湖南省岳陽市平江縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 含答案

平江縣2024年下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)考生注意：所有答案請務(wù)必填寫在答題卡上,時(shí)量120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.2.已知向量=(2,-1,3)，向量b=(-4,2,x)，且，則x=（）A.B.C. D.3.直線=0的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1或B.12或3C.12D.5.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）．A.B.C.D.6.如圖，空間四邊形中,，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.7.已知直線，，若，則（）A.B.C.D.8.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C．當(dāng)或6時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng) D．是等差數(shù)列10．已知曲線C的方程為，則下列說法正確的為（

）A．曲線C可以是圓 B．若，則曲線C為橢圓C．曲線C可以表示拋物線 D．若曲線C為雙曲線，則11.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（

）A．B．點(diǎn)到直線的距離為C．存在點(diǎn)，使得平面D．動(dòng)點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，若,則=．13.已知直線和，兩點(diǎn)，P為直線l上一點(diǎn)P，則最小值為．14.已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E上存在點(diǎn)P，使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則E的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，圓，（1）證明圓與圓相交；（2）求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長。16.在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，為等邊三角形，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中點(diǎn).

（1）判斷直線BE與平面PAD的位置關(guān)系，并證明;（2）求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．17.已知橢圓C：的焦距為8，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，求△PAB的面積的最大值.18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.19.數(shù)列、滿足：是等比數(shù)列，，，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.(2)求集合中所有元素的和．(3)對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試判斷數(shù)列、是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由．平江縣2024年下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)答題卡學(xué)校：姓名：班級(jí)：第考室座位號(hào)：一、選擇題（每小題5分，共40分）二、選擇題（每小題6分，共18分）1[A][B][C][D]5[A][B][C][D]9[A][B][C][D]2[A][B][C][D]6[A][B][C][D]10[A][B][C][D]3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]11[A][B][C][D]4[A][B][C][D]8[A][B][C][D]三、填空題（每小題5分，共15分）12. 13.14.四、解答題（共77分）15.(13分)16.(15分)17.(15分)18.(17分)19.(17分)平江縣2024年下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)考生注意：所有答案請務(wù)必填寫在答題卡上,時(shí)量120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.（選擇性必修一p132例1改編）拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】【分析】解出p=4,即可求出準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以準(zhǔn)線方程為.2.（選擇性必修一p22練習(xí)2）已知，，且，則（）．A. B.C. D.【答案】C.【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?3.（選擇性必修一p102第1題改編）直線=0的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個(gè)方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€=0的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，又因?yàn)榕c共線，所以=0的一個(gè)方向向量可以是，故選：B.4.（選擇性必修二p37第1題改編）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1或B.12或3C.12D.【答案】B【解析】【分析】分公比，兩類進(jìn)行討論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，解得.故選：A5.（選擇性必修二p104練習(xí)13改編）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）．A. B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程.【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為y′＝1，曲線在x＝1處的切線斜率為k＝2，則曲線在x＝1處的切線方程為y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．故這個(gè)函數(shù)的圖象在處的切線方程為y＝2x﹣1.故選：B6.如圖，空間四邊形中,，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B7.（選擇性必修第一冊p102練習(xí)2改）已知直線，，若，則（）A.B.C.D【答案】D【解析】【分析】可得滿足，時(shí)，；【詳解】當(dāng)時(shí)，方程化為，方程化為，此時(shí)兩直線平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使直線平行，則滿足，解得，這是或；故選：D8．已知函數(shù)，是的唯一極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】求導(dǎo)可得，再根據(jù)是的唯一極小值點(diǎn)可得恒成立，再根據(jù)恒成立問題求解最小值分析即可.【詳解】求導(dǎo)有.設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.故若有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有一根，則此時(shí)有時(shí)；時(shí)，故為的極小值點(diǎn)，與題意不符.故恒成立，故，即，解得.故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.（選擇性必修二p23例9改編）數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C．當(dāng)或6時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng) D．是等差數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)作差求出的通項(xiàng)，即可判斷A、B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故A正確；對于B：當(dāng)時(shí)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)取得最大值，且，即數(shù)列有最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，則，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD10．（選擇性必修第一冊p120練習(xí)3，127練習(xí)7綜合改編）已知曲線C的方程為，則下列說法正確的為（

）A．曲線C可以是圓 B．若，則曲線C為橢圓C．曲線C可以表示拋物線 D．若曲線C為雙曲線，則【答案】AD【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn)，結(jié)合圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．【詳解】對于A，若曲線C是圓，則，解得，A正確；對于B，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，曲線C是圓，不是橢圓，B錯(cuò)誤；對于C，曲線C有兩條對稱軸，不可能為拋物線，C錯(cuò)誤；對于D，若曲線C為雙曲線，則，解得，D正確.故選：AD11.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（

）A．B．點(diǎn)到直線的距離為C．存在點(diǎn)，使得平面D．動(dòng)點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，選項(xiàng)A，利用向量法來證明線線垂直，通過計(jì)算得到，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，先計(jì)算出在方向上的投影向量的模為，再利用點(diǎn)到線的距離的向量法即可得出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)C，先求出平面的一個(gè)法向量為和，再判斷是否存在使，即可判斷出選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，再利用拋物線的定義即可求出結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.對于選項(xiàng)A，易知，設(shè)，所以，又，得到，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由選項(xiàng)A知，，，由，得到，取，所以平面的一個(gè)法向量為，由，得到，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又點(diǎn)到直線與直線的距離相等，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又面，面，由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.（選擇性必修第二冊p23練習(xí)3改編）在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，若,則=．【答案】42【解析】【分析】由已知列出方程求出首項(xiàng)和公差即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，則.13.（選擇性必修第一冊p103練習(xí)12）已知直線和，兩點(diǎn)，P為直線l上一點(diǎn)P，則最小值為．【答案】12【解析】【分析】先判斷兩點(diǎn)是在直線同側(cè)還是異側(cè)，再求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)得解【詳解】因?yàn)?，所以在直線同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，可知，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，直線方程，所以的最小值為12.14.．已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E上存在點(diǎn)P，使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則E的離心率為.【答案】/【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算得到，然后利用雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)切圓的幾何關(guān)系得到有關(guān)的方程求解即可.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)?，所以，所以，，又，?lián)立可得：，所以，即，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，過圓心往三邊作垂線，垂足分別為，如圖所示，

因?yàn)榈膬?nèi)切圓與y軸相切，故，，，所以，即，即，兩邊平方得，即，則，兩邊同時(shí)除以，得，解得，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中三角形內(nèi)切圓和離心率相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用三角形內(nèi)切圓的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，求得之間的等量關(guān)系從而求得結(jié)果.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（選擇性必修第一冊p96例5改編）已知圓，圓，（1）證明圓與圓相交；（2）求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長?！敬鸢浮孔C明見解析，公共弦所在直線的方程為，公共弦的長為【解析】【分析】依題意求得圓和圓的圓心和半徑，進(jìn)而根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可證得結(jié)果；將兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程.【詳解】（1）把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心是，半徑．把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心是，半徑．圓與圓的連心線的長為．圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長之差．因?yàn)?，即，所以圓與圓相交.將圓和圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心是，半徑．圓心到公共弦的距離，故公共弦.16.在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，為等邊三角形，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中點(diǎn).（1）判斷直線BE與平面PAD的位置關(guān)系，并證明;（2）求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．【解答】證明：(1)BE⊥平面PAD，證明如下：（連接BD，因?yàn)闉榈冗吶切?，E是AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，又由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，∴BE⊥AD，∴BE⊥平面PAD．解：（3）以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，P（0，0，），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），（1，0，），（0，），（﹣2，），令平面PAB的法向量為，則，取y＝1，得，同理可得平面PBC的一個(gè)法向量為（0，1，1），所以平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值為：|cos|．17.（選擇性必修第一冊p114例7，116練習(xí)13改編）已知橢圓C：的焦距為8，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，求△PAB的面積的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)P到直線AB的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)根據(jù)題意，即，又，所以，因?yàn)?，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由方程組消去y，得．①設(shè)，，，，可得:則設(shè)與直線AB平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AB距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為P，此時(shí)△PAB的面積取得最大值.

由方程組消去y，得．②方程①的根的判別式．由，得，．此時(shí)方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．與AB距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AB方程為：點(diǎn)P到直線AB的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，所以△PAB的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．18.(選擇性必修第二冊p104練習(xí)19改編).已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）最大值-2.無最小值，（2）見解析；（3）.【解析】【詳解】試題分析：（2）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)第（2）問，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知在有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，無最小值.（2）的定義域?yàn)椋?，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（3）（?。┤?，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①