2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第4講函數(shù)的奇偶性與周期性含解析

PAGE4-第4講函數(shù)的奇偶性與周期性1．(2024年湖南)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2024)＋f(2024)的值為()A．0B．－4C．－2D．23．(2024年河北衡水高三聯(lián)考)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝eq\f(1,2x)－2x的定義域，單調(diào)性與奇偶性均一樣的函數(shù)是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝eq\f(1,x)D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2x≥0，,x2x<0))4．(2024年山東齊魯名校模擬)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－2)＝()A．－3B．－eq\f(5,4)C.eq\f(5,4)D．35．(多選)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x－3)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,3]時，f(x)＝x2－3x，下列等式成立的是()A．f(2024)＋f(2024)＝f(2024)B．f(2024)＋f(2024)＝f(2024)C．2f(2024)＋f(2024)＝f(2024)D．f(2024)＝f(2024)＋f(2024)6．(2024年遼寧沈陽模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．7．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝__________.8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2＋m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．c<b<a9．(多選)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)B．y＝ex＋e－xC．y＝x2＋1D．y＝cosx＋310．當(dāng)x∈[－2π，2π]時，下列有關(guān)函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2)－xcosx，g(x)＝eq\f(3,2)＋x的結(jié)論正確的個數(shù)為()①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)與g(x)有相同的對稱中心；③函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)之和為0；④函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象交點的縱坐標(biāo)之和為eq\f(9,2).A．1B．2C．3D．411．已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是__________．12．已知函數(shù)f(x)在R上滿意f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)試推斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2011,2011]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

第4講函數(shù)的奇偶性與周期性1．A解析：明顯，f(x)的定義域為(－1,1)，關(guān)于原點對稱．又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．明顯，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增．故選A.2．A解析：當(dāng)x≥0時，f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個周期．∴f(－2024)＝f(2024)＝f(1)＝log22＝1，f(2024)＝f(3)＝－eq\f(1,f1)＝－1，∴f(－2024)＋f(2024)＝0.故選A.3．D解析：函數(shù)y＝eq\f(1,2x)－2x為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減；對于A，y＝sinx是奇函數(shù)，但不在R上單調(diào)遞減；對于B，y＝x3是奇函數(shù)，但在R上單調(diào)遞增；對于C，y＝eq\f(1,x)的定義域不同；對于D，畫出函數(shù)圖象可知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2x≥0，,x2x<0))是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減．故選D.4．A解析：(1)∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.5．ABC6．(－1,3)解析：∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)．又∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(|x－1|)>f(2)．又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴|x－1|<2.∴－2<x－1<2.∴－1<x<3.∴x∈(－1,3)．7．－3解析：f(x)是奇函數(shù)，若f(ln2)＝8，有f(－ln2)＝－8，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－e＝－(e)a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝－8，則a＝－3.8．B解析：∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)在R上恒成立，∴m＝0，∴當(dāng)x≥0時，易得f(x)＝2|x|－1為增函數(shù)，∴a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(2)，∵log23<2<log25，∴a<c<b，故選B.9．BC10．C解析：f(－x)≠－f(x)，故①不正確；f(－x)＋f(x)＝3，f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))對稱，g(x)的圖象也關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))對稱，∴f(x)與g(x)有相同的對稱中心，故②正確；∵f(x)與g(x)有相同的對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)之和為0，故③正確；∵eq\f(3,2)－xcosx＝eq\f(3,2)＋x，x(cosx＋1)＝0，∴x＝0或cosx＝－1，∴函數(shù)y＝f(x)與g＝g(x)的圖象在x∈[－2π，2π]有3個交點，縱坐標(biāo)之和為eq\f(9,2)，故④正確．11．{x|－7<x<3}解析：方法一，當(dāng)x≤0時，－x≥0，f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋4x.當(dāng)x∈[－2，＋∞)時，x＋2≥0，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)<5，解得－3<x<3，∴－2≤x<3；當(dāng)x∈(－∞，－2)時，x＋2<0，f(x＋2)＝(x＋2)2＋4(x＋2)<5，解得－7<x<－1，∴－7<x<－2.綜上所述－7<x<3，故f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．方法二，如圖D118，可知f(x)<5的解集為{x|－5<x<5}，∴－5<x＋2<5，即－7<x<3，故f(x＋2)<5的解集為{x|－7<x<3}．圖D11812．解：(1)若y＝f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)．∴f(7)＝f(3)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0沖突；因此f(x)不是偶函數(shù)．若y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0沖突．因此f(x)不是奇函數(shù)．綜上所述，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)∵f(x)＝f(2＋(x－2))＝f(2－(x－2))＝f(4－x)，f(x)＝f(7＋(x－7))＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，∴f(14－x)＝f(4－x)，即f(10＋(4－x))＝f(4－x)．∴f(x＋10)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為10.又f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，f(3)＝f(3＋10