2019屆浙江專版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線與方程10.2雙曲線及其性質(zhì)講義

§10.2雙曲線及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.雙曲線的基本知識(shí)知識(shí)清單2.(1)等軸雙曲線:實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)等軸雙曲線?離心率e=

?兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系).3.雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的共軛雙曲線的方程為

-

=1,它們有共同的漸近線y=±

x,它們的離心率e1、e2滿足的關(guān)系式為

+

=1.考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)1.雙基表標(biāo)準(zhǔn)方程?-?=1(a>0,b>0)?-?=1(a>0,b>0)

范圍|x|≥a|y|≥a焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)頂點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱實(shí)、虛軸長實(shí)軸長為①2a

,虛軸長為②2b

離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比e=?漸近線方程③

y=±

x

④

y=±

x

2.點(diǎn)P(x0,y0)和雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的關(guān)系(1)P在雙曲線內(nèi)?⑤

-

>1

(含焦點(diǎn));(2)P在雙曲線上?⑥

-

=1

;(3)P在雙曲線外?⑦

-

<1

.3.焦點(diǎn)三角形:雙曲線上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2稱作焦點(diǎn)三

角形,如圖,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ.

(1)cosθ=1-

;(2)

=

r1r2sinθ=

·b2=

=c|y0|.4.AB為雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的弦.設(shè)直線AB的斜率存在,為k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點(diǎn)M(x0,y0).(1)弦長l=|x1-x2|

=|y1-y2|

(k≠0);(2)k=

;(3)直線AB的方程:y-y0=

(x-x0);(4)線段AB的垂直平分線方程:y-y0=-

(x-x0).5.與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)有共同漸近線的雙曲線方程為⑧

-

=k(k≠0)

.6.以直線

±

=0(a>0,b>0)為漸近線的雙曲線方程為⑨

-

=k(k≠0)

.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法1.定義法:由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線,由雙曲線定義確定2a,

進(jìn)而確定b,再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法

方法技巧方法1例1

(2017課標(biāo)全國Ⅲ理,5,5分)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=

x,且與橢圓

+

=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為

()A.

-

=1

B.

-

=1

C.

-

=1

D.

-

=1B解析本題考查求解雙曲線的方程.由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為

-

=k(k>0),即

-

=1,∵雙曲線與橢圓

+

=1有公共焦點(diǎn),∴4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為

-

=1.故選B.

一題多解∵橢圓

+

=1的焦點(diǎn)為(±3,0),雙曲線與橢圓

+

=1有公共焦點(diǎn),∴a2+b2=(±3)2=9①,∵雙曲線的一條漸近線為y=

x,∴

=

②,聯(lián)立①②可解得a2=4,b2=5.∴雙曲線C的方程為

-

=1.雙曲線的幾何性質(zhì)的解題策略雙曲線的幾何性質(zhì)包括:范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等.常

考內(nèi)容是離心率、漸近線等,解決此類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造關(guān)于a,b,c的

等式或不等式.例2

(2017浙江寧波期末,8)過雙曲線x2-

=1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l,若l與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B,C,且2

=

,則此雙曲線的離心率是

()A.

B.

C.

D.

方法2C解題導(dǎo)引

求直線與雙曲線兩漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)→利用向量關(guān)系求得b的值→結(jié)論解析直線l的方程是y=x+1,與漸近線y=-bx的交點(diǎn)為B

,與漸近線y=bx的交點(diǎn)為C