2019屆浙江專版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.4數(shù)列求和數(shù)列的綜合應(yīng)用講義

§6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用高考數(shù)學(xué)考點一數(shù)列的求和1.{an}是等差數(shù)列?{

}(c>0,c≠1)是①等比數(shù)列

.2.{an}是②正項等比數(shù)列

?{logcan}(c>0,c≠1)是等差數(shù)列.3.{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列?{an}是③各項均不為零的常數(shù)列

.4.等差數(shù)列的前n項和:Sn=④

=⑤

na1+

d

.該公式

的推導(dǎo)方法是倒序相加法.5.等比數(shù)列的前n項和Sn=

該公式的推導(dǎo)方法是錯位相減法.知識清單6.數(shù)列求和的常見方法(1)分組求和法:把一個數(shù)列分成兩個或幾個可以直接求和的數(shù)列.(2)裂項相消法:有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項的差的形式,相加

過程中消去中間一些項,只剩有限項再求和.(3)錯位相減法:適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成

的數(shù)列求和,式子整體乘以等比數(shù)列的公比,然后與原式錯位相減.(4)倒序相加法:適用于首尾相加為定值的數(shù)列.7.常見的裂項公式(1)

=⑨

-

;(2)

=⑩

·

;(3)

=

-

;(4)

=

-

.考點二數(shù)列的綜合應(yīng)用1.數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個固定量,那么該模型是等差

模型,增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù),那么該模

型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.2.在解決數(shù)列和不等式的有關(guān)問題時,常利用不等式的適當(dāng)放縮來解答

或證明.(1)對

的放縮,根據(jù)不同的要求,大致有三種情況:

<

=

-

(n≥2);

<

=

(n≥2);

<

=2

(n≥1).(2)對

的放縮,根據(jù)不同的要求,大致有兩種情況:

>

=

-

;

<

=

-

(n≥1).數(shù)列求和的解題策略數(shù)列求和是高考中的難點,是必考內(nèi)容.一般分為四類:公式法求和、錯

位相減法求和、倒序相加法求和與裂項相消法求和.(1)公式法求和要

注意分組求和方法的應(yīng)用;(2)錯位相減法求和的題目,其類型特征比較

明顯,關(guān)鍵是注意書寫步驟和最終結(jié)果的化簡;(3)倒序相加法求和的特

征是首尾相加為定值;(4)裂項相消法求和一般與不等式相聯(lián)系,這類問

題要注意對常見放縮及裂項公式的理解和記憶.例1

(2017浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟測試,22)已知數(shù)列{an}滿

足a1=a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求證:{an+1+2an}是等比數(shù)列;(2)設(shè)nan+3nbn=n·3n,且{|bn|}的前n項和為Tn,n∈N*,證明:Tn<6.方法技巧方法1解題導(dǎo)引

(1)在等式兩邊同時加上2an→利用等比數(shù)列定義得結(jié)論(2)用“構(gòu)造新數(shù)列法”求得an→用“錯位相減法”求和→用放縮法得

結(jié)論證明(1)由an+1=an+6an-1(n≥2),得an+1+2an=3(an+2an-1)(n≥2),∵a1=a2=5,∴

a2+2a1=15,故數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項,3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得an+1+2an=5·3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n),又a1-3=2,∴an-3n=2(-2)n-1,故an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n,∴bn=

.故Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=

+2×

+3×

+…+n

,

Tn=

+2×

+3×

+…+n

,兩式相減,得

Tn=

+

+

+…+

-n

=

-n

=

-n

,∴Tn=6

-3n

,∴Tn<6.2評析

本題考查等比數(shù)列的概念和性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式、前n項

和公式,利用錯位相減法求和,不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查推理運算能

力.數(shù)列綜合應(yīng)用的解題策略數(shù)列與不等式綜合是高考的一個熱點,這類問題把數(shù)列知識與不等式的

內(nèi)容整合在一起,形成了證明不等式、求不等式中的參數(shù)取值范圍、求

數(shù)列中的最大(小)項、比較數(shù)列中項的大小等問題.而數(shù)列的條件可能

是等差數(shù)列、等比數(shù)列,甚至是一個遞推數(shù)列等,求解方法既要用到不

等式知識(如比較法、放縮法、基本不等式法等),又要用到數(shù)列的基礎(chǔ)

知識,因此,對考查邏輯推理、運算求解等理性思維能力都是很好的素

材.例2

(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,22)已知正項數(shù)列{an}滿足a1=3,

=an+2,n∈N*.求證:(1)數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;方法2(2)|an+1-2|<

|an-2|,n∈N*;(3)|a1-2|+2|a2-2|+3|a3-2|+…+n|an-2|<

,n∈N*.解題導(dǎo)引

(1)構(gòu)造另一個等式,兩式相減→可得an+2-an+1與an+1-an同號,進而可得結(jié)論(2)利用an+1-2與an-2同號得an>2→利用不等式性質(zhì)得結(jié)論(3)利用累積法把數(shù)列{|an-2|}放縮成等比數(shù)列→利用“錯位相減法”求和→利用不等式性質(zhì)得結(jié)論

證明(1)由

=an+2,得

=an+1+2,兩式相減,得

-

=an+1-an,即(an+2-an+1)(an+2+an+1)=an+1-an,因為an>0,所以an+2+an+1>0,所以an+2-an+1與an+1-an同號.又a2-a1=

-3<0,所以an+1-an<0,即an+1<an,故數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.(2)由

=an+2,得

-4=an-2,即(an+1+2)(an+1-2)=an-2,所以|an+1-2|=

,由(an+1+2)(an+1-2)=an-2,知an+1-2與an-2同號,由a1-2=3-2>0,知an-2>0,即an>2,故an+1+2>4.所以

<

,所以|an+1-2|<

|an-2|,n∈N*.(3)由(2)知,n≥2時,有|an-2|=|a1-2|×

×

×…×

<

|a1-2|=

,∴n≥2時,有|a1-2|+2|a2-2|+3|a3-2|+…+n|an-2|<1+

+

+…+

,令Sn=1+

+

+…+

,則

Sn=

+

+

+…+

,∴

Sn=1+

+

+

+…+

-

=

-

=

-

-

<

,所以Sn<

,故|a1-2|+2|a2-2|+3|a