2024-2025學(xué)年福建省福州市高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={x|?1≤x≤1}，B={x|x∈A}，則?A.[0,1] B.[?1,0) C.[?1,0] D.(0,1]2.若z=1+i，則|z2?A.2 B.3 C.10 3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則tan(α+π4A.13 B.?13 C.34.設(shè)甲：x∈(0,1)，乙：x13<xA.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=2，S11=66A.7 B.8 C.9 D.106.若直線y=3ex為函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象的一條切線，則a=A.e B.e3 C.3e D.7.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別F1，F(xiàn)2.A是C上的一點(diǎn)(在第一象限)，直線AFA.305 B.32 C.8.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)，且f(?π3)=0，則滿足f(x)在區(qū)間[0,π6]A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.在正方體ABCD?A1B1A.直線AC與B1D1所成的角為90° B.直線AC與BC1所成的角為60°

C.直線BD與平面ABC1D10.已知O為△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，滿足OB?OC=0，|OC|=2|OBA.|OA|=1 B.cos∠AOB=?35

C.△ABC11.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作拋物線C的切線交y軸于點(diǎn)M，交l于點(diǎn)N，過(guò)A作直線AP⊥l，垂足為P，則下列說(shuō)法正確的是A.若△AFP為等邊三角形，則|AF|=3 B.AN⊥PF

C.P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線 D.△AFN的面積的最小值為8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+2)=2，則f(1)=

.13.已知a>b>0，a+1a=b+1b，則114.已知三棱錐S?ABC的各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球O的球面上，AB=AC，SA=2，則三棱錐S?ABC的體積的最大值為

.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知(1)求B;(2)設(shè)D為AC邊的中點(diǎn)，若BD=2b2，且△ABC的面積為316.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//平面PBC，PC與底面ABCD所成的角為45°，PA=AD=2，BC=1，AB=(1)證明：AD⊥平面PAB;(2)求二面角A?PC?D的正弦值.17.(本小題15分)已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程;(2)若與圓O:x2+y2=127相切的直線l(直線l的斜率存在)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線OA的斜率為18.(本小題17分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x?a)((1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的極值;(2)已知a∈Z，若f(x)單調(diào)遞增，求a的最大值;(3)已知a>0，設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn)，求f(x019.(本小題17分)設(shè)正整數(shù)m≥3(m為常數(shù))，數(shù)列a1，a2，?，am各項(xiàng)均為正數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等，設(shè)集合Sm={aiaj|1≤i<j≤m,i,j(1)若m=4，a1=1，a2=2，a(2)證明：2m?3≤|(3)若|Sm|=2m?3，且m≥6，證明：存在集合X，Y，使得X∪Y={a1,a2,?,am}，X∩Y=?答案和解析1.【正確答案】B

【分析】

本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題;

由集合A解得集合B，然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.

解：由?1≤x≤1，可知0≤x≤1，

所以A∩B=[0,1]，所以?2.【正確答案】C

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

先計(jì)算z2?z，再求模即可.

解：因?yàn)閦2?z=(1+i)3.【正確答案】D

【分析】

本題考查了三角函數(shù)的定義以及兩角和的正切公式，是基礎(chǔ)題.

由三角函數(shù)的定義得tanα，再由兩角和的正切公式計(jì)算即可.

解：易知tanα=2，

則tan(α+π4.【正確答案】A

【分析】

本題考查充分、必要、充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

利用充分條件和必要條件的概念直接判斷即可.

解：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)以x為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，13>15，所以x13<x15;5.【正確答案】C

【分析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的性質(zhì)以及裂項(xiàng)相消法求和，是中檔題.

先由等差數(shù)列得出an，再利用裂項(xiàng)相消法求和可得結(jié)果

解：依題意，S11=a1+a112×11=11a6=66，所以a6=6，

因?yàn)閍2=2，由d=a66.【正確答案】B

【分析】

本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

設(shè)切點(diǎn)為(x0,ax0)，由題意得ax0lna=3eax0?0x0?0=3e，解出即可.

解：f′(x)=axlna，設(shè)切點(diǎn)7.【正確答案】D

本題考查求雙曲線的離心率，屬于一般題.

設(shè)|AF2|=m，由題意可得|BF2|=4m，|BF1|=4m，|AF1|=m+2a;

再由AF1⊥BF1得到m,a之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得c,a的關(guān)系，可得離心率.

設(shè)|AF2|=m，如圖所示：

由題意可得|BF2|=4m，|BF1|=4m，|AF1|=m+2a;

又|AB|=|AF2|+|BF2|，由AF18.【正確答案】A

【分析】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)中正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)及已知條件，求出0<ω≤3，再對(duì)

ω的值檢驗(yàn)即可求出結(jié)果．

解：依題意，?πω3+φ=kπ(k∈Z)，所以φ=kπ+πω3(k∈Z)，因?yàn)棣?≤1，有0<ω≤3，

因?yàn)?<φ≤π，所以φ=πω3，

因?yàn)棣?πω3≤π，故0<ω≤3，

當(dāng)x∈[0,π6]時(shí).ωx+φ∈[πω3,πω2].

若1≤ω≤32，則f(x)的最大值為1=ω3，即9.【正確答案】AB

【分析】

本題主要考查了異面直線所成角與直線與平面所成的角，屬于中檔題.

利用數(shù)形結(jié)合思想，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

解：

易知AC//A1C1,AC⊥BD,所以AC⊥B1D1，故A對(duì);

平移AC至A1C1，可知△A1BC1為正三角形，故B對(duì);

連接A1D，記AD1∩A1D=E，易證A1D⊥平面ABC1D1，

故BD與平面ABC110.【正確答案】ABD

【分析】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，是中檔題.

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積逐一判定即可.

解：對(duì)于A，由5OA+3OB+2OC=0，

可得?5OA=3OB+2OC，

兩邊平方可得|OA|=1，故A正確;

對(duì)于B，由5OA+3OB+2OC=0，

可得?2OC=5OA+3OB，

兩邊平方有16=25+30OA?OB+9，

有OA?OB=?35，可得cos∠AOB=?35，故B正確;

對(duì)于C，可知sin∠AOB=45，

所以sin∠AOC=sin(2π?∠AOB?∠BOC)=11.【正確答案】BCD

【分析】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系，是較難題.

根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系逐一判定即可.

解：若△AFP為等邊三角形，則∠PAF=∠AFx=60°，

所以|AF|cos60°+2=|AP|=|AF|，所以|AF|=4，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

設(shè)A(x0,y0)，設(shè)A處切線方程為x=m(y?y0)+x0，

聯(lián)立y2=4x可得，y2?4my+4my0?4x0=0，

所以16m2?4×(4my0?4x0)=0，即(m?y02)2=0，即m=y02，

所以A處切線方程為x=y02(y?y0)+x0，有x=y0y2?y024，

所以M(0,y02)，N(?1,y012.【正確答案】1

【分析】

結(jié)合已知函數(shù)解析式及f(x)為偶函數(shù)代入可求．

本題主要考查了函數(shù)的函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)試題．

解：令x=?1，

所以f(?1)+f(1)=2f(1)=2，解得f(1)=1.13.【正確答案】4

【分析】本題考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可知，ab=1，然后利用基本不等式求解最值.

解：∵a>b>0，a+1a=b+1b，

∴(a?b)(1?1ab)=0，

因?yàn)閍>b>0，所以ab=1，

則1b2+14.【正確答案】13【分析】本題主要考查了棱錐的體積，熟記公式即可.設(shè)△ABC所在小圓圓心為O1，半徑為r，∠BAO解：設(shè)△ABC所在小圓圓心為O1，半徑為r，∠BAO1=θ，

則AB=2rcosθ，所以△ABC的面積為12(2rcosθ)2sin2θ=2r2cos2θsin2θ=4r2cos3θsinθ，

(當(dāng)r固定時(shí)，△ABC的面積只與θ有關(guān))

設(shè)g(θ)=4r2cos3θsinθ，則g′(θ)=4r2(?3cos2θsin2θ+cos4θ)=4r2cos2θ(cos2θ?3sin215.【正確答案】解：(1)依題意，3cb=2sin(A+π3)=sinA+3cosA，即3c=bsinA+3bcosA，

由正弦定理可得，3sinC=sinBsinA+3sinBcosA，因?yàn)锳+B+C=π，

所以3sin(A+B)=3sinAcosB+3cos本題考查了正余弦定理的運(yùn)用，三角形面積公式，屬于中檔題.

(1)由正弦定理將邊化為角，可求出tanB，再求角；

(2)由余弦定理和三角形的面積公式得a、c的方程組，求解即可得出△ABC的周長(zhǎng)16.【正確答案】解：(1)因?yàn)锳D//平面PBC，平面ABCD∩平面PBC=BC，AD?平面ABCD，

所以AD//BC，

又PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AD，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以PA⊥AC，則∠PCA是PC與平面ABCD所成的角，

所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2，

因?yàn)锳C=2，BC=1，AB=3，

所以AB2+BC2=AC2，則AB⊥BC，所以AB⊥AD，

因?yàn)镻A∩AB=A，PA⊥AD，AD⊥AB，PA，AB?平面PAB，

所以AD⊥平面PAB;

(2)因?yàn)锳B，AD，AP兩兩互相垂直，因此以{AB,AD,AP}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).

因此PC=(3,1,?2)，DC=(3,?1,0)，AC=(3,1,0)，AP=(0,0,2)，

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1本題考查了線面垂直的判定，二面角的應(yīng)用，平面與平面所成角的向量求法，屬中檔題.

(1)證出PA⊥AD、AB⊥AD即可證得AD⊥平面PAB;

(2)以{AB,AD,17.【正確答案】解：(1)由題意可得：e=1?b2a2=12，所以b2a2=34，

又由點(diǎn)(1,32)在橢圓C上，有1a2+94b2=1，解得a2=4，b2=3，

所以橢圓C的方程為：x24+y23=1；

(2)設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，

依題意，有|m|1+k2=本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，屬于中檔題.

(1)根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上求得a和b，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，根據(jù)直線與圓相切可得|m|1+k2=127，即12k2=7m18.【正確答案】解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xlnx，則f′(x)=1+lnx，令f′(x)=0，解得x=1e，

當(dāng)x∈(0,1e)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1e,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)的極小值為f(1e)=?1e，無(wú)極大值;

(2)f′(x)=lnx?a+x?ax，依題意，f′(x)=lnx?a+x?ax≥0恒成立，

所以f′(1e2)=?2+1?a?e2a≥0，故a≤?1e2+1，因?yàn)閍∈Z，所以a≤?1，

當(dāng)a=?1時(shí)，f′(x)=lnx+1x+2，設(shè)g(x)=lnx+1x+2，則g′(x)=1x?1x2=x?1x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)≥g(1)=3>0，所以a=?1滿足題意，即a的最大值為?1;

(3)當(dāng)a>0時(shí)，易知f′(x)=lnx?a本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題.

(1)求出函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)利用f′(x)=lnx?a+x?ax≥0恒成立即可；

(3)f(x0)=(x019.【正確答案】(1)解：由題可知a1a2=2，a1a3=4，a1a4=8，a2a3=8，a2a4=16，a3a4=32.

所以S4=