例析函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖像與性質(zhì)問題的解題策略

教材是教育專家組研究的結(jié)晶，在知識(shí)探究與習(xí)題解答中蘊(yùn)含著豐富的思想與一般的規(guī)律．在高考以及各級(jí)各類模擬考試中，有許多題目都來源于課題題的變式或改編．因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要能夠充分認(rèn)識(shí)教材承載的培養(yǎng)能力的重要功能，領(lǐng)會(huì)知識(shí)生成與發(fā)展脈絡(luò)，挖掘蘊(yùn)含其中的思想方法，學(xué)習(xí)中不僅知其然，更知其所以然．下面我們就以一道教材例題的求解，談?wù)勱P(guān)于三角函數(shù)y=sin（ωx+φ）圖像與性質(zhì)模擬試題的求解，供同學(xué)們參考．【問題】（人教版數(shù)學(xué)必修一第237頁例1）畫出函數(shù)y=2sin3x－π6的簡(jiǎn)圖．【解法一】先畫出函數(shù)y=sinx的圖像，再把正弦曲線向右平移π6個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sinx－π6的圖像；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3，得到函數(shù)y=sin3x－π6的圖像；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=2sin3x－π6的圖像（如圖1）．【解法二】先畫出函數(shù)y=sinx的圖像，再把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3，得到函數(shù)y=sin3x的圖像；然后再把圖像向右平移π18個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin3x－π6的圖像；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=2sin3x－π6的圖像（如圖2）．【解法三】（五點(diǎn)作圖法）：令X=3x－π6，則然后X分別取0，π2，π，3π2，2π．解得x的值分別為π18，2π9，7π18，5π9，13π18，列表，描點(diǎn)畫圖（如圖3）．X0π2π3π22πxπ182π97π185π913π18y020-20【點(diǎn)評(píng)】五點(diǎn)作圖法是作三角函數(shù)圖像的基本方法，它也能方便的解決含參的三角函數(shù)問題，是數(shù)形結(jié)合思想方法的集中體現(xiàn)．在y=sin（ωx+φ）（ω>0）中，令X=ωx+φ，當(dāng)X∈0，2π時(shí)，函數(shù)y=sinX圖像上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)0，0，π2，1，π，0，3π2，－1，2π，0，分別得出y=sin（ωx+φ）（ω>0）圖像上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)－φω，0，π2－φω，1，π－φω，0，3π2－φω，－1，2π－φω，0，解題時(shí)，同學(xué)們只要找到圖像上幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可以描繪出三角函數(shù)的簡(jiǎn)易圖像．通過研究圖像，問題就能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．這樣可以使復(fù)雜的三角問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維．有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合．一、求三角函數(shù)解析式例1.（2024江蘇十校聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的圖像如圖所示．則函數(shù)f（x）的解析式為．【解法一】（常規(guī)方法）：由圖可知A=1，T4=7π12－π3=π4，T=π=2πω，得ω=2.所以f（x）=sin2x+φ，又f7π12=f（x）=sin7π6+φ=－1，由于－π2<φ<π2，2π3<7π6+φ<5π3，所以7π6+φ=3π2，φ=π3，所以f（x）=sin2x+π3．【解法二】（五點(diǎn)作圖法）：由五點(diǎn)作圖法知，在一個(gè)周期內(nèi)，π3，0和7π12，－1看作五點(diǎn)作圖法的第3、4個(gè)點(diǎn)，即π3ω+φ=π，7π12ω+φ=3π2，解得ω=2，φ=π3.（特別說明：以上做法對(duì)于填空題和選擇題非常簡(jiǎn)單，但如果是解答題，即為π3ω+φ=π+2kπ，7π12ω+φ=3π2+2kπ，k∈Z，下同）例2.（2024山東青島）（單選）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋φ）ω>0，0<φ<π2的部分圖像如圖所示，則f（π）的值為（）A．32B．－12C．12D．－32【解法】由五點(diǎn)作圖法知，在一個(gè)周期內(nèi)，4π15，0看作五點(diǎn)作圖法的第3個(gè)點(diǎn)，0，32是這個(gè)周期內(nèi)π3，32點(diǎn)，即0·ω+φ=π3，4π15ω+φ=π，解得ω=52，φ=π3.所以f（x）=sin52x+π3，即f（π）=sin52π+π3=12，故選C．【點(diǎn)評(píng)】作為選擇題和填空題中的三角函數(shù)圖像問題，我們可以利用五點(diǎn)作圖法中的特殊點(diǎn)與圖像中點(diǎn)建立關(guān)系，進(jìn)而順利地解出ω和φ；如果作為解答題只要加上2kπ（k∈Z）即可．二、求解與單調(diào)性有關(guān)問題例3.（2024·河南·汝州模擬）（單選）已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω>0）在區(qū)間π2，π上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）A．12，1B．0，12C．12，54D．0，1【解法一】（五點(diǎn)作圖法）：由題意得，函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx=2sinωx+π4，由五點(diǎn)作圖法知，相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)依次為π4ω+2kπω，1，5π4ω+2kπω，－1，k∈Z，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間π2，π上單調(diào)遞減，則π4ω+2kπω≤π2且5π4ω+2kπω≤π，且T2≥π－π2，解得12+4k≤ω≤54+2k，k∈Z，且ω≤π，又ω>0，所以k=0，得12≤ω≤54．故選：C．【解法二】（整體法）：因?yàn)棣?≤x≤π，所以π2ω+π4≤ωx+π4≤πω+π4，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間π2，π上單調(diào)遞減，所以π2ω+π4，πω+π4π2+2kπ，3π2+2kπ，T2≥π－π2，即π2ω+π4≥π2+2kπ，πω+π4≤3π2+2kπ，且ω≤π，又ω>0，所以k=0，得12≤ω≤54．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】由于ω會(huì)影響三角函數(shù)的周期，單純從代數(shù)角度去研究單調(diào)性，需要先求出單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解；或轉(zhuǎn)化為使得某個(gè)等式或不等式恒（可以）成立，通過分離參數(shù)，求出解析式的范圍或最值，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．一般來說，運(yùn)算量都很大，并且太抽象．而如果結(jié)合五點(diǎn)作圖法來解決此類問題，計(jì)算小，容易理解．三、求解與最值有關(guān)問題例4.（2024·重慶模擬）已知函數(shù)f（x）=sinωx+π6（ω>0）在區(qū)間（0，2π）內(nèi)有唯一的最值，則ω的取值范圍是．【解法一】（整體法）：函數(shù)f（x）=sinωx+π6（ω>0），由于x∈（0，2π），所以π6<ωx+π6<2ωπ+π6，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像，以及f（x）在區(qū)間（0，2π）內(nèi)有且只有一個(gè)最值，所以π2<2ωπ+π6≤3π2且ω>0，所以16<ω≤23．故ω的取值范圍是16，23．【解法二】（五點(diǎn)作圖法）：令sinωx+π6=±1，得ωx+π6=π2+kπ，即x=π3ω+kπω（k∈Z），因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，2π）內(nèi)有且只有一個(gè)最值，所以π3ω<2π，π3ω+πω≥2π，得16<ω≤23.故ω的取值范圍是16，23．【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)y=sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）在某個(gè)區(qū)間上（a，b）有唯一最值，也就是在此區(qū)間上有唯一對(duì)稱軸，也是在此區(qū)間有唯一極值，并且有唯一最值的區(qū)間長度小于等于一個(gè)周期．四、求解與零點(diǎn)有關(guān)問題例5.（2024·江西·臨川）函數(shù)f（x）=sin（ωx－π6）（ω>0）在π2，3π2上沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．0，19B．0，1C．0，19∪13，79D．0，19∪79，1【解法一】（五點(diǎn)作圖法）：由五點(diǎn)作圖法知，3個(gè)零點(diǎn)依次是π6ω，0，7π6ω，0，13π6ω，0，且半個(gè)周期出現(xiàn)一個(gè)，所以使函數(shù)f（x）在π2，3π2上沒有零點(diǎn)，即π6ω+kπω≤π2，7π6ω+kπω≥3π2，（k∈Z）所以13+2k≤ω≤19+23k+1，k∈Z，即13+2k≤ω≤79+23k，k∈Z，因?yàn)?9+23k≥13+2k，所以k≤13，又因?yàn)棣?gt;0，所以79+23k>0，所以k>－76，所以－76<k≤13，因?yàn)閗∈Z，所以k=－1或k=0，當(dāng)k=－1時(shí)，－53≤ω≤19；當(dāng)k=0時(shí)，13≤ω≤79，又因?yàn)棣?gt;0，所以ω的取值范圍是：0，19∪13，79．故選：C．【解法二】（整體法）：因?yàn)樵趚∈π2，3π2，所以π2ω－π6≤ωx－π6≤3π2ω－π6，又函數(shù)f（x）在π2，3π2上沒有零點(diǎn)，即π2ω－π6，3π2ω－π6π2+2kπ，3π2+2kπ（k∈Z），得π2ω－π6≥kπ，3π2ω－π6≤kπ+π，所以13+2k≤ω≤19+23k+1，k∈Z，即13+2k≤ω≤79+23k，k∈Z，（同上）．【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的距離的大小對(duì)函數(shù)周期的影響，也是求三角函數(shù)周期和參數(shù)的重要思路，但求解過程中應(yīng)注意圖像的平衡位置發(fā)生變化時(shí)，即平衡位置不在x軸上時(shí)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離一定不再是半個(gè)周期．四、求解與對(duì)稱性有關(guān)問題例6．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx－12（a>0，x∈R）在0，π內(nèi)有且僅有三條對(duì)稱軸，則ω的取值范圍是（）A．23，76B．［76，53）C．53，136D．136，83【解法一】（五點(diǎn)作圖法）：由題意得，f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx－12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2ωx+π6，由五點(diǎn)作圖法知，我們只需要研究函數(shù)f（x）的以下4條對(duì)稱軸：x=π6ω，x=π6ω+π2ω，x=π6ω+πω，x=π6ω+3π2ω，函數(shù)f（x）在0，π內(nèi)有且僅有三條對(duì)稱軸，所以π6ω+2π2ω≤π，π6ω+3π2ω>π，解得ω∈［76，53），故選：B．【解法二】（整體法）：由題意得，f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx－12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2ωx+π6.當(dāng)x∈0，π時(shí)，2ωx+π6∈［π6，2ωπ+π6］，函數(shù)f（x）在0，π內(nèi)有且僅有三條對(duì)稱軸，則有2ωπ+π6∈［5π2，7π2），解得ω∈［76，53），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】先利用正余弦倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，解法一，是利用五點(diǎn)作圖法找出x軸右邊的四條對(duì)稱軸，前三條在區(qū)間中，第四條不在區(qū)間中得到不等式，進(jìn)而求出參數(shù)范圍；方法二是利用題中所給的自變量的范圍求得整體角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)以及題中條件，得到2ωπ+π6∈［5π2，7π2），進(jìn)而求得結(jié)果．五、求解與MN＝λMP相關(guān)問題【引例】已知函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0）的圖像與直線y＝t（0＜t＜A）連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次為M，N，P，若MN＝λMP（0＜λ＜1），探究m，A，λ的關(guān)系．解析：設(shè)點(diǎn)Mx0，t，則Px0+2πω，t.又因?yàn)镸N＝λMP，所以xN－x0=λxP－x0，即xN=xP+1－λx0，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為x0+xN2=λxP+2－λx02=λx0+2πω+2－λx02=λπω+x0，所以f（λπω+x0）=Asinωλπω+x0+φ=A，得λπ+ωx0+φ=π2+2kπ，即ωx0+φ=π2－λπ+2kπ（k∈Z），又點(diǎn)Mx0，t在函數(shù)f（x）的圖像上，所以Asinωx0+φ=t，即Asinπ2－λπ+2kπ=t，即cosλπ=tA．例7.（2024·江西·九江）（多選題）已知直線y＝t（0＜t＜1）與函數(shù)f（x）＝sinωx+π6（ω＞0）的圖像相交，A，B，C是從左到右的三個(gè)相鄰交點(diǎn)，設(shè)AB＝λAC，0＜λ＜12．則下列正確的是（）A．若f（x）在0，π2上無最值，則ω的最大值為23B．若λ＝13，則t=12C．t隨λ的增大而減大D．1λ-t＞2解析：對(duì)于A：因?yàn)閒（x）在0，π2上無最值，則f（x）在0，π2上單調(diào)，由五點(diǎn)作圖法可知，區(qū)間0，π2應(yīng)該在圖像相鄰得兩個(gè)最值之間，即0，π2π2－π6ω+kπω，3π2－π6ω+kπω（k∈Z），得0≥π2－π6ω+kπω，π2≤3π2－π6ω+kπω，解得k≤－13，ω≤83+2k，（k∈Z）.所以當(dāng)k=-1時(shí)，ω的最大值為23，故A正確；對(duì)于B：由上面引例知，cos13π=t，得t=12，故B正確；對(duì)于C：由上面引例知，t=cos（λπ）（0＜λ＜12），由余弦函數(shù)得圖像性質(zhì)可知，t隨λ的增大而減小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由上面引例知，t=cosλπ（0＜λ＜12），所以1λ－t=1λ－cosλπ，令g（x）=1x－cosπx（0＜x＜12），求導(dǎo)得g′（x）=－1x2+πsinπx，所以g″（x）=2x3+π2cosπx＞0在（0，12）上恒成立，即g′x=－1x2+πsinπx在區(qū)間（0，12）上單調(diào)遞增，又0＜x＜12，得0＜sinπx＜1，所以g′（x）＜－4+π＜0，所以g（x）=1x－cosπx在區(qū)間（0，12）上單調(diào)遞減，所以g（x）>g12=2，即1λ－t>2，故D正確；所以選ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題的的A選項(xiàng)可以采用兩種方法，即五點(diǎn)作圖法和整體法；其余三個(gè)選項(xiàng)主要利用引例這個(gè)結(jié)論，整體綜合性較強(qiáng)，難度較大．六、其它綜合問題例8.已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋φ），如圖A，B是直線y＝32與曲線y＝f（x）的兩個(gè)交點(diǎn)，f2π3＝0且|AB|＝π12，則f（2024π）=．解析：設(shè)Ax1，32，Bx2，32，由五點(diǎn)作圖法知，則ωx1+φ=π3，ωx2+φ=2π3，所以ωx2－ωx1=π3……①，又|AB|＝π12，所以x2－x1=π12②，由①②得ω=4，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）圖像過點(diǎn)2π3，0，得2π3×4+φ=2π+2kπ（k∈Z），解得φ=－2π3+2kπ（k∈Z），所以f（x）=sin4x－2π3+2kπ=sin4x－2π3，故f（2024π）=sin4×2024π－2π3=sin－2π3=－32，故答案為－32．【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)中的參數(shù)問題一般涉及零點(diǎn)、單調(diào)性、周期性、最值等相關(guān)性質(zhì)．從代數(shù)的角度來處理參數(shù)問題往往計(jì)算量大，且不易理解