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文檔簡(jiǎn)介
2.2.2反證法第二章
§2.2直接證明與間接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程,會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)反證法王戎小時(shí)候,愛(ài)和小朋友在路上玩耍.一天,他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng),等到小朋友們摘了李子一嘗,原來(lái)是苦的!他們都問(wèn)王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎說(shuō):“假如李子不苦的話,早被路人摘光了,而這樹(shù)上卻結(jié)滿了李子,所以李子一定是苦的.”思考本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想?答案
運(yùn)用了反證法思想.梳理
(1)定義:假設(shè)原命題
,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明
,從而證明了
,這樣的證明方法叫做反證法.(2)反證法常見(jiàn)的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個(gè)矛盾可以是與
矛盾,或與
矛盾,或與
矛盾等.不成立假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立已知條件假設(shè)定義、公理、定理、事實(shí)1.反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法.(
)2.反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理.(
)3.反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.(
)[思考辨析判斷正誤]√√×題型探究類型一用反證法證明否定性命題證明例1已知a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求證:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.證明
假設(shè)a2+b2+c2+d2+ab+cd=1.因?yàn)閍d-bc=1,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0,即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0.所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0,則a=b=c=d=0,這與已知條件ad-bc=1矛盾,故假設(shè)不成立.所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.反思與感悟
(1)用反證法證明否定性命題的適用類型:結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題,此類問(wèn)題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法.(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟證明∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,
②∴a=c,從而a=b=c.這與已知a,b,c不成等差數(shù)列相矛盾,類型二用反證法證明“至多、至少”類問(wèn)題證明例2
a,b,c∈(0,2),求證:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.證明
假設(shè)(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.因?yàn)閍,b,c∈(0,2),所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.證明引申探究
已知a,b,c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于∵a,b,c都是小于1的正數(shù),∴1-a,1-b,1-c都是正數(shù).反思與感悟應(yīng)用反證法常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí),直接證明不易入手且討論較復(fù)雜.這時(shí),可用反證法證明,證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如:結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n-1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n+1個(gè)p且q綈p或綈q證明跟蹤訓(xùn)練2已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).證明
假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,且Δ3=4a2-4bc≤0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0,所以a=b=c.這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而命題得證.類型三用反證法證明唯一性命題證明例3求證:方程2x=3有且只有一個(gè)根.證明
∵2x=3,∴x=log23.這說(shuō)明方程2x=3有根.下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的.假設(shè)方程2x=3至少有兩個(gè)根b1,b2(b1≠b2),則
=3,=3,兩式相除得
=1,∴b1-b2=0,則b1=b2,這與b1≠b2矛盾.∴假設(shè)不成立,從而原命題得證.反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路:證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題,需要證明兩個(gè)命題,即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí),可先證“存在性”,由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾,因此可用反證法證其唯一性.跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),求證:方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至多有一個(gè)實(shí)根.證明
假設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有兩個(gè)實(shí)根,設(shè)α,β為其中的兩個(gè)實(shí)根.因?yàn)棣痢佴?/p>
,不妨設(shè)α<β,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),所以f(α)<f(β).這與假設(shè)f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至多有一個(gè)實(shí)根.證明達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.證明“在△ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”,第一步應(yīng)假設(shè)A.三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角B.三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角C.三角形中沒(méi)有直角或鈍角D.三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角12345答案√123452.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么直線c與b的位置關(guān)系為A.一定是異面直線 B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線解析
假設(shè)c∥b,而由c∥a,可得a∥b,這與a,b異面矛盾,故c與b不可能是平行直線.解析答案√3.用反證法證明“在三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”,應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中A.有一個(gè)內(nèi)角小于60° B.每一個(gè)內(nèi)角都小于60°C.有一個(gè)內(nèi)角大于60° D.每一個(gè)內(nèi)角都大于60°√12345答案4.用反證法證明“在同一平面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b”時(shí),應(yīng)假設(shè)A.a不垂直于c
B.a,b都不垂直于cC.a⊥b
D.a與b相交12345√答案證明12345證明
假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則由判別式都小于零,12345用
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