2024-2025學(xué)年福建省泉州市高中畢業(yè)班適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市高中畢業(yè)班適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知集合，，則

．A. B. C. D.2、若，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）．A. B. C. D.3、已知向量，，若，則（

）．A.B.C.D.，4、橢圓，其右焦點為，若直線過點與交于，，則最小值為（

）．A.B.C.D.5、已知一圓臺內(nèi)切球與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑為，，若，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）．A.B.C.D.6、函數(shù)的零點數(shù)量至多為（

）．A. B. C. D.7、如圖是函數(shù)的部分圖像，記的導(dǎo)數(shù)為，則下列選項中值最大的是（

）．A. B. C. D.8、已知，，則的最大值為（

）．A. B. C. D.二、多選題本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。9、已知方程，其中．下列命題為真命題的是（

）．A.可以是圓的方程B.可以是拋物線的方程C.可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程D.可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程10、某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，，設(shè)擊中偶數(shù)次為事件，則（

）．A.當(dāng)時，取得最大值B.當(dāng)時，取得最小值C.當(dāng)，隨的增大而減小D.當(dāng)，隨的增大而減小11、已知函數(shù)有兩個不同的零點，，，則（

）．A.B.C.D.三、填空題本大題共3小題，每小題5分，共15分。將答案填在答題卡的相應(yīng)位置。12、已知單位向量，滿足，則的值為

．13、圍棋在中國古時稱“弈”，是一種策略性二人棋類游戲．圍棋棋盤由縱橫各條等距離、垂直交叉的平行線構(gòu)成．則圍棋棋盤上的矩形數(shù)量為

．（用數(shù)字作答）14、要使正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小正值為

．四、解答題本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15、在中，角，，所對的邊分別為，，，已知且，，均為整數(shù)．(1)證明：．(2)設(shè)的中點為，求的余弦值．16、為更好地發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考試題采用了多選題這一新題型，多選題的評分規(guī)則如下：對于多選題，每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，滿分分．全部選對得分，有錯選或全不選的得分．正確答案為兩項時，選對個得分；正確答案為三項時，選對個得分，選對個得分．某數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學(xué)生李華完全不會，此時他有三種答題方案：Ⅰ．隨機選一個選項；Ⅱ．隨機選兩個選項；Ⅲ．隨機選三個選項．(1)若，且學(xué)生李華選擇方案Ⅰ，求本題得分的數(shù)學(xué)期望．(2)以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，的取值在什么范圍內(nèi)唯獨選擇方案Ⅰ最好?17、已知拋物線，點在的準(zhǔn)線上，過焦點的直線與相交于，兩點，且為正三角形．(1)求的面積．(2)取平面外一點使得，設(shè)，為，的中點，若，求二面角的余弦值．18、已知數(shù)列滿足遞推式，且，數(shù)列的前項和，數(shù)列的通項公式為．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)求數(shù)列的前項和．(3)若數(shù)列滿足：，證明，．19、懸鏈線在建筑領(lǐng)域有很多應(yīng)用．當(dāng)懸鏈線自然下垂時，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之其倒置時也是一種穩(wěn)定狀態(tài)．鏈函數(shù)是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，正鏈函數(shù)表達式為，相應(yīng)的反鏈函數(shù)表達式為．(1)證明：曲線是軸對稱圖形．(2)若直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，設(shè)這三個交點的橫坐標(biāo)分別為，，，證明：．(3)已知函數(shù)，其中，．若對任意的恒成立，求的最大值．

1、【正確答案】D;易得，則，故正確答案為．2、【正確答案】B;由可知或，則復(fù)數(shù)的虛部為，故正確答案為．3、【正確答案】D;由可知，即，該式對于任意，均成立，故正確答案為．4、【正確答案】B;要使最小，即為和焦點在的軸垂直的直線截得的線段長．右焦點為，直線為，聯(lián)立此直線和橢圓解得交點的縱坐標(biāo)為，故最小值為．所以正確答案為．5、【正確答案】A;如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此，從而，故．設(shè)圓臺的體積為，球的體積為，則．故正確答案為．6、【正確答案】C;要知的零點可轉(zhuǎn)化為與圖像的交點．令取極值可作出下圖，易知至多有個交點，即的零點數(shù)量至多為，故正確答案為．7、【正確答案】A;由圖可知，，為負數(shù)，，為正數(shù)，故不選，．設(shè)在處的點為，顯然的斜率大于，則，可轉(zhuǎn)化為，所以的值最大，故正確答案為．8、【正確答案】A;；，即是方程的一個實根．令，，顯然，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，即．9、【正確答案】A;B;C;因為方程，其中，所以當(dāng)時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；當(dāng)時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；當(dāng)時，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，，，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；故正確答案為．10、【正確答案】A;D;對于，當(dāng)時，取得最大值，故正確，錯誤；對于∵，∴，，∴，當(dāng)時，，為正負交替的擺動數(shù)列，所以不會隨著的增大而減小，故錯誤；當(dāng)，，為正項且單調(diào)遞減的數(shù)列，所以隨著的增大而減小，故正確；故正確答案為．11、【正確答案】B;C;D;由函數(shù)有兩個不同零點，，轉(zhuǎn)化為有兩個交點，，構(gòu)造函數(shù)，，則，故，所以在單調(diào)遞增，而，可得圖象如圖所示故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，對于，，所以，所以，故正確；對于，由可知，，因此，故正確；對于③，因為，所以，故，，所以，則，構(gòu)造函數(shù)，則，而，所以，所以，因為，所以，令，構(gòu)造，顯然單調(diào)遞增，且，所以，所以，故正確；對于，由可知，，所以，令，，顯然單調(diào)遞增，且，所以，故錯誤；故正確答案為．12、【正確答案】或;記，的夾角為，，均為單位向量，則，由，即，兩邊平方，得，即，轉(zhuǎn)化為，，當(dāng)時，，不符合題意，所以，又，則，故答案為或．13、【正確答案】;矩形是在同一平面內(nèi)，由兩組平行線段組成，且每兩相交線段均垂直的閉合圖形．由題，在每條線中選擇條即可，即，故答案為．14、【正確答案】;因為四邊形為正方形，所以，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證得，因為，，平面，所以平面，同理可證得平面，因為為等邊三角形，，所以過的中心，設(shè)的中心為點，連接，，，則，同理也過等邊的中心，若正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，只需要和旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，因此至少旋轉(zhuǎn)．故．15、【正確答案】(1)證明見解析;(2);(1)在中，，，均為整數(shù)，，∴，，，且，∴最?。?dāng)，，矛盾，∴，則，且為整數(shù)，∴，，∴，．又，即．由，均為整數(shù)，且，，由，可得，又因為，可得，，故．∴．(2)由（1）知，，，，，則，，，．由正弦定理，可得，，又的中點為，．在中，由余弦定理，得，∴，則，∴．16、【正確答案】(1);(2);(1)記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則可以取，，，，，所以的分布列為則數(shù)學(xué)期望．(2)記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則，，，所以；記為“從四個選項中隨機選擇兩個選項的得分”，則，，，所以；記為“從四個選項中隨機選擇三個選項的得分”，則，，所以．要使唯獨選擇方案Ⅰ最好，則，解得：，故的取值范圍為．17、【正確答案】(1);(2);(1)由已知得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，，弦的中點，如圖所示，聯(lián)立消去并整理得，則，，所以，所以，，即，所以．為等邊三角形，則，則設(shè)直線的方程為，即，所以點，又，所以，解得，所以．又故．(2)由題為正三棱錐，即，，由（1）知，則取的中點，連接，，∴，，又，平面，平面，∴平面，∴，∵，，分別為，的中點，∴，又，平面，平面，∴平面，因此，，又正三棱錐各側(cè)面三角形都全等，所以，即，，兩兩垂直，故可將補成如圖所示的正方體，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖顯然，面，故可取面一法向量，又為的中點，則，且設(shè)平面的法向量，即取，則所以二面角的余弦值．18、【正確答案】(1);(2);(3)證明見解析;(1)由題可知：，將化為，可得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項公式為由題，，則，兩式相減可得，即，整理得，所以；令，可得，即，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，可得：①；當(dāng)為奇數(shù)時，可得：，②；結(jié)合①②可得：，則，且滿足上式，綜上所述，．(2)令，則，故即故則所以．(3)由題，數(shù)列滿足是，即則，所以兩式相減得當(dāng)時，，所以．19、【正確答案】(1)見解析;(2)見解析;(3);(1)，令，則所以為偶函數(shù)，故曲線是軸對稱圖形，且對稱軸為(2)令，得，當(dāng)，