2024-2025學年北京延慶區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第2頁/共12頁2025北京延慶高二（上）期末數(shù)學2025.1本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）復數(shù)，則的虛部為（A）（B）（C）（D）（2）雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D）（3）若直線與圓相切，則實數(shù)的值為（A）（B）（C）或（D）或（4）已知是雙曲線上的動點，則到雙曲線兩個焦點距離之差的絕對值為（A） （B）（C）（D）（5）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為，則（A）（B）（C）（D）（6）已知橢圓的左右焦點為，，上下頂點為，，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（A）（B）（C）（D）（7）如圖，在正方體中，是棱上的動點．則下列結論不正確的是（A）平面（B）（C）二面角的大小為（D）直線與平面所成角的大小不變（8）“”是“方程表示焦點在軸上雙曲線”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）已知圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，半徑為的圓與圓有公共點，則的最大值是（A）（B）（C）（D）（10）如圖，在長方體中，，，，，，是平面上的動點，且滿足的周長為，則面積的最小值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）以為直徑的兩個端點的圓的標準方程是．（12）若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，則該拋物線的準線方程為．（13）已知直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則斜率的一個取值是．（14）“中國天眼”反射面的主體是一個拋物面（拋物線繞著其對稱軸旋轉所形成的曲面稱為拋物面），利用了拋物線的光學性質：由其焦點出發(fā)的光線照射到拋物線，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的對稱軸．如圖所示：拋物線，一條光線經(jīng)過，與軸平行照射到拋物線上的點處，第一次反射后經(jīng)過拋物線的焦點到拋物線上的點處，第二次反射后經(jīng)過，則的坐標為，的值為．（15）已知曲線，點，下面有四個結論：①曲線關于軸對稱；②曲線與軸圍成的封閉圖形的面積大于；③曲線上任意點滿足；④曲線與曲線的交點個數(shù)可以是個、個、個、個．其中，所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（16）（本小題13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，當時，求的最大值和最小值及相應的；（Ⅱ）若函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，求的值和的單調遞增區(qū)間．（17）（本小題13分）在中，為鈍角，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，為線段上的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）從條件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②、條件=3\*GB3③這三個條件中選擇一個，使得平面，并求直線與平面所成角的正弦值和二面角的余弦值．條件=1\*GB3①：；條件=2\*GB3②：；條件=3\*GB3③：平面平面．（19）（本小題15分）已知橢圓的中心是坐標原點，它的短軸長為，一個焦點的坐標為，點的坐標為，且橢圓兩個焦點之間的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）如果過點且斜率為的直線與橢圓相交于點，兩點，求的面積；（Ⅲ）如果過點的直線與橢圓相交于點，兩點，且，求直線的斜率．（20）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，右焦點為，點，且，過點的直線（不與軸重合）交橢圓于點，，直線，分別與直線交于點，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求直線斜率的取值范圍；（Ⅲ）判斷點與以為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論.（21）（本小題15分）設正整數(shù)，若由實數(shù)組成的集合滿足如下性質，則稱為集合：對中任意四個不同的元素，均有.例如，判斷是否為集合：當時，此時；當時，此時；當時，此時.所以是集合.（Ⅰ）判斷集合和是否為集合；（直接寫出答案，結論不需要證明）（Ⅱ）若集合為集合，求出所有集合，并說明理由；（Ⅲ）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實數(shù)．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D（2）A（3）C（4）B（5）A（6）B（7）D（8）C（9）A（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）或（兩個都答不給分）（14），（注：第一問3分，第二問2分）（15）①②④（注：對一個2分，兩個3分，有選錯0分）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：……2分……3分……4分（Ⅰ）當時，由，可得……5分當時，取最大值，此時……7分當時，取最小值，此時……9分（Ⅱ）因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為所以，且，所以，……10分由……11分得的單調遞增區(qū)間為……13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由題意得，因為為鈍角，……1分得，則，……2分由正弦定理……4分得，解得，……5分因為為鈍角，則.……7分（Ⅱ）當時，由余弦定理，……9分得，解得……10分則.……13分（18）（共14分）（Ⅰ）證明：設BD交AC于點O，連結.因為底面為正方形，所以O是BD中點，為線段上的中點所以是的中位線……1分所以，……2分平面，……3分平面，……4分所以直線平面．（Ⅱ）解：選擇=2\*GB3②，，又因為底面為正方形，可得，所以，所以平面，……5分以為原點，，，的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，,,……6分設平面的法向量為由，得；……8分設直線與平面所成角為θ．則．……10分∴直線與平面所成角的正弦值為．設二面角的為，為鈍角，平面的法向量為……11分，……13分二面角的余弦值為．……14分選擇=3\*GB3③，平面平面，又因為平面平面，，平面，所以平面，選擇=1\*GB3①，錯誤（19）（共15分）解：（Ⅰ）由題意橢圓的焦點在軸上，標準方程設為所以解得，……3分所以橢圓C的方程為，……4分橢圓離線率．……5分（Ⅱ）過點且斜率為的直線方程為，……6分聯(lián)立得．……7分則，．……9分的高……10分（Ⅲ）當直線過點且斜率存在時，設方程為，聯(lián)立得．……11分則，．……12分因為過點的直線與橢圓相交于點，兩點，且，設，知成立，……13分，解得，經(jīng)檢驗可知當斜率不存在時，不成立。……15分（20）（共15分）（Ⅰ）解：由題意得解得，……2分從而，……3分所以橢圓C的方程為．……4分（Ⅱ）解：當直線l的斜率不存在時，有，，，．當直線l的斜率存在時，設，其中．聯(lián)立得．……5分由題意，知恒成立，設，則，．……6分直線的方程為，令，得，即，同理可得．……8分所以將代入整理得……10分，解得……11分（Ⅲ）點在以為直徑的圓的內部.證明：當直線l的斜率不存在時，有，，，則，，故，即．……12分由（Ⅱ）可知，．所以，．因為，所以，……14分綜上，點在以為直徑的圓的內部.……15分（21）(共15分）解：（Ⅰ）集合是集合，……2分集合不是集合，……4分（Ⅱ）當時，，當時，，當時，，……5分不妨設，由集合互異性可知：則且互為相反數(shù)，若，可得，不符合題意則，可得當時，，不符合題意當時，解得，或，，不符合題意當時，解得，或，，不符合題意……6分當時，解得，或，，符合題意所以集合或……8分（Ⅲ）假設中元素全為正實數(shù)，不妨設當時，，當時，，當時，，由于所以……9分①當中元素至少個大于時