高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間幾何體的折疊及多面體的問(wèn)題》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）

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）A．若，則B．若平面與平面的交線為，則AC//lC．三棱柱的外接球的表面積為D．當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)到平面的最大距離為1-2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．1-3、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））碳70是一種碳原子族，可高效殺滅癌細(xì)胞，它是由70個(gè)碳原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個(gè)面，則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（）．A．12 B．25 C．30 D．361-4、、（2022·湖北江岸·高三期末）如圖，該幾何體是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長(zhǎng)為2，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．題組二、空間幾何體的折疊問(wèn)題2-1、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）（多選題）如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，二面角大小為，直線與平面所成角為，則在折起過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得B．面積的最大值為C．當(dāng)為銳角時(shí)，存在某個(gè)位置，使得D．三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為2-2、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來(lái)，并將其拼接成一個(gè)無(wú)上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．2-3、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面平面D．該多面體的體積為2-4、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．在翻折過(guò)程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BMB．若，則在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNMC．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過(guò)程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為題組三、運(yùn)用空間向量解決空間幾何體的折疊問(wèn)題3-1、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3-2、（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.3-3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是邊上的高，以為折痕，將折至的位置，使得.(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.1、（2023·江蘇南京·校考一模）中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（

）A．144 B．72 C．36 D．242、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）如圖，菱形紙片中，，O為菱形的中心，將紙片沿對(duì)角線折起，使得二面角為，分別為的中點(diǎn)，則折紙后（

）A． B． C． D．03、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．4、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．5、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）（多選題）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長(zhǎng)為4的正四面體作勒洛四面體，如圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面截勒洛四面體所得截面的面積為B．記勒洛四面體上以C，D為球心的兩球球面交線為弧，則其長(zhǎng)度為C．該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4D．該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為6、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）（多選題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中提到底面為長(zhǎng)方形的屋狀的楔體（圖示的五面體．底面長(zhǎng)方形中，，上棱長(zhǎng)，且平面，高（即到平面的距離）為，是底面的中心，則（

）A．平面B．五面體的體積為5C．四邊形與四邊形的面積和為定值D．與的面積和的最小值為7、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）已知直三棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為，則__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面積為_(kāi)_________．8、（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考三模）如圖，平面五邊形中，△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．參考答案1、（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理16文16）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長(zhǎng)方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為．【答案】118．8【解析】該模型為長(zhǎng)方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，，該模型體積為：，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為：．2、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.3、（2020江蘇9）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是．【答案】【解析】記此六角螺帽毛坯的體積為，正六棱柱的體積為，內(nèi)孔的體積為正六棱柱的體積為，則，∴．4、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】.【解析】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)椋詡?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖椋?，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)椋?，所以根?jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：.5、【2019年新課標(biāo)2卷理科】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】

共26個(gè)面.

棱長(zhǎng)為.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長(zhǎng)為．題組一、幾何體的多邊形問(wèn)題1-1、（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若平面與平面的交線為，則AC//lC．三棱柱的外接球的表面積為D．當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】BD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，又因?yàn)槠矫妫遣灰欢ㄔ谄矫嫔希訟不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋云矫?，平面平面，所以，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中心，的中心，的中點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，所以C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，該幾何體的外接球即為三棱柱的外接球，的中點(diǎn)為該外接球的球心，該球心到平面的距離為，點(diǎn)到平面的最大距離為，所以D正確.故選：BD1-2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，求出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)，可知，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則平面.取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作，垂足為H，如圖所示，由題意得，，，，，∴，∴，又∵，∴，∴，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個(gè)羨除的外接球體積為.∵，面，面，∴面，即：點(diǎn)A到面的距離等于點(diǎn)B到面的距離，又∵，∴，∴這個(gè)羨除的體積為，∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為.故選：A.1-3、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））碳70是一種碳原子族，可高效殺滅癌細(xì)胞，它是由70個(gè)碳原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個(gè)面，則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（）．A．12 B．25 C．30 D．36【答案】B【解析】根據(jù)題意，頂點(diǎn)數(shù)就是碳原子數(shù)即為70，每個(gè)碳原子被3條棱長(zhǎng)共用，故棱長(zhǎng)數(shù)，由歐拉公式可得面數(shù)=2+棱長(zhǎng)數(shù)-頂點(diǎn)數(shù)，設(shè)正五邊形x個(gè)，正六邊形y個(gè)，則，，解得，，故正六邊形個(gè)數(shù)為25個(gè)，即六元環(huán)的個(gè)數(shù)為25個(gè)，故選：B1-4、、（2022·湖北江岸·高三期末）如圖，該幾何體是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長(zhǎng)為2，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，該幾何體的表面積分成兩部分，一部分是6個(gè)完全相同的正方形，另一部分是8個(gè)完全相同的等邊三角形6個(gè)完全相同的正方形的面積之和為：8個(gè)完全相同的等邊三角形的面積之和為：故該幾何體的表面積為：故選：B題組二、空間幾何體的折疊問(wèn)題2-1、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）（多選題）如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，二面角大小為，直線與平面所成角為，則在折起過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得B．面積的最大值為C．當(dāng)為銳角時(shí)，存在某個(gè)位置，使得D．三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又與不垂直，所以不存在某個(gè)位置，使得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，則是的平面角，即，是直線與平面所成角，即，所以，，故為定值，故當(dāng)為銳角時(shí)，不存在某個(gè)位置，使得，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，⊥平面，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，由勾股定理得，又，故點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，半徑為2，表面積為，D正確.故選：BD2-2、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來(lái)，并將其拼接成一個(gè)無(wú)上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出正四棱臺(tái)，作出輔助線，得到各邊長(zhǎng)，求出四棱臺(tái)的高，從而利用臺(tái)體體積公式求出體積.【詳解】由題知，該容器的容積就是正四棱臺(tái)的體積，如圖，連接正四棱臺(tái)上下底面的中心，，取上底面正方形一邊中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)下底面正方形一邊中點(diǎn)，連接，，，則，故四點(diǎn)共面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形為矩形，故，因?yàn)樵撜睦馀_(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，6，等腰梯形的斜高為4，所以，故，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該容器的容積是．故選：B.2-3、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面平面D．該多面體的體積為【答案】BCD【解析】由于長(zhǎng)、寬分別為，1，分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，所以該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確；，，，故A不正確；由于，所以，，可得平面，則三棱錐的體積為，故D正確；因?yàn)椋云矫?，又平面，可得平面平面，故C正確.故選：BCD2-4、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．在翻折過(guò)程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BMB．若，則在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNMC．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過(guò)程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，過(guò)作，交于，則無(wú)論點(diǎn)P在A′N上什么位置，都存在CP與BQ相交，折疊后為梯形BCQP，則CP不與平面A′BM平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)分別是的中點(diǎn)，若，則AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因?yàn)镸N⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)分別是的中點(diǎn)，若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則△AMN為正三角形，∠BMN＝120°，∠C＝60°，則BCNM四點(diǎn)共圓，圓心可設(shè)為點(diǎn)G，其半徑設(shè)為r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以點(diǎn)G即為點(diǎn)D，所以r＝3，二面角A′－MN－B的平面角即為∠A′ED＝120°，過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥DE，垂足為點(diǎn)H，EH＝，DH＝，A′H＝，，設(shè)外接球球心為，由，解得R2＝，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝61π，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)分別是的中點(diǎn)，設(shè)是四棱錐的高.S△AMN＝6λ6λ＝9λ2，S△ABC＝66＝9，所以S四邊形BCNM＝9（1－λ2），則VA′－BCNM＝9（1－λ2）h≤3（1－λ2）A′E＝3（1－λ2）3λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），可設(shè)f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），則＝27（－3λ2＋1），令＝0，解得λ＝，則函數(shù)f（λ）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，所以f（λ）max＝f（）＝6，則四棱錐A′－BCN體積的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD題組三、運(yùn)用空間向量解決空間幾何體的折疊問(wèn)題3-1、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，

四邊形為菱形，，，，，，平面，平面，平面，.（2），，，解得：；，，；在平面中，作，交于點(diǎn)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，，，，又，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為.3-2、（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.【答案】(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)(2)【詳解】（1）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，證明如下：如圖，在取點(diǎn)，連接，,使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（2）如圖，取的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)OE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又，則，由題意，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)O且垂直AE的平面上，故設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，故，則，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，記銳二面角的平面角為，所以，又，則，所以銳二面角的大小為.3-3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是邊上的高，以為折痕，將折至的位置，使得.(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先證明出線面垂直，得到，進(jìn)而證明出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的余弦值，進(jìn)而求出正弦值.【詳解】（1）證明：∵是邊上的高，∴，∵，平面，平面，∵平面，,又平面，∴平面；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，垂直ADB平面為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，故，解得：，令，得：，則，，解得：，令，則，故，設(shè)二面角平面角為，顯然為銳角，，.1、（2023·江蘇南京·校考一模）中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（

）A．144 B．72 C．36 D．24【答案】B【分析】利用正六邊形的性質(zhì)求出正六棱柱的底面邊長(zhǎng)，再根據(jù)棱柱的體積公式求解即可.【詳解】如圖，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°，按虛線處折成高為的正六棱柱，即，所以，可得正六棱柱底邊邊長(zhǎng)，則正六棱柱的底面積為所以正六棱柱的體積.故選：B2、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）如圖，菱形紙片中，，O為菱形的中心，將紙片沿對(duì)角線折起，使得二面角為，分別為的中點(diǎn)，則折紙后（

）A． B． C． D．0【答案】A【詳解】如圖，連接，則，故即為二面角得平面角，即，設(shè)的中點(diǎn)為M，連接，則,設(shè)菱形紙片中的邊長(zhǎng)為2，因?yàn)椋瑒t為正三角形，則,故為正三角形，故,又，平面，則平面,平面，故，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以,又，故,故在中，，故，故選：A3、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，由邊長(zhǎng)為2，可得的高，，則其表面積為.體積為.此正八面體的表面積與體積之比為.故選：D.4、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖所示，易知三棱錐D-ABC的外接球球心為AC的中點(diǎn)O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，計(jì)算可得BC=CD=BD=，設(shè)球心到平面的距離為，則.故選：A5、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）（多選題）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長(zhǎng)為4的正四面體作勒洛四面體，如圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面截勒洛四面體所得截面的面積為B．記勒洛四面體上以C，D為球心的兩球球面交線為弧，則其長(zhǎng)度為C．該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4D．該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】AD【詳解】對(duì)于A，平面截勒洛四面體所得截面如圖甲，它的面積為三個(gè)半徑為4，圓心角為的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形的面積；即，故A正確；對(duì)于B，如圖乙，取中點(diǎn)，在中，，，記該勒洛四面體上以，為球心的兩球交線為弧，則該弧是以的中點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓弧，設(shè)圓心角為，則，可知，所以弧長(zhǎng)不等于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖丙，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，則根據(jù)圖形的對(duì)稱性，四點(diǎn)共線且過(guò)正四面體的中心，則，，，，即勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離可能大于4，最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖乙，其中點(diǎn)為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，由對(duì)稱性可知為該球的球心，內(nèi)半徑為，連接，易知三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體的外接球半徑為，如圖丁，則由題意得：正四面體的高，，，則，解得：，所以，，內(nèi)半徑，故D正確.故選：AD.6、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）（多選題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中提到底面為長(zhǎng)方形的屋狀的楔體（圖示的五面體．底面長(zhǎng)方形中，，上棱長(zhǎng)，且平面，高（即到平面的距離）為，是底面的中心，則（

）A．平面B．五面體的體積為5C．四邊形與四邊形的面積和為定值D．與的面積和的最小值為【答案】ABD【詳解】取BC的中點(diǎn)G，連