2025高考數(shù)學二輪復習-微培優(yōu)2 原函數(shù)與導函數(shù)混合構(gòu)造問題【課件】

微培優(yōu)2原函數(shù)與導函數(shù)混合構(gòu)造問題20251.構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)——導數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);例如,若條件是f'(x)±g'(x)>0,則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)±g(x),有F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增;若條件是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x),有F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增;2.基本構(gòu)造類型(指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù))(1)利用ex進行構(gòu)造:對于不等式f'(x)+f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x);(2)利用x進行構(gòu)造:對于不等式xf'(x)+f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x);對于不等式xf'(x)-f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)(3)利用sin

x,cos

x進行構(gòu)造:對于不等式sin

x·f'(x)+cos

x·f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=sin

x·f(x);對于不等式sin

x·f'(x)-cos

x·f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)對于不等式cos

x·f'(x)-sin

x·f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)·cos

x;對于不等式cos

x·f'(x)+sin

x·f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)角度一利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性比較大小例1(1)(2024·貴州貴陽一模)已知定義域為R的函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f'(x),且滿足f'(x)-2f(x)<0,f(0)=1,則(

)A.e2f(-1)<1 B.f(1)>e2D因為f'(x)-2f(x)<0在R上恒成立,所以g'(x)<0在R上恒成立,故g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(-1)>g(0),即(2)(2024·浙江杭州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足sinxf(x)+cosxf'(x)>0,則(

)B角度二利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式例2(1)(2024·江蘇常州統(tǒng)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導數(shù)為f'(x),f(1)=e,且對任意的x滿足f'(x)-f(x)<ex,則不等式f(x)>xex的解集是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)A(2)(2024·廣州梅州二模)設函數(shù)f(x)在R上的導數(shù)為f'(x),對任意x∈R,有f(-x)+f(x)=2x2,且當x∈(0,+∞),f'(x)<2x.若f(3-a)-f(a)≥9-6a,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A解析

因為f(-x)+f(x)=2x2,所以f(-0)+f(0)=0,得到f(0)=0.令g(x)=f(x)-x2,所以g(-x)=f(-x)-(-x)2=2x2-f(x)-x2=x2-f(x)=-g(x),則g(x)為奇函數(shù),且g(0)=f(0)-0=0.又當x>0時,g'(x)=f'(x)-2x<0,結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)知,g(x)在R上單調(diào)遞減,又f(3-a)-f(a)≥9-6a=(3-a)2-a2,所以f(3-a)-(3-a)2≥f(a)-a2,即g(3-a)≥g(a),所以3-a≤a,即a≥.針對訓練1.(2024·江蘇南京二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù),其導函數(shù)為f'(x).若對任意x∈R有f'(x)>1,f(1+x)+f(1-x)=0,且f(0)=-2,則不等式f(x-1)>x-1的解集為(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(2,+∞) D.(3,+∞)D解析

令g(x)=f(x)-x,則g'(x)=f'(x)-1>0恒成立,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.f(1+x)+f(1-x)=0,則f(2)+f(0)=0,又f(0)=-2,所以f(2)=2,故g(2)=f(2)-2=0.f(x-1)>x-1,即g(x-1)>0,即g(x-1)>g(2),故x-1>2,解得x>3.2.(2024·廣東四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)滿足xf'(x)lnx+f(x)>0(其中f'(x)是f(x)的導數(shù)),若,b=f(e),c=f(e2),則下列選項中正確的是(

)A.4c<2b<a B.2b<4c<aC.a<2b<4c D.a<4c<2bC解析

因為xf'(x)ln

x+f(x)>0(x>0),所以f'(x)ln

x+f(x)>0,所以[f(x)ln

x]'>0,令g(x)=f(x)ln

x(x>0),則?x∈(0,+∞),g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.A4.(2024·湖南師范大學附屬中學模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,設f(x)的導數(shù)是f'(x),且f(x)·f'(x)+sinx>0恒成立,則(

)D解析

設g(x)=f2(x)-2cos

x,則g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sin

x>0,故y=g(x)在R上單調(diào)遞增,5.(多選題)(2024·山西大學附屬中學月考)已知函數(shù)f(x)的定義域為其導函數(shù)為f'(x).若[x+f(x)]sinx=f'(x)cosx,且f(0)=0,則(

)A.f(x)是增函數(shù) B.f(x)是減函數(shù)C.f(x)有最大值