2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題4 概率與統(tǒng)計 第3講 隨機變量及其分布【課件】

第3講隨機變量及其分布2025基礎(chǔ)回扣?考教銜接以題梳點?核心突破目錄索引

基礎(chǔ)回扣?考教銜接1.(人B選必二4.2.2節(jié)習(xí)題改編)下列表格可能是隨機變量X的分布列的是(

)C解析

由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故A錯誤;由-0.1<0,故B錯誤;由0.3+0.4+0.3=1,故C正確;由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故D錯誤.2.(人A選必三7.4.1節(jié)例題改編)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次,恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率是

.

3.(人A選必三7.3.2節(jié)習(xí)題改編)已知隨機變量X的分布列為

X1234P0.20.30.40.1則D(X)=

.

0.84解析

由題意知,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.4.(人B選必二4.2.4節(jié)習(xí)題改編)已知隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,則p的值為

.

5.(人B選必二例題改編)學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機選出3人去支教,設(shè)選出的女教師人數(shù)為X,則P(X≤1)=

.

真題體驗1.(多選題)(2024·新高考Ⅰ,9)隨著“一帶一路”國際合作的深入,某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值

=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(,s2),則(

)(若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2

B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8BC解析

由題意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,∴A錯誤;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正確;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,∴C正確,D錯誤.故選BC.1以題梳點?核心突破考點一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用例1(1)已知X的分布列為

D(2)(多選題)(2024·江蘇鹽城模擬)已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示,則(

)ACD[對點訓(xùn)練1]設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量Y=2X+1的分布列;(2)求隨機變量η=|X-1|的分布列;(3)求隨機變量ξ=X2的分布列.解

(1)由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表為X012342X+113579從而Y=2X+1的分布列為

Y13579P0.20.10.10.30.3(2)首先列表為

X01234|X-1|10123∴P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列為η0123P0.10.30.30.3(3)首先列表為

X01234X2014916從而ξ=X2的分布列為

ξ014916P0.20.10.10.30.3考點二二項分布例2(2024·廣東韶關(guān)二模)小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動,已知小明射擊一次,擊中甲、乙、丙區(qū)域的概率分別是,甲、乙、丙區(qū)域間均沒有重復(fù)的部分.這次射擊比賽的獲獎規(guī)則如下:若擊中甲區(qū)域,則獲得一等獎;若擊中乙區(qū)域,則有一半的機會獲得二等獎,一半的機會獲得三等獎;若擊中丙區(qū)域,則獲得三等獎;擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號.(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率;(2)小明在比賽中射擊4次,每次射擊的結(jié)果相互獨立,設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件A;“射擊一次獲得一等獎”為事件B;“射擊一次獲得二等獎”為事件C,則有A=B∪C,[對點訓(xùn)練2](2024·山東泰安模擬)某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動,其中有兩個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下:從平地開始,拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,出現(xiàn)3的倍數(shù)則連上三級臺階,否則上二級臺階,重復(fù)以上步驟,當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束.結(jié)束時,學(xué)生位于第8級臺階,可獲得一本課外讀物;位于第9級臺階,可獲得一套智力玩具;位于第10級臺階,則被認(rèn)定為游戲失敗,無獎品.(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后,按游戲規(guī)則位于第X級臺階,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).(2)①某學(xué)生參加游戲,求他不能獲得獎品的概率;②若甲、乙兩名學(xué)生參加游戲,求恰有一人獲得獎品的概率.(2)①由題意知,位于第10級臺階被認(rèn)定為游戲失敗,無法獲得獎品,則該學(xué)生拋擲3次后位于第7級臺階,且第四次拋擲時出現(xiàn)3的倍數(shù),連上三級臺考點三超幾何分布例3(2024·重慶模擬)在一種新能源產(chǎn)品的客戶調(diào)查活動中,公司發(fā)現(xiàn)某小區(qū)10人中有4人是該產(chǎn)品的潛在用戶.現(xiàn)由小劉負(fù)責(zé)這10人的聯(lián)系工作,他先隨機選擇其中的5人上午聯(lián)系,剩余的5人下午聯(lián)系.(1)設(shè)上午聯(lián)系的這5人中有ξ個潛在用戶,求ξ的分布列與期望;(2)小劉逐一依次聯(lián)系,直至確定所有的潛在用戶為止,求小劉不超過6次即可確定所有潛在用戶的概率.[對點訓(xùn)練3](2024·山東聊城二模)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和大數(shù)據(jù)的驅(qū)動,線上線下相結(jié)合的新零售時代已全面開啟,在新零售背景下,即時配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求,優(yōu)化自身服務(wù),提高客戶滿意度,在A,B兩個分公司的客戶中各隨機抽取10人進行滿意度評分調(diào)查(滿分100分),評分結(jié)果如下:分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86,91,91分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94,92,89(1)求這20個滿意度評分的第一四分位數(shù);(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意,從上述不滿意的客戶中隨機抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進建議,設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)將這20個滿意度評分從小到大排列為:62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.由25%×20=5,可知這20個滿意度評分的第一四分位數(shù)為第5項數(shù)據(jù),為73.(2)由題可知,分公司A中75分以下的有66分,72分;分公司B中75分以下的有62分,70分,73分.所以不滿意的客戶共有5人,其中分公司A的客戶有2人,分公司B的客戶有3人.X表示5名不滿意客戶中來自分公司B的人數(shù),則X服從超幾何分布,且所以X的分布列為

考點四正態(tài)分布例4(2024·河南洛平許濟四市聯(lián)考)某教學(xué)研究機構(gòu)從參加考試的20000名考生中隨機抽取200人,對其數(shù)學(xué)成績進行整理分析,得到如下頻率分布直方圖:

附:≈2.4;若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)抽取的200名考生數(shù)學(xué)成績的方差估計值為s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150.故估計這20

000名考生數(shù)學(xué)成績的方差為150,標(biāo)準(zhǔn)差(2)由題可知,X~N(110,122).因為Y=5X-10,所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)=P(110+12≤X≤110+2×12)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)故這20

000名考生中成績在[600,660]的人數(shù)約為20

000×0.135

9=2

718.[對點訓(xùn)練4](2024·廣東深圳模擬)某單位準(zhǔn)備通過考試招錄300人,其中275個高薪崗位和25個普薪崗位,考試滿分為400分,依據(jù)考生的考試成績從高分到低分依次選崗.共有2000人報名參加考試,記考生的成績?yōu)閄,已知X~N(μ,σ2),且所有考生的平均考試成績μ=180,且360分及其以上的高分考生有30名.(1)求σ的值;(結(jié)果保留整數(shù))(2)該單位的最低錄取分?jǐn)?shù)約是多少?(結(jié)果保留整數(shù))(3)考生甲的成績?yōu)?86分,若甲被錄取,能否選擇高薪崗位?若不能被錄取,請說明理由.參考資料:①當(dāng)X~N(μ,σ2)時,令Y=,則Y~N(0,1);②當(dāng)Y~N(0,1),P(Y≤2.17)