2024-2025學(xué)年山東省滕州市高三上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省滕州市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，集合，則集合（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)方程解的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．已知非零向量，若向量在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．2 D．44．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的母線與底面所成角為，其內(nèi)切球（球與圓錐底面及側(cè)面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若時(shí)，取極值0，則ab的值為（

）A．3 B．18 C．3或18 D．不存在8．已知點(diǎn)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件：，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對稱中心C．若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為11．如圖，在直三棱柱中，，Q是線段的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．直線與所成角的正切值的最小值是C．在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個(gè)表面積為的球D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為．13．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為．14．在三棱錐中，與中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為中點(diǎn)．若在上滿足，在上滿足，平面交于點(diǎn)，且，則．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，已知在正三棱柱中，，且點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).

(1)過點(diǎn)作三棱柱截面交于點(diǎn)，求線段長度；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.16．的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，，求的面積；(2)若角為鈍角，求的取值范圍．17．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．18．已知數(shù)列滿足，公差不為0的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)求和的通項(xiàng)公式．(3)在與之間從的第一項(xiàng)起依次插入中的項(xiàng)，構(gòu)成新數(shù)列，求中前60項(xiàng)的和．19．設(shè)是定義域?yàn)榍覉D象連續(xù)不斷的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為“山峰函數(shù)”，為“峰點(diǎn)”，稱為的一個(gè)“峰值區(qū)間”．(1)判斷是否是“山峰函數(shù)”？若是，請指出它的一個(gè)峰值區(qū)間；若不是，請說明理由；(2)已知是山峰函數(shù)，且是它的一個(gè)峰值區(qū)間，求的取值范圍；(3)設(shè)，函數(shù)．設(shè)函數(shù)是山峰函數(shù)，是它的一個(gè)峰值區(qū)間，并記的最大值為．若，且，，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.2．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，即，所以，解得或或，?組解，即復(fù)數(shù)方程解的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄?，，所以，，，所以向量在方向上的投影向量為，所以，解?故選：A4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以，故選：A.5．【正確答案】C【詳解】作出軸截面如圖所示，為內(nèi)切球的圓心，為圓錐底面圓的圓心，為切點(diǎn)，由已知條件可知，內(nèi)切球的表面積等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圓錐的體積.故選：C6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則恒成立，所以在上恒成立，則；當(dāng)時(shí)，，則恒成立，所以在上恒成立，所以；又，綜上可得的取值范圍是.故選：B.7．【正確答案】B【詳解】由，得，因?yàn)闀r(shí)，取得極值0，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在在處取不到極值；經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)在處取得極值0，滿足題意；所以，所以.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對稱點(diǎn)N必在上，因此共線，，，設(shè)，則，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化簡得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故選：C．9．【正確答案】ABC【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為，若，則，又由，必有，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，即，必有，，則必有，依次分析選項(xiàng)：對于A，數(shù)列各項(xiàng)均為正值，則，必有，故A正確；對于B，，故B正確；對于C：根據(jù)，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC.10．【正確答案】ACD【詳解】由題意可得，故A正確；，所以不是圖象的一個(gè)對稱中心，故B錯(cuò)誤；令，由得，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為直線與曲線，有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得，故C正確；設(shè)f'x為則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：ACD．11．【正確答案】ABD【詳解】對于A選項(xiàng)，如下圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)?，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，為定值，又因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)直線與所成角為，所以，，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，取最小值，取最大值，此時(shí)，，，所以，直線與所成角的正切值的最小值是，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，的內(nèi)切圓半徑為，由于直徑，所以在這個(gè)直三棱柱內(nèi)部可以放入一個(gè)最大半徑為的球，而表面積為的球，其半徑為：，因?yàn)椋赃@個(gè)直三棱柱內(nèi)部不可以放入半徑為的球，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，，，所以，，則，因?yàn)槠矫?，，則平面，因?yàn)槠矫?，則，將平面和平面延展為一個(gè)平面，如下圖所示：在中，，，，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，故的最小值為，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為.故13．【正確答案】4【詳解】圓的圓心為，半徑，直線，即，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，又，所以當(dāng)時(shí)，弦的長度取得最小值，即，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以.

故4.14．【正確答案】【詳解】由題意得，，∵，，，∴，，，∴，∵點(diǎn)四點(diǎn)共面，∴，解得.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由正三棱柱中，，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，可得，如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則四邊形為所求截面，過點(diǎn)作的平行線交于，所以因此，所以.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，

以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椤鳛榈冗吶切危傻?，又因?yàn)槠矫妫移矫妫?，因?yàn)?，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，由正弦定理得，又因?yàn)?，則有，因，，則，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，則有，即得，故的面積．（2）由正弦定理，可得，且，代入化簡得：．因?yàn)殁g角，故由，可得，則，，即，故的取值范圍是17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖：若直線的斜率不存在，則可取，因?yàn)?，可取，此時(shí).若直線的斜率為0，同理可得.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則，用代替，得，則.所以.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，，所以，所?綜上，18．【正確答案】(1)證明見解析(2)，(3)【詳解】（1）數(shù)列中，，則，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為；（2）由（1）知，，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，即，則有，又，即，于是，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（3）依題意，數(shù)列中，前有數(shù)列中的前項(xiàng)，有數(shù)列中的前項(xiàng)，因此數(shù)列中，前共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的前項(xiàng)中有數(shù)列中的前項(xiàng)，有數(shù)列中的前項(xiàng)，所以.19．【正確答案】(1)不是“山峰函數(shù)”，理由見解析(2)(3)【詳解】（1）由，求導(dǎo)可得，；令，則有，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以不是“山峰函數(shù)”．（2）由題意可知：函數(shù)在區(qū)間上先增后減，且存在峰點(diǎn)，由于，又當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，設(shè)，，所以，則在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)恒成立：由于當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，故m的取值范圍是．（3）由題意得：．若恒成立