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第三節(jié)合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點(diǎn)突破2.演繹推理考點(diǎn)二歸納推理
考點(diǎn)一類(lèi)比推理
考點(diǎn)三演繹推理教材研讀1.合情推理類(lèi)型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類(lèi)事物的①
部分
對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類(lèi)事物的②
全部
對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理由③
部分
到④
整體
、由⑤
個(gè)別
到⑥
一般
類(lèi)比推理根據(jù)兩類(lèi)事物之間具有某些類(lèi)似(一致)性,推測(cè)一類(lèi)事物具有另一類(lèi)事物類(lèi)似(或相同)的性質(zhì)的推理由⑦
特殊
到⑧
特殊
2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱(chēng)為
演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情況;(iii)結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況作出的判斷.1.下面幾種推理是合情推理的是
()①由圓的性質(zhì)類(lèi)比出球的有關(guān)性質(zhì);②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°,歸納出所
有三角形的內(nèi)角和都是180°;③某次考試張軍成績(jī)是100分,由此推出全班同學(xué)成績(jī)都是100分;④三角形的內(nèi)角和是180°,四邊形的內(nèi)角和是360°,五邊形的內(nèi)角和是540°,由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°.A.①②
B.①③
C.①②④
D.②④C答案
C①是類(lèi)比推理,②④是歸納推理,③是非合情推理.2.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)是增函數(shù)(大前提),又y=
是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=
是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤在于
()A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)A答案
A當(dāng)a>1時(shí),y=ax為增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax為減函數(shù),故大前提
錯(cuò)誤.B3.(2017北京朝陽(yáng)期末,8)某校高三(1)班32名學(xué)生全部參加跳遠(yuǎn)和擲實(shí)
心球兩項(xiàng)體育測(cè)試,跳遠(yuǎn)和擲實(shí)心球兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格的分別為26人和
23人,這兩項(xiàng)成績(jī)都不合格的有3人,則這兩項(xiàng)成績(jī)都合格的人數(shù)是
()A.23
B.20
C.21
D.19B答案
B設(shè)跳遠(yuǎn)和擲實(shí)心球測(cè)試都合格的為x人,則26+23-x+3=32,解
得x=20,所以選B.B4.(2017北京東城二模,8)據(jù)統(tǒng)計(jì),某超市兩種蔬菜A和B連續(xù)n天的價(jià)格分
別為a1,a2,a3,…,an和b1,b2,b3,…,bn,令M={m|am<bm,m=1,2,…,n},若M中的元
素個(gè)數(shù)大于
n,則稱(chēng)蔬菜A在這n天的價(jià)格低于蔬菜B的價(jià)格,記作A?B,現(xiàn)有三種蔬菜A,B,C,下列說(shuō)法正確的是
()A.若A?B,B?C,則A?CB.若A?B,B?C同時(shí)不成立,則A?C不成立C.A?B,B?A可同時(shí)不成立D.A?B,B?A可同時(shí)成立C答案
C若M中的元素個(gè)數(shù)大于
n且小于
n,則A?B,B?A可同時(shí)不成立.故選C.B5.觀察下列不等式:1+
<
,1+
+
<
,1+
+
+
<
,……照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為1+
+
+
+
+
<
.答案1+
+
+
+
+
<
解析先觀察左邊,第一個(gè)不等式為2項(xiàng)相加,第二個(gè)不等式為3項(xiàng)相加,
第三個(gè)不等式為4項(xiàng)相加,則第五個(gè)不等式應(yīng)為6項(xiàng)相加,右邊分子為分
母的2倍減1,分母即為所對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù),故應(yīng)填1+
+
+
+
+
<
.考點(diǎn)一類(lèi)比推理考點(diǎn)突破典例1(1)給出下面類(lèi)比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為
復(fù)數(shù)集):①由“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類(lèi)比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類(lèi)比推出“若a,b,c,d
∈Q,則a+b
=c+d
?a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類(lèi)比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”;④由“若x∈R,則|x|<1?-1<x<1”類(lèi)比推出“若z∈C,則|z|<1?-1<z<1”.其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是
()A.1
B.2
C.3
D.4(2)在平面幾何中,△ABC的∠C的平分線CE分AB所成的線段的比為
=
(如圖1).把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間,在三棱錐A-BCD中(如圖2),面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E,則類(lèi)比得到的結(jié)論是
.
答案(1)B(2)
=
解析(1)類(lèi)比結(jié)論正確的只有①②.(2)由平面中線段的比類(lèi)比空間中面積的比可得
=
.易錯(cuò)警示在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí),不僅要注意形式的類(lèi)比,還要注意方法的類(lèi)比,且要
注意以下兩點(diǎn):(1)找兩類(lèi)對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素,如:三角形對(duì)應(yīng)三棱錐,圓對(duì)應(yīng)
球,面積對(duì)應(yīng)體積;(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)
線面垂直或面面垂直,邊相等對(duì)應(yīng)面積相等.1-1把一個(gè)直角三角形以?xún)芍苯沁厼猷忂呇a(bǔ)成一個(gè)矩形,則矩形的對(duì)
角線長(zhǎng)即為直角三角形外接圓直徑,以此可求得外接圓半徑r=
(其中a,b為直角三角形兩直角邊長(zhǎng)).類(lèi)比此方法可得三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為
a,b,c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=
.答案
解析由平面類(lèi)比到空間,把矩形類(lèi)比為長(zhǎng)方體,從而可得出外接球半
徑.考點(diǎn)二歸納推理命題方向一與數(shù)字有關(guān)的推理典例2觀察下列等式:1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律,第n個(gè)等式為
.
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
答案
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
解析由前4個(gè)等式可知,第n個(gè)等式的左邊第一個(gè)數(shù)為n,且連續(xù)2n-1個(gè)
整數(shù)相加,右邊為(2n-1)2,故第n個(gè)等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.命題方向二與式子有關(guān)的推理典例3觀察下列等式:
+
=
×1×2;
+
+
+
=
×2×3;
+
+
+…+
=
×3×4;
+
+
+…+
=
×4×5;……照此規(guī)律,
+
+
+…+
=
n(n+1)
.答案
n(n+1)解析通過(guò)觀察已給出等式的特點(diǎn),可知等式右邊的
是個(gè)固定數(shù),
后面第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)括號(hào)內(nèi)分?jǐn)?shù)的分子中π的系數(shù)的一半,
后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù),所以所求結(jié)果為
·n·(n+1),即
n(n+1).命題方向三與圖形變化有關(guān)的推理典例4蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師,單個(gè)蜂巢可以近似地
看作一個(gè)正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢,
第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢,第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)表示第n個(gè)圖
蜂巢總數(shù).
則f(4)=
37
,f(n)=3n2-3n+1
.答案37;3n2-3n+1解析因?yàn)閒(1)=1,f(2)=7=1+6,f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.規(guī)律總結(jié)(1)歸納推理的一般步驟:①通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)
律;②由發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)或變化規(guī)律推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題.(2)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超越了
前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確,有待進(jìn)一步證明,但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)
的發(fā)現(xiàn)很有用.2-1有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:1371321
…591523
…
…111725
…
…
…1927
…
…
…
…29
…
…
…
…
……
…
…
…
…
…則第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是1051
.答案1051解析觀察每一行的第一個(gè)數(shù),由歸納推理可得第30行的第1個(gè)數(shù)是1+
4+6+8+10+…+60=
-1=929.又第n行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2n,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2n+2,所以第30行從左到右的第2個(gè)數(shù)比
第1個(gè)數(shù)大60,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大62,故第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是929+60+62=1051.2-2已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+
≥2,x+
=
+
+
≥3,x+
=
+
+
+
≥4,……,歸納得x+
≥n+1(n∈N*),則a=
.答案
nn
解析第一個(gè)式子是n=1的情況,此時(shí)a=11=1;第二個(gè)式子是n=2的情況,
此時(shí)a=22=4;第三個(gè)式子是n=3的情況,此時(shí)a=33=27,歸納可知a=nn.nnB考點(diǎn)三演繹推理典例5數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=
Sn(n=1,2,3,…).求證:(1)數(shù)列
是等比數(shù)列;(2)Sn+1=4an.證明(1)因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1=
Sn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以
=2·
,又∵
≠0,∴
≠0,∴
÷
=2.
(小前提)故
是以2為公比的等比數(shù)列.
(結(jié)論)(2)由(1)知
=4·
(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·
=4·
·Sn-1=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1,都有Sn+1=4an.方法技巧(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論
解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果大前提是顯然
的,則可以省略,本題中,等比數(shù)列的定義在解題中是大前提,由于它是顯
然的,因此省略不寫(xiě).(2)在推理論證過(guò)程中,一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要利用幾個(gè)三段
論才能完成.3-1已知函數(shù)f(x)=
(x∈R).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)判斷
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