27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例+教學(xué)設(shè)計(jì)+++2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

課程基本信息課題第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例教材人教版九年級(jí)下冊(cè)教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)利用三角形相似的知識(shí)解決不能直接測(cè)量物體的高度等簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；經(jīng)過(guò)把生活實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力2.通過(guò)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想3.在利用相似三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧提問：相似三角形的判定有哪些？回答：定義法，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似回答：平行法，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似回答：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似回答：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似回答：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似回答：斜邊和任意一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似提問：相似三角形的性質(zhì)有什么？回答：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例回答：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比回答：周長(zhǎng)的比等于相似比回答：面積的比等于相似比的平方二、創(chuàng)設(shè)情境、引入新課同學(xué)們，你們知道世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個(gè)國(guó)家嗎?這個(gè)金字塔的名字是什么?胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之”。據(jù)說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情景引入，引發(fā)學(xué)生的思考，為學(xué)習(xí)新課做鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生善于思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣三、合作交流，探究新知(一)探究測(cè)量金字塔高度問題【情景】胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測(cè)量金字塔的高度，你能根據(jù)圖示說(shuō)出他測(cè)量金字塔的原理嗎?你還有其它方法嗎?師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生嘗試通過(guò)多種方法解決此問題，再由教師總結(jié)常見測(cè)量高度的方法下面是借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度的示意圖原理：在同一時(shí)刻，由于太陽(yáng)光線是平行光線，在同一時(shí)刻，有∠BAO=∠EDF，∠AOB=∠DFE=90°可判定△ABO相似△DEF，利用相似三角形的性質(zhì)，可得BO/EF=OA/FD，即太陽(yáng)光下不同物體的高度之比與其影長(zhǎng)之比相等如圖，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO分析：根據(jù)太陽(yáng)光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，豎直的兩個(gè)物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生通過(guò)以上分析求解，教師通過(guò)多媒體給出具體求解過(guò)程如圖：木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO分析：對(duì)于不易到達(dá)頂部，不能直接測(cè)量的建筑物的高度，需要構(gòu)造相似三角形進(jìn)行測(cè)高解：太陽(yáng)光是平行光線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO相似△DEF∴BO/EF=OA/FD∴BO=OA×EF÷FD=134m因此金字塔的高度為134m方法總結(jié)：構(gòu)造相似三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷知識(shí)的探究過(guò)程，使學(xué)生通過(guò)全程參與，掌握知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力(二)探究測(cè)量河寬問題例：如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R。如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ教師分析：構(gòu)造相似三角形的步驟在過(guò)點(diǎn)S作直線a，使a⊥PS(2)在直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，連接PT交直線b于點(diǎn)R計(jì)算方法(1)先測(cè)量出QS、ST、QR的長(zhǎng)(2)利用對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解教師引導(dǎo)學(xué)生從上面的操作中得到比例關(guān)系，列方程求解，然后規(guī)范地寫出證明過(guò)程解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P∴△PQR相似△PST∴PQ/PS=QR/ST即PQ/（PQ+QS）=QR/ST，PQ/（PQ+45）=60/90，PQ×90=（PQ+45）×60解得PQ=90(m)答：河寬大約是90m設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷知識(shí)的探究過(guò)程，使學(xué)生通過(guò)全程參與，掌握知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力，學(xué)生先小組討論；通過(guò)例題進(jìn)一步完善學(xué)生們的想法，讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的成就感和快樂方法總結(jié)：利用相似三角形可以解決下面的2個(gè)問題測(cè)高：不易到達(dá)頂部，不能直接使用測(cè)量工具測(cè)距：不易直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離一般步驟閱讀問題體會(huì)情境——抽象模型，構(gòu)造相似——畫出圖形，解決問題——總結(jié)歸納，回歸實(shí)際設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理重點(diǎn)知識(shí)的脈絡(luò)和結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步理解知識(shí)(三)盲區(qū)問題例：如圖，左、右并排的兩棵樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹相距BD=5m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面的距離是EF=1.6m，她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C了?分析：如圖，設(shè)眼睛的位置為點(diǎn)F，水平視線FG分別交AB，CD于點(diǎn)H，K，∠AFH是觀察點(diǎn)A時(shí)的仰角由于樹的遮擋，區(qū)域I是盲區(qū)，同樣地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角，區(qū)域Ⅱ是盲區(qū)如圖，當(dāng)某人從左向右移動(dòng)過(guò)程(1)當(dāng)走到O點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F、A、C三點(diǎn)剛好共線(臨界位置)(2)在點(diǎn)O的右邊時(shí)，無(wú)法看到點(diǎn)C(3)在點(diǎn)O的左邊時(shí)，可以看到點(diǎn)C解：假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)O時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)F與兩棵樹的頂端點(diǎn)A，C恰在一條直線上∵AB⊥l，CD⊥l∴AB//CD∴△AFH相似△CFK∴FH/FK=AH/CK∵AB=8m，CD=12m，BD=5m，OF=1.6m∴FH/（FH+5）=（8-1.6）/（12-1.6）解得FH=8(m)由此可知，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時(shí)，她看不到右邊樹的頂端C設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷觀察、測(cè)量、畫圖、數(shù)學(xué)建模等活動(dòng)，獲得了解決不能直接測(cè)量物體的高度(或長(zhǎng)度)的實(shí)際問題的思路和一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的能力，從而提高學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際解決問題的能力四、課堂練習(xí)1.如圖，在△ABC中，DE//BC，DE分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E。若AD=4，DB=2，則DE:BC的值為（）A.2/3B.1/2C.3/4D.3/5設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算的能力如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB//CD，AB=2m，CD=5m，點(diǎn)P到CD的距離是3m，則點(diǎn)P到AB的距離是（）5/6B.6/7C.6/5D.10/3在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m，某一樓的影長(zhǎng)為60m，那么樓的高度是多少米?如圖，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB設(shè)計(jì)意圖：考查利用相似三角形的知識(shí)測(cè)量高度和河寬教師可以先處理補(bǔ)充練習(xí)，再處理教材練習(xí)，在教材的練習(xí)處理中，應(yīng)注意對(duì)仰角和左右對(duì)稱這兩個(gè)詞意義的解釋，最好讓學(xué)生先解釋，以便于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，及時(shí)糾正和解決五、課堂小結(jié)1.相似三角形的應(yīng)用主要有三個(gè)方面(1)測(cè)高(不能直接使用皮尺或刻度尺測(cè)量的)測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例’的原理解決(2)測(cè)距(不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離)(3)視線遮擋問題測(cè)量不能到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解數(shù)學(xué)建模思想:把生活中的實(shí)際問題通過(guò)建模的思想，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來(lái)解決一般步驟(1)根據(jù)題設(shè)中的已知量與未知量畫出數(shù)學(xué)示意圖(2)抽象出幾何位置關(guān)系(3)根據(jù)幾何圖形的知識(shí)解決實(shí)際問題設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，理解解決不能直接測(cè)量物體的高度(或長(zhǎng)度)的實(shí)際問題的思路和一般步驟教學(xué)反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)將前面所學(xué)相似三角形判定和性