2013年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點40 橢圓

高考試題分類解析與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于.【解題指南】①,而2c是焦距,2a是定義中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果題目出現(xiàn)焦點三角形(由曲線上一點連接兩個焦點而成),求解離心率,一般會選用這種定義法:.②求解離心率,還有一種方法,叫平方法.注意到,在具體問題中,結(jié)合基本量關(guān)系式a2=b2+c2進(jìn)行求解,顯然這樣的方法適合于題目給出標(biāo)準(zhǔn)方程的題.【解析】∠MF1F2是直線的傾斜角,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以.【答案】.10.（2013·遼寧高考理科·Ｔ15）已知橢圓的左焦點為，與過原點的直線相交于兩點，連接若，則的離心率【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)（對稱性）求出點A到右焦點的距離，進(jìn)而求得.【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，，故三角形為直角三角形。設(shè)橢圓的右焦點為，連接,根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形為矩形，則其對角線且，即焦距又據(jù)橢圓的定義，得，所以.故離心率【答案】.三、解答題11.（2013·陜西高考文科·Ｔ20）已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. (1)求動點M的軌跡C的方程; (2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點.若A是PB的中點,求直線m的斜率.【解題指南】設(shè)出動點M的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程即可；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出k與的關(guān)系式，利用中點坐標(biāo)即可得斜率.【解析】(1)點M(x,y)到直線x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍，則.所以，動點M的軌跡為橢圓，方程為.(2)P(0,3),設(shè)，橢圓經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這2點，即直線m斜率k存在。.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：所以，直線m的斜率.12.（2013·四川高考理科·Ｔ20）已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經(jīng)過點．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．【解題指南】（1）關(guān)注橢圓的定義，利用定義求出，再求出離心率；（2）首先確定橢圓的方程，設(shè)出點的坐標(biāo)，結(jié)合已知，找到點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系.【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|=eq\r((eq\f(4,3)+1)2+(eq\f(1,3))2)+eq\r((eq\f(4,3)?1)2+(eq\f(1,3))2)=2eq\r(2),所以a=eq\r(2),又由已知,c=1,所以橢圓的離心率e=eq\f(c,a)=eq\f(1,\r(2))=eq\f(\r(2),2).(2)由(1)知,橢圓C的方程為eq\f(x2,2)+y2=1,設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y).(ⅰ)當(dāng)直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點,,此時點Q的坐標(biāo)為(0,2?eq\f(3\r(5),5)).(ⅱ)當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,因為M,N在直線l上，可設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為則|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22,又|AQ|2=(1+k2)x2,由eq\f(2,|AQ|2)=eq\f(1,|AM|2)+eq\f(1,|AN|2),得eq\f(2,(1+k2)x2)=eq\f(1,(1+k2)x12)+eq\f(1,(1+k2)x22),即eq\f(2,x2)=eq\f(1,x12)+eq\f(1,x22)=eq\f((x1+x2)2?2x1x2,x12x12),①將y=kx+2代入eq\f(x2,2)+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②由=(8k)2?4(2k2+1)6>0,得k2>eq\f(3,2).由②可知,x1+x2=eq\f(?8k,2k2+1),x1x2=eq\f(6,2k2+1),代入①并化簡得x2=.③因為點Q在直線y=kx+2上,所以k=eq\f(y?2,x),代入③并化簡,得10(y?2)2?3x2=18.由③及k2>eq\f(3,2),可知0<x2<eq\f(3,2),即x(?eq\f(\r(6),2),0)∪(0,eq\f(\r(6),2)).又(0,2?eq\f(3\r(5),5))滿足10(y?2)2?3x2=18,故x(?eq\f(\r(6),2),eq\f(\r(6),2)).由題意,Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以?1y1,又由10(y?2)2=3x2+18有(y?2)2[eq\f(9,5),eq\f(9,4))且?1y1,則y(eq\f(1,2),2?eq\f(3\