三邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(sinB－sinA，eq\r(3)a＋c)，n＝(sinC，a＋b)，且m∥n，則B的大小是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)答案B解析因?yàn)閙∥n，所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(eq\r(3)a＋c)．由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(eq\r(3)a＋c)，整理得a2＋c2－b2＝－eq\r(3)ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(－\r(3)ac,2ac)＝－eq\f(\r(3),2).又0<B<π，所以B＝eq\f(5π,6).1．平面對(duì)量共線的充要條件的兩種形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0.如舉例說明1(1)．(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.2．利用向量共線求參數(shù)值向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由向量平行求參數(shù)值．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解．3．向量坐標(biāo)運(yùn)算解決綜合問題的要點(diǎn)(1)精確運(yùn)用加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則．(2)精確運(yùn)用向量相等、向量共線、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算形式，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化．(3)精確運(yùn)用三角恒等變換、不等式、方程等學(xué)問，解決綜合問題．1．(2024·綿陽模擬)已知向量a＝(sin2α，1)，b＝(cosα，1)，若a∥b,0<α<eq\f(π,2)，則α＝________.答案eq\f(π,6)解析因?yàn)閍∥b，所以sin2α＝cosα，即cosα(2sinα－1)＝0，又0<α<eq\f(π,2)，所以cosα>0，所以sinα＝eq\f(1,2)，解得α＝eq\f(π,6).2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb與2a＋b共線(其中n∈R，且n≠0)，則eq\f(m,n)＝________.答案－2解析由a＝(1,2)，b＝(－2,3)，得ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，由ma－nb與2a＋b共線，可得7(m＋2n)＝0，則eq\f(m,n)＝－2.組基礎(chǔ)關(guān)1．向量a，b滿意a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b＝()A．(－3,4) B．(3,4)C．(3，－4) D．(－3，－4)答案A解析由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝eq\f(1,2)(－6,8)＝(－3,4)．2．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA，\f(1,2)))與向量n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角，則角A的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案C解析∵m∥n，∴sinA(sinA＋eq\r(3)cosA)－eq\f(3,2)＝0，∴2sin2A＋2eq\r(3)sinAcosA＝3，∴1－cos2A＋eq\r(3)sin2A＝3，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝1，∵A∈(0，π)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))，∴2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得A＝eq\f(π,3).3．(2024·紹興模擬)已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)答案A解析因?yàn)閑q\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－3a＝(5，－6)－3(1，－2)＝(2,0)，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,0)．4．已知向量a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，則cA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析因?yàn)閍－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(13＋3x,4＋3y)＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋3x＝0，,4＋3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(13,3)，,y＝－\f(4,3)，))所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).5．(2024·內(nèi)蒙古包鋼一中月考)已知在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))答案C解析eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)[(－2,3)＋(3,7)]＝－eq\f(1,2)(1,10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).6．(2024·寧波模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()A．30° B．60°C．90° D．120°答案B解析由題意得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，得a2＋b2－c2＝ab，故cosC＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，0°<C<180°，故C＝60°.7．(2024·綿陽模擬)如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE＝CD，若點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．3 B.eq\f(5,2)C．2 D．1答案B解析由題知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝\f(1,2)，,μ＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,μ＝1，))∴λ＋μ＝eq\f(5,2)，故選B.8．已知向量a＝(1，λ)，b＝(λ，2)，若(a＋b)∥(a－b)，則λ＝________.答案±eq\r(2)解析a＋b＝(1＋λ，2＋λ)，a－b＝(1－λ，λ－2)．因?yàn)?a＋b)∥(a－b)，所以(1＋λ)(λ－2)＝(2＋λ)(1－λ)，解得λ＝±eq\r(2).9．已知點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(λAC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，則λ的值為________．答案－eq\f(2,3)解析設(shè)P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).10．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________.答案eq\f(1,2)－eq\f(1,6)解析如圖，在△ABC中，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).組實(shí)力關(guān)1．(2024·江西師大附中高考模擬)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是兩個(gè)向量集合，則P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)}C．{(1,0)} D．{(0,1)}答案A解析設(shè)a＝(x，y)，則P＝{(x，y)eq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝m，m∈R))))，∴集合P是直線x＝1上的點(diǎn)的集合．同理，集合Q是直線x＋y＝2上的點(diǎn)的集合，即P＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，∴P∩Q＝{(1,1)}．故選A.2．(2024·山東師范高校附中模擬)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案D解析在△ABD中，BD＝eq\f(1,2)AB＝1.又BC＝3，所以BD＝eq\f(1,3)BC.∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵O為AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，∴λ＋μ＝eq\f(2,3).3．(2024·南充摸底)原點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝3，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\f(μ,λ)＝()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)答案D解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，由向量相等的坐標(biāo)表示可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－\f(\r(3)μ,2)＝－\f(3,2)，,\f(μ,2)＝－\f(3\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝－3\r(3)，))即eq\f(μ,λ)＝eq\r(3).4．(2024·湖北省武漢市武昌區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬)已知點(diǎn)C為扇形AOB的弧eq\x\to(AB)上隨意一點(diǎn)，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍為()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]答案D解析設(shè)半徑為1，由已知可