2023教師版 步步高 大二輪 數(shù)學(xué) 新高考專題五 概率與統(tǒng)計(jì)

ZHUANTIWU

第1講計(jì)數(shù)原理與概率

I考情分析］1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇

題、填空題為主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不

等式、數(shù)列交匯考查3概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概率的基本應(yīng)用.

考點(diǎn)一排列與組合問(wèn)題

【核心提煉】

解決排列、組合問(wèn)題的一般過(guò)程

⑴認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；

(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類；

(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問(wèn)題還是組合(無(wú)序)問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少元

素.

例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請(qǐng)?jiān)趪?guó)慶期間到A,B,C三個(gè)路口協(xié)助交警值勤,

他們申請(qǐng)值勤路口的意向如下表：

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁

這4名志愿者的申請(qǐng)被批準(zhǔn)，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A,B,C三個(gè)路口都要

有志愿者值勤，則不同的安排方法有()

A.14種B.11種

C.8種D.5種

答案B

解析由題意得，

以C路口為分類標(biāo)準(zhǔn)：。路口值勤分得人數(shù)情況有2種，兩個(gè)人或一個(gè)人，

若C路口值勤分得人數(shù)為2,丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在4B路口值勤，此時(shí)有

兩種安排方法.

若C路口值勤分得人數(shù)為1,丙或丁在C路口，具體情況如下.

丙在C路口：

A（?。?（甲乙）C（丙）；

4甲丁）8（乙）。（丙）；

A（乙?。?（甲）C（丙）.

丁在C路口：

A（甲乙）B（丙）。（?。?；

4（丙）5（甲乙）C（?。?/p>

A（甲丙）8（乙）。（?。?/p>

A（乙）8（甲丙）C（?。?；

A（乙丙）8（甲）C（?。?/p>

4甲）8（乙丙）。（?。?

所以一共有2+3+6=11（種）安排方法.

（2）（2022?衡陽(yáng)模擬）2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式以二十四

節(jié)氣的方式開(kāi)始倒計(jì)時(shí)，創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化,

特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識(shí)展板分

別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚

蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.192B.240C.120D.288

答案A

解析由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時(shí)，利用捆綁法得到A認(rèn)孑=240（種），

當(dāng)“立春”和“驚蟄”相鄰，且“清明”與“驚蟄”也相鄰時(shí)，有2種排法，即“驚蟄”在

中間，“立春”“清明”分布兩側(cè)，此時(shí)再用捆綁法，將三者捆在一起，即2A2=48（種），

所以最終滿足題意的排法為24048=192（種）.

規(guī)律方法排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧

（1）合理分類與準(zhǔn)確分步；（2）排列、組合混合問(wèn)題要先選后排；（3）特殊元素優(yōu)先安排；（4）相

鄰問(wèn)題捆綁處理；（5）不相鄰問(wèn)題插空處理；（6）定序問(wèn)題除法處理；（7）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先

整體后局部；（8）正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

跟蹤演練1（1）2021年1月18號(hào)，國(guó)家航天局探月與航天工程中心表示，中國(guó)首輛火星車

全球征名活動(dòng)已經(jīng)完成了初次評(píng)審.評(píng)審委員會(huì)遴選出弘毅、顫麟、哪吒、赤兔、祝融、求

索、風(fēng)火輪、追夢(mèng)、天行、星火共10個(gè)名稱，將其作為中國(guó)首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)

為了研究這些初選名稱的涵義，計(jì)劃從中選3個(gè)名稱依次進(jìn)行分析，其中有1個(gè)是祝融，其

余2個(gè)從剩下的9個(gè)名稱中隨機(jī)選取，則祝融不是第3個(gè)被分析的情況有（）

A.144種B.336種

C.672種D.1008種

答案A

解析選取的3個(gè)名稱中含有祝融的共有C8種不同的情況.分析選取的3個(gè)名稱的不同情況

有A弓種，其中祝融是第3個(gè)被分析的情況有A之種，故祝融不是第3個(gè)被分析的情況有C9（AJ

—A，）=144（種）.

（2）（2022?廣東聯(lián)考）現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國(guó)家高山滑雪館、國(guó)家速滑館、首

鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場(chǎng)館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場(chǎng)館，則甲

和乙都沒(méi)被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

答案B

解析因?yàn)榧缀鸵叶紱](méi)去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則安排方法分兩類：

若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國(guó)家高山滑雪館與國(guó)家速

滑館，

有A2=2（種）；

若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，從丙、丁中選，有Q=2（種），然后剩下的一個(gè)人和甲、乙被

安排去國(guó)家高山滑雪館與國(guó)家速滑館，有0A3=6（種），則共有2X6=12（種）.綜上，甲和乙

都沒(méi)被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為12+2=14.

考點(diǎn)二二項(xiàng)式定理

【核心提煉】

1.求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題的思路

（1）利用通項(xiàng)公式將項(xiàng)寫出并億簡(jiǎn).

（2）令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零：求有理項(xiàng)時(shí),指數(shù)為整數(shù)等），解出k

（3）代回通項(xiàng)公式即得所求.

2.對(duì)于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討

論求解.

例2（1）（2022?新高考全國(guó)1）（1一?。+），）8的展開(kāi)式中/）￡的系數(shù)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）.

答案一28

解析（x+y"展開(kāi)式的通項(xiàng)-5"，2=0,1,…，7,8.令％=6,得乙+[=ax2y6；令

k=5,得石"=C*）$,所以（1—；）a+y）8的展開(kāi)式中月6的系數(shù)為cg—a=-28.

（2）已知（x+￡）〃的展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)為120,所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,則實(shí)

數(shù)。的值為,展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

答案145

解析因?yàn)镼+3”的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2”，且奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)之和相等，所以2"r=512,解得〃=10,

所以展開(kāi)式中第四項(xiàng)A=GN⑤3,

所以Goa3=12O,解得。=1,

所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

力+1=Cf3°一伺*=63°，,

令10-5%=0,解得火=2,

所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C?0=45.

易錯(cuò)提醒二項(xiàng)式(al?”的通項(xiàng)公式方+i=C￡/r"(A=0,l,2,…，，)它表示的是二項(xiàng)式的

展開(kāi)式的第攵+1項(xiàng)，而不是第&項(xiàng)；其中C$是二項(xiàng)式展開(kāi)式的第4+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而

二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第2+1項(xiàng)的系數(shù)是字母球前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù).

跟蹤演練2(1)(2022?淄博模擬)若(1一防8=制+0(1+力+。2(1+力2+???+。8(1+4)8,則期等

于()

A.-448B.-112

C.112D.448

答案C

解析(1—x)8=(^—1)8=[(1+x)—2J8

=ao+ai(1+x)+s(1+x>+…+縊(1+x))

〃6=C&X(—2產(chǎn)=112.

(2)(多選)己知(1—------Vai023X2023,則()

A.展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為1

B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22。23

C.------1~。2023=-2

D.偷+華+翁-I-----玲黑1=0

答案BCD

解析令4=1得g+〃l+…+〃2O23=-1，

???A錯(cuò)誤；

二項(xiàng)式系數(shù)和為C?023+C1023+,?,+Ci82^=22023,

B正確；

令x=0得flo=l,

，0+。2+…+〃2O23=-2,；?C正確;

令有如+?+等H---臉照=0,'D正確.

考點(diǎn)三概率

【核心提煉】

1.古典概型的概率公式

事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

"⑷一試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率公式

設(shè)A,8為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）＞0,

P(AB)

如I尸(6|A)=

尸”

3.全概率公式

設(shè)4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，AIUA2U???UA〃=0,且HA）X）,Z=1,2,n,

則對(duì)任意的事件BC0,有P（B）=￡P(guān)（4）P（BA）.

例3（1）（2022?新高考全國(guó)I）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)

的概率為（）

I八1八1、2

A6B3C2D-3

答案D

解析從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C3=21（種）取法，取得的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況

有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6）,{5,7},{5,8},{6,7},

{7,8},共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1并4與2

（2）（多選）（2022.臨沂模擬）甲和乙兩個(gè)箱子中各有質(zhì)地均勻的9個(gè)球，其中甲箱中有4個(gè)紅球,

2個(gè)白球，3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放

入乙箱中，分別以4,A2,4表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再?gòu)囊蚁?/p>

中隨機(jī)取出一球，以8表示取出的球是紅球的事件，則（）

A.Ai，A2，4兩兩互斥

2

B.尸（硼2）=§

c.P⑻=3

D.8與4相互獨(dú)立

答案AB

解析4,A2,4中任何兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們兩兩互斥，A正確;

24

P(BA2)9X7O2…

P(B|A2)=p.、——-=7,B正確;

尸(A?)￡>

4

-

9

P⑻=P(4)P(34)+P(A2yP(B\A2HP(gP(即3)

4524344

-------

9999

101010

又P(4/)=§X而=§,

4416

產(chǎn)(4網(wǎng)8)=§X0=布

???P(45)HP(4)P(B)

???A|與8不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.

(3)(2022?益陽(yáng)調(diào)研)甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如框圖所示，其中編號(hào)為i

的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者廣，

負(fù)者稱為“負(fù)者產(chǎn)，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為爭(zhēng)

而乙、丙、丁之間相互比賽，每人勝負(fù)的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為()

136

A?掾c絲

15-27=81

答案D

解析甲獲得冠軍,則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝；1

負(fù)4勝5勝6勝.所以甲獲得冠軍的概率為瞅+2乂停)3義；=器

規(guī)律方法求概?率的方法與技巧

(I)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對(duì)應(yīng)事件的概率公式求解.

跟蹤演練3(1)某市在文明城市建設(shè)中，鼓勵(lì)市民“讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽

室設(shè)立茶座，讓人們?cè)谛蓍e中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對(duì)于周末前來(lái)

閱讀的前三名閱讀者各贈(zèng)送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有

且僅有2名閱讀者挑選同一種書的概率為()

14c39

A3B9C-4D16

答案D

解析三人挑選四種書，每人有4種選法，

共有43=64種方法，

恰有2人選同一種書的方法有C4QC4種，

即36種方法，

故恰有2人選同一種書的概率尸嶗=磊.

(2)(多選)一次“智力測(cè)試”活動(dòng)，在備選的10道題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中

的8題，測(cè)試時(shí)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3題由甲、乙分別作答，至少答對(duì)2題者被評(píng)為

“智答能手”.設(shè)甲被評(píng)為“智答能手”為事件4,乙被評(píng)為“智答能手”為事件B,若P(BIA)

=P(8),則下列結(jié)論正確的是()

A.P[A\B)=P(A)

1

B.P(B依)=后

C.甲、乙至多有一人評(píng)為“智答能手”的概率星!

D.甲、乙至少有一人評(píng)為“智答能手”的概率噓

答案ABD

解析由題意，可得P(A)—ci。一120—3，

ar軟C+G56+5614

P(B)~cj()—120_百

由P(8H)=^^=P(B),

所以P(4B)=P(A)P(8),事件A,8相互獨(dú)立，

所以「(*5)=今需=孽$1=P(A),故A正確；ZW)=P(5)=!1,

1yOJlyLJI1J

—141

由條件概率的性質(zhì)得P(B|A)=1~P(B\A)=1——,故B正確；

因?yàn)槭录嗀,8相互獨(dú)立，所以4與N,T與8,工與石也都相互獨(dú)立.甲、乙都被評(píng)為

“智答能手”的概率P(A5)=尸(A)P(B)=?=-

所以甲、乙至多有一人被評(píng)為“智答能手”的概率為1一2（附=1一,=*故c錯(cuò)誤;

甲、乙都沒(méi)有被評(píng)為“智答能手”的概率P（/N）=P（了）/（石）=（1一1）乂（1一|§=卜志

1

45,

____I44

所以甲、乙至少有一人被評(píng)為“智答能手”的概率為1-P（A8）=1一點(diǎn)=焉故D正確.

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?福州質(zhì)檢）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-540B.-15

C.15D.135

答案D

解析二項(xiàng)式（3工一古〉展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

八+尸&（31）*（一右）

6--JI

=（一］）?,36?.12,k&6,MN,

3

由6-

-2M得々=4,

則?5=（-1）4X32XC^=135,

所以（31一七下展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為135.

2.（2022?荊州聯(lián)考）某人民醫(yī)院召開(kāi)抗疫總結(jié)表彰大會(huì)，有7名先進(jìn)個(gè)人受到表彰，其中有一

對(duì)夫妻.現(xiàn)要選3人上臺(tái)報(bào)告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報(bào)告，若夫妻同時(shí)被選，則

兩人的報(bào)告順序需要相鄰，這樣不同的報(bào)告方案共有（）

A.80種B.120種

C.130種D.140種

答案D

解析若夫妻中只選一人，

則有CiC?A^=120（種）不同的方案；

若夫妻二人全選，且兩人報(bào)告順序相鄰，則有CgA2A2=2O種不同的方案，故總計(jì)有140種

不同的方案.

3.(2022?惠州模擬)(a-x)(2+x)6的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是12,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得(a—x)(2+x)6=

3—x)(Cg26+C125x+cW23+a23p+a22^+ca2A5+C婚)，

則x5的系數(shù)為6》2—。22=12,，a=6.

4.從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為()

A.吉B.,嗎D.1

答案C

解析從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只的方法為CB,這3只鞋子中任意兩只都不成雙，

選取的方法為CiX23,

所以所求概率為叫上C*寧X23甘4.

5.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%

的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)】h的學(xué)生中

任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為()

&2「3

A5Bi

C,8D4

答案B

解析令4="玩手機(jī)時(shí)間超過(guò)Ih的學(xué)生”，

4="玩手機(jī)時(shí)間不超過(guò)Ih的學(xué)生”，

B=“任意調(diào)查一人，此人近視”，

則0=A|UA2,且A|,42互斥,

P(4)=0.2,P(A2)=0.8,P(BHI)=0.5,

P(B)=0.4,

依題意，

P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(BIA2)

=0.2X0.5+0.8XP(5|A2)=0.4,

解得P(B|A2)=|,

3

所以所求的概率為2

o

6.為響應(yīng)國(guó)家鼓勵(lì)青年創(chuàng)業(yè)的號(hào)召，小王開(kāi)了兩家店鋪，每個(gè)店鋪招收了兩名員工，若某節(jié)

假口每位員工休假的概率均為多且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一

家店鋪無(wú)人休假，則從無(wú)人休假的店鋪調(diào)劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正

常營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).則兩家店鋪該節(jié)假日都能正常營(yíng)業(yè)的概率為()

1「4

A.§B.g

C.§D.g

答案D

解析設(shè)兩家店鋪不能都正常營(yíng)業(yè)為事件A,

由題意可知有4人休假的概率為&篇，

有3人休假的概率為弟乂I1.，

1Q1

所以兩家店鋪不能都正常營(yíng)業(yè)的概率為P(4)=—

o1o1y

Q

所以兩家店鋪該節(jié)假日都能正常營(yíng)業(yè)的概率為1—P(A)=1.

7.(2022?錦州模擬)定義：兩個(gè)正整數(shù)小b,若它們除以正整數(shù)機(jī)所得的余數(shù)相等，則稱小

'對(duì)于?！?同余，記作a=b(mod雁),比如:26=16(mod10).已知r=C9o+C]o?8+C?(r82+…

+CI88。，滿足〃=p(mod7),則/)可以是()

A.23B.31

C.32D.19

答案A

解析因?yàn)椤?C%+Clo?8+C%-82+…+(21880=(1+8嚴(yán)=(7+2嚴(yán)，

也即〃=C%70+Clo-79,2+…+CV73+CI&2Q

故〃除以7的余數(shù)即為C|82io=l024除以7的余數(shù)，1024除以7的余數(shù)為2,結(jié)合選項(xiàng)知

23除以7的余數(shù)也為2,滿足題意，其它選項(xiàng)都不滿足題意.

8.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261

年所著的《詳解九章算法》一書中，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三

角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關(guān)于“楊輝

三角”的結(jié)論正確的是()

楊輝三角

第

V廳

0-r

第

/廳

1彳

第

/廳

2V

第

3W/亍

T

第

4-亍

第

5/廳

彳

第

6V廳

-T

第

7亍

第

V廳

8-T

A.C3+CZ+Cg+…+C%=165

B.在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大

C.第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)

D.第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2：3

答案C

解析由可得

（3+C4+Cg+???+C，o

=（3+c孑+c3+cg+…+c%—1

=C3+Ci+C?+*,,H-C?o—1

=Cji-i

第2022行中第1011個(gè)數(shù)為C3明vQH,故B錯(cuò)誤；

a+C9+C8=G+C$+C8=（3+Q=Cj,

故C正確；

第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為

.34X33-2134X33X…義20

C**C^=14X13X-XI:15X14X13X-X1

=15：20=3：4,故D錯(cuò)誤.

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022?山東省實(shí)臉中學(xué)診斷）已知（a+b）〃的展開(kāi)式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃的值

可以為（）

A.7B.8C.9D.10

答案ABC

解析若展開(kāi)式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則5+1=5,解得八=8；若展開(kāi)式中第四

項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則亨=5,解得〃=7；若展開(kāi)式中第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)最大，則受=5,解得〃=9.

10.（2022.湖南師大附中模擬）拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù),

y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件4=。+尸7"，事件8=“何為奇數(shù)”，事件。='">3"，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.A與B互斥

B.A與B對(duì)立

C.P(B|O=|

D.A與C相互獨(dú)立

答案AD

解析事件A包含的基本事件為(1,6),(2,5),

(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6種，

所以204)=￡^=不

事件5包含的基本事件為(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9種，

91

則「⑻=而=不

所以A與8互斥但不對(duì)立，故A正確，B錯(cuò)誤；

事件C包含的基本事件數(shù)為3X6=18,

則p(c)=6X6=r

P(8C=6><6=75'

所以P(8|O=今怒=尢故C錯(cuò)誤；

3]

因?yàn)镻^C)=~=-^,

八-1II

P(A)P(Q=^X-=—,

則P(AC)=P(A>P(。，所以A與。相互獨(dú)立，故D正確.

11.(2022?襄陽(yáng)模擬)A,B,C,D,E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有()

A.若A,B兩人站在一起，則共有24種排法

B?若A,3不相鄰，則共有72種排法

C.若A在B左邊,則共有60種排法

D.若A不站在最左邊，5不站在最右邊，則共有78種排法

答案BCD

解析對(duì)于A,先將A,B排列，再看成一個(gè)元素，和剩余的3人，一共4個(gè)元素進(jìn)行全排

列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有A^d=48(種)，

所以A不正確；

對(duì)于B,先將A,8之外的3人全排列，產(chǎn)生4個(gè)空，再將A,B兩元素插空，所以共有A9Al

=72(種)，所以B正確；

對(duì)于C,5人全排列，而其中A在3的左邊和A在B的右邊是等可能的，所以A在B的左邊

的排法有2A§=60(種)，所以C正確；

對(duì)于D,對(duì)A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有山種，另一個(gè)是A

不站在最左邊也不站在最右邊，則A從中間的3個(gè)位置中任選1個(gè)，然后8從除最右邊的3

個(gè)位置中任選1個(gè)，最后剩下3人全排列即可，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有A?+A4A4AJ

=78(種)，所以D正確.

12.甲、乙兩個(gè)均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，甲四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字

123,4,乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字567,8,同時(shí)拋擲這兩個(gè)四面體一次，記事件A為“兩個(gè)

四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件8為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件

。為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(A)=P(B)=P(。

B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABQ=1

o

D.P(B\A)=^

答案ABD

解析由已知得P(4)=2(X(2+：2X-j巖1，

qqq-乙

21

P(B)=P(O=W=Q

所以P(A)=尸(B)=P(O，

則A中結(jié)論正確；

221

P(AB)=^X-=-

P(AC)=；,P(BC)=：,

所以P(BC)=P(AC)=P(AB)t則B中結(jié)論正確；

事件A,B,。不相互獨(dú)立，故P(ABC)=!錯(cuò)誤，即C中結(jié)論錯(cuò)誤；

O

1

-

41

--

-12

尸(附=-則D中結(jié)論正確.

2

三、填空題

13.(2022?益陽(yáng)調(diào)研)為迎接新年到來(lái)，某中學(xué)“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”元旦文藝晚

會(huì)如期舉行.校文娛委員會(huì)要在己經(jīng)排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來(lái)

的8個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，則不同排法的種數(shù)為.

答案90

解析總共10個(gè)節(jié)目排順序，先把老師的節(jié)目排好，剩下的8個(gè)學(xué)生的節(jié)目按原來(lái)的順序即

可，故共有Afo=9O種不同的排法.

14.（2022?全國(guó)甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

答案蔡

解析從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，

取法有0=70（種）.

其中4個(gè)點(diǎn)共面有以下兩種情況：

⑴所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖1,有6種取法；

（2）所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對(duì)角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2,也有6種取法.

故4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面共有6+6=12（種）情況.

所以所取的4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率尸=器=5

15.（2022?濱州模擬）（x+y—z）6的展開(kāi)式中^z3的系數(shù)是.

答案一60

解析依題意不立3的系數(shù)為（-1）3=-60.

16.（2022?廣州模擬）如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā)，每次等可

能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次，則事件“質(zhì)點(diǎn)位于一2的位置”的概率為

-6-5-4-3-2-10123456x

答案—

u木64

解析由圖可知，若想通過(guò)6次移動(dòng)最終停在一2的位置上，則必然需要向右移動(dòng)2次且向

左移動(dòng)4次，記向右移動(dòng)一次為R,向左移動(dòng)一次為，則該題可轉(zhuǎn)化為RR〃〃六個(gè)字母

排序的問(wèn)題，故落在一2上的排法種數(shù)為彘=15,所以移動(dòng)結(jié)果的總數(shù)為26=64,所有落

在一2上的概率為叫號(hào)

第2講隨機(jī)變量及其分布

［考情分析］離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差和概率的計(jì)算問(wèn)題常常結(jié)合在一起進(jìn)行

考查，重點(diǎn)考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度.

考點(diǎn)一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

【核心提煉】

離散型隨機(jī)變量x的分布列為

???…

Xx\X2Xixn

…???

pPiP2PiPn

則(l)p,20,i=l,2,…，n.

(2)pi+p2H-----hp〃=l.

(3)E(X)=.vipi------\-Xip,-\------\~xnpn.

22

(4)D(X)=[.ri—E(X)Fp]+e—E(X)]p2H-----F[xn—E(X)]pn.

(5)若Y=aX+h,

則E(Y)=aE(X)+b,

D(Y)=a2D(X).

1

例1(1)(2022?保定模擬)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=Z)=ak)g2—i—(1W2W7,

K

4￡Z),則尸(2VXW5)等于()

A-4B.|

C.1D.|log21

答案C

&+1

解析因?yàn)镻(X=Q=Hog2一廠

=4[10g2(2+1)—10g2k],

P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=7)=1,

所以fl(log22—logz1+logz3—log224-----FlogzS-log27)=1,

解得a=g,所以

P(2vXW5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=|log21+|log4+|log2|=|.

(2)(2022?煙臺(tái)模擬)已知隨機(jī)變星C的分布列如下表所示，旦滿足比0一0,則下列方差值中最

大的是()

4-102

1

Pa2b

A.D?B.D(iei)

C.D(2f+1)D.0(3?—2)

答案D

a+b+；=l,

一

{-lX?4-0x1+2X/>=0,

所以4的分布列為

-102

I2I

P

326

則D(<3=1x(-1-0)24-^X(0-0)2+1x(2—0)2=1,

則。(*+1)=22。(。=4；

同的分布列為

同102

2\_\_

P

326

II?

則上(廊=1X]+2X%=?

既?4(1_全+乂0_款+3(2_2去

所以0(3?-2)=32。(|4)=5,

所以。(3?—2)的值最大.

規(guī)律方法分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用

(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.

(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范

圍內(nèi)的概率.

跟蹤演練1(1)(多選)(2022?廣州調(diào)研)投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1

和表2所示.

表1股票甲收益的分布列

收益X/元-102

概率0.10.30.6

表2股票乙收益的分布列

收益力元012

概率0.30.40.3

則下列結(jié)論中正確的是()

A.投資股票甲的期望收益較小

B,投資股票乙的期望收益較小

C.投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高

D.投資股票乙比投資股票甲的風(fēng)險(xiǎn)高

答案BC

解析由題意知，

E(X)=-1X0.1+0X03+2X0.6=1.1,

方差D(X)=(-l-I.l)2X0.H-(-U)2X0.3+(2-l.l)2X0.6=1.29,

E(r)=0X0.3+lX0.4+2X0.3=l,

方差D(y)=(O-l)2XO.3+(l-l)2XO.4+(2-l)2XO.3=O.6,

所以E(x)>E(y),D(x)>D(y),則投資股票乙的期望收益較小，投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)

險(xiǎn)高.

(2)(2022?河南三市聯(lián)考)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會(huì)北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)志

愿服務(wù)活動(dòng)，若每人只能選擇一個(gè)賽區(qū)，且選擇其中任何一個(gè)賽區(qū)是等可能的.記X為三人

選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)，丫為三人沒(méi)有選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)，貝4()

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)^D(F)

C.E(X)^E(Y),D(X)#D(Y)

D.E(X)^E(Y),Dm=D(Y)

答案D

解析由題意得X的可能取值為1,2,3,

則尸(X=D=曷=/,

r(A—Z)—33~y

A39

P(X=3)=j=g,

12219

:.E(X)=1X-+2X-+3X^=—,

WO=(1-S%+(2-y>x,+(3背

又X+y=3,?J=3-X,

198

AE(y)=3-￡：(X)=3-y=9，

D(r)=(-1)2D(X)=D(X),故選D.

考點(diǎn)二隨機(jī)變量的分布列

【核心提煉】

1.二項(xiàng)分布

一般地，在〃重伯努利試臉中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件4發(fā)生的概率為p(Ovp<l),用X表示事件

A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=A)=G//(l-p)”r,&=0,1,2,…，

E(X)=np,D(X)=np(\—p).

2.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中阿機(jī)抽取〃件(不放回)，

用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=￡)=,k=m,w+l,m

I#

+2,…，匚其中n,N,MEN*,MWN,nWN,加=max{0,〃-N+M},r=min{n,M}.E(X)

M

考向1相互獨(dú)立事件

例2(2022?全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得

10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)

校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.408,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

解(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,

所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(_?BC)+P(A/O+P(ABF)

=0.5X0,4X0.8+(l-0.5)X0.4X0.8+0.5X(l-0.4)X0.8+0.5X0.4X(l-0.8)

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,

所以P(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16,

P(X=10)=0.5X0.4X0.8+0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=034,

P(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06.

則X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

E(X)=0X0.16+10X0.44+20X0.34+30X0.06=13.

考向2超幾何分布

例3(2022?漳州質(zhì)檢)北京冬奧會(huì)某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面

知識(shí)的測(cè)試，測(cè)試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)

抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測(cè)試能否合格

是相互獨(dú)立的.若甲能答對(duì)其中的6道題，乙能答對(duì)其中的8道題.求：

(1)甲、乙兩人至多一人測(cè)試合格的概率；

(2)甲答對(duì)的試題數(shù)X的分布列和均值.

解(1)根據(jù)題意，甲測(cè)試合格的概率為

ac+cb60+202

--=120=y

乙測(cè)試合格的概率為

Ci-Cj+Q_56+56_14

--=120=l5*

21428

故甲、乙兩人都測(cè)試合格的概率為§乂正=痣，

則甲、乙兩人至多一人測(cè)試合格的概率為

一駕=上

14545,

(2)由題可知,甲答對(duì)的試題數(shù)X可以取0』,2,3,

C141

又"、=0)=瓦=而=而，

C&<3363

P(X=1)=--,

C?o12010

P(X_2)—c?()—]20—2’

P(X-3)-C?()-120-6,

故X的分布列為

X0123

131

P

30U)2

31IQ

則E(X)=1X而+2X]+3Xq=5.

考向3二項(xiàng)分布

例4(2022?湖北聯(lián)考)某中學(xué)將立德樹人融入到教育的各個(gè)環(huán)節(jié)，開(kāi)展“職業(yè)體驗(yàn)，導(dǎo)航人

生”的社會(huì)實(shí)踐教育活動(dòng)，讓學(xué)生站在課程“中央”.為了更好地了解學(xué)生的喜好情況，根

據(jù)學(xué)校實(shí)際將職業(yè)體驗(yàn)分為：救死扶傷的醫(yī)務(wù)類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、

公平正義的法律類四種職業(yè)體驗(yàn)類型，并在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生調(diào)查意向選擇喜

好類型，統(tǒng)計(jì)如下：

類型救死扶傷的醫(yī)務(wù)類除暴安良的警察類百花齊放的文化類公平正義的法律類

人數(shù)30202030

在這100名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了3名學(xué)生，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替職業(yè)意向類型的概率(假設(shè)每

名學(xué)生在選擇職業(yè)類型時(shí)僅能選擇其中一類，且不受其他學(xué)生選擇結(jié)果的影響).

(1)求救死扶傷的醫(yī)務(wù)類、除暴安良的警察類這兩種職業(yè)類型在這3名學(xué)生中都有選擇的概率;

(2)設(shè)這3名學(xué)生中選擇除暴安良的警察類的隨機(jī)數(shù)為X,求X的分布列與均值.

解(1)由題意設(shè)職業(yè)體驗(yàn)選擇救死扶傷的醫(yī)務(wù)類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、

31

公平正義的法律類的概率分別為尸(A),P?P(C),P(D),則易知P(A)=m，P(8)=g,

P(O=〃,P(D)=元,

所以救死扶傷的醫(yī)務(wù)類、除暴安良的警察類這兩類職業(yè)類型在這3名學(xué)生中都有選擇的概率

為

Pi=A』P(A)?尸(B)[l—尸(A)—P(8)]+C4P(A)P(B)2+(3P(4)2?尸(B)

=端■般2+啕g

27

100-

(2)由題知選擇除暴安良的警察類的概率為P(8)=全

這3名學(xué)生中選擇除暴安良的警察類的隨機(jī)數(shù)X的可能取值為0』,2,3,X?43,￡),

則P(X=0=CSP(B)/[l-P(B)]3-/(Z=0,l,2,3),

所以X的分布列為

X0123

6448121

p125125125125

13

所以X的均值為E(X)=3X-=^.

規(guī)律方法求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟

(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能的全部取值；

(2)求X取每個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量X的分布列：

(3)由均值和方差的計(jì)算公式，求得均值E(X),方差O(X)：

(4)若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可利用特

殊分布列的均值和方差的公式求解.

跟蹤演練2(2022?廣東聯(lián)考)如圖，某市有南、北兩條城市主干道，在出行高峰期，北干道

有M，M,NA,四個(gè)交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率都是小南干道有S，S2,兩

個(gè)交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率分別轉(zhuǎn)，余某人在高峰期駕車從城西開(kāi)往城東，假設(shè)

以上各路段是否被堵塞互不影響.

—.—電——

SJ§2

⑴求北干道的N“M，M，M四個(gè)易堵塞路段至少有一個(gè)被堵塞的概率；

(2)若南干道被堵塞路段的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及均值E(X)；

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標(biāo)淮，則從城西開(kāi)往城東

較好的高峰期出行路線是哪一條？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)記北干道的M,M,M,M四個(gè)易堵塞路段至少有一個(gè)被堵塞為事件A,

WP(A)=l-(l-j)*=l-g=§.

(2)由題意可知X的可