高中數學第三章導數應用3.2.2最大值最小值問題課件7北師大版選修

第三章§2導數在實際問題中的應用2.2最大值、最小值問題(二)1.了解導數在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.問題導學題型探究學習目標知識點生活中的數學建模1.生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為

.2.利用導數解決優(yōu)化問題的實質是

.3.解決優(yōu)化問題的基本思路是：問題導學

新知探究點點落實上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的

過程.答案返回優(yōu)化問題求函數最值數學建模類型一面積、容積的最值問題例1

請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，則x應取何值？題型探究

重點難點個個擊破解析答案當且僅當x＝30－x，即x＝15時，等號成立，所以若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，則x＝15.(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30.解析答案反思與感悟1.這類問題一般用面積公式，體積公式等作等量關系，求解時應選取合理的邊長x作自變量，并利用題目中量與量之間的關系表示出其他有關邊長，這樣函數關系式就列出來了.2.這類問題中，函數的定義域一般是保證各邊(或線段)為正，建立x的不等式(組)求定義域.反思與感悟同步訓練1某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場.如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點M.點A為上半圓弧上一點，過點A作l的垂線，垂足為點B.市園林局計劃在△ABM內進行綠化.設△ABM的面積為S(單位：m2)，∠AON＝θ(單位：弧度).(1)將S表示為θ的函數；解析答案解如圖，BM＝AOsin

θ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcos

θ＝100＋100cosθ，(2)當綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積.解S′＝5000(2cos2

θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1).解析答案類型二利潤最大問題(1)求年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；解析答案(2)當年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.解析答案反思與感悟且當x∈(0,9)時，W′>0，當x∈(9,10)時，W′<0.綜合①②知：當x＝9時，W取得最大值38.6.故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.反思與感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數關系，常見的基本等量關系有：(1)利潤＝收入－成本；(2)利潤＝每件產品的利潤×銷售件數.反思與感悟

所以a＝2.解析答案(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解析答案從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)增加極大值42減少解析答案由上表可得，x＝4是函數f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點.所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.類型三費用(用材)最省問題例3

已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h(8<v≤v0).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v＝12km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？解析答案反思與感悟解設每小時的燃料費為y1，比例系數為k(k>0)，則y1＝kv2，當v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.令y′＝0，得v＝16，∴當v0≥16，即v＝16km/h時全程燃料費最省，ymin＝32000(元)；解析答案反思與感悟當v0<16，即v∈(8，v0]時，y′<0，即y在(8，v0]上為減函數，綜上，當v0≥16時，v＝16km/h全程燃料費最省，為32000元；反思與感悟1.用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數表達式，準確求導，結合實際作答.2.利用導數的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值.反思與感悟解析答案同步訓練：

3.方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為(

)A.4 B.6 C.4.5 D.8解析設底面邊長為x，高為h，A1.某產品的銷售收入y1(萬元)是產品x(千臺)的函數，y1＝17x2；生產總成本y2(萬元)也是x的函數，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，應生產(

)A.9千臺 B.8千臺 C.6千臺 D.3千臺1234解析答案解析構造利潤函數y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函數y在(0，＋∞)上唯一的極大值點，也是最大值點.C本課練習1234解析答案2.將一段長100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓形，當正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為________cm.1234解析答案解析設彎成圓形的一段鐵絲長為x，則另一段長為100－x，設正方形與圓形的面積之和為S，1234由于在(0,100)內，函數只有一個導數為0的點，問題中面積之和的最小值顯然存在，規(guī)律與方法1.利用導數解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f(x)；(2)求函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的數值的大小，最大(小)者為最大(小)值.2.正確理解題意，建立數學模型，利用導數求解是解答應用問題的主要思路.另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數解析式，給出函數定義域；(2)與實際問題相聯系；(3)必要時注意分類討論思想的應用.返回1234解析答案練習.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；1234解設商品降價x元，則多賣的商品數為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].1234(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解根據(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x[0