函數(shù)的概念教學(xué)課件

函數(shù)的概念一、集合、區(qū)間和鄰域集合1.集合概念是數(shù)學(xué)中的一個最基本的概念，一般可以把集合(簡稱集)理解為具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.例如，某學(xué)校全體師生組成的一個集合；某學(xué)校某個班級的全體同學(xué)組成的一個集合；全體實數(shù)組成的一個集合；全體正整數(shù)組成的一個集合；等等.集合中的每個事物稱為集合的元素(簡稱元).習(xí)慣上用大寫字母A，B，C，…表示集合，用小寫字母a，b，c，…表示集合的元素.如果元素a是集合A中的元素，記作a∈A(讀作a屬于A)；如果元素a不是集合A中的元素，記作a

A(讀作a不屬于A).

一、集合、區(qū)間和鄰域如果一個集合只含有有限個元素，那么稱這個集合為有限集；不是有限集的集合稱為無限集.例如，全體英文字母組成的一個集合是有限集，全體整數(shù)組成的集合是無限集.

給定一個集合，就是給出這個集合由哪些元素組成.給出集合的方法通常有兩種：列舉法和描述法.一、集合、區(qū)間和鄰域列舉法就是把集合中的所有元素都列舉出來寫在大括號內(nèi).例如，由1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)組成的集合A可記作A={1，2，3，4，5，6，7，8}.

描述法就是把集合中所有元素的公共屬性描述出來，記作A={x|x具有性質(zhì)P}.

例如，A={x|0<x<6}表示滿足不等式0<x<6的實數(shù).B={(x，y)|x2＋y2≤4}表示在xOy平面上以原點O為中心，半徑為2的圓周及其內(nèi)部所有點所組成的集合.

一、集合、區(qū)間和鄰域習(xí)慣上，全體實數(shù)組成的集合記作R，即R={x|x為實數(shù)}；全體有理數(shù)組成的集合記作Q，即Q={x|x為有理數(shù)}；全體整數(shù)組成的集合記作Z，即Z={x|x為整數(shù)}；全體自然數(shù)組成的集合記作N，即N={x|x為自然數(shù)}.

設(shè)A，B是兩個集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作A

B(讀作A包含于B)或B

A(讀作B包含A).

如果集合B與集合A互為子集，即A

B且B

A，則稱集合B與集合A相等，記作A=B.

一、集合、區(qū)間和鄰域例如，集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x＋6=0}，則A=B.

特別地，不包含任何元素的集合稱為空集，記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.

例如，{x|x2＋1=0且x∈R}是空集，因為滿足條件x2＋1=0的實數(shù)是不存在的.

一、集合、區(qū)間和鄰域以后用到的集合主要指數(shù)集，即元素都是數(shù)的集合.如果沒有特別聲明，以后提到的數(shù)都是指實數(shù).注一、集合、區(qū)間和鄰域集合的基本運算有以下幾種：并、交、差.

設(shè)A，B是兩個集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集(簡稱并)，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}；由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集(簡稱交)，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}；一、集合、區(qū)間和鄰域由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集(簡稱差)，記作A\\B，即A\\B={x|x∈A且x∈B}.

特別地,若集合B包含于集合A(即B

A),則稱A\\B為B關(guān)于A的余集,或稱為補集,記作

CAB.通常我們所討論的問題是在一個大集合I中進行的,所研究的其他集合A都是I的子集,此時稱I\\A為A的余集,記作

CIA或AC

.

例如，在實數(shù)集R中，集合A={x|-3≤x≤5}的余集為AC={x|x<-3或x>5}.

一、集合、區(qū)間和鄰域集合的并、交、差運算滿足下面的基本法則.

設(shè)A，B，C為三個任意集合，則下列法則成立：(1)交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A;

(2)結(jié)合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);

(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),

(A\\B)∩C=(A∩C)(B∩C);

(4)冪等律A∪A=A，A∩A=A;

一、集合、區(qū)間和鄰域(5)吸收律A∪?=A，A∩?=?,

A∪B=B，A∩B=A，其中A

B,

A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A;

(6)對偶律(A∪B)C=AC∩BC,

(A∩B)C=AC∪BC.

以上法則都可以利用集合的定義來驗證.

一、集合、區(qū)間和鄰域在許多問題中還經(jīng)常用到乘積集合的概念.設(shè)A，B是任意兩個非空集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，把有序?qū)?x，y)作為新的元素，它們的全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記作A×B，即A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}.

例如，設(shè)A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d}，則A×B={(x，y)|a<x<b，c<y<d}，它表示xOy平面上以(a，c)，(b，c)，(b，d)，(a，d)為頂點的矩形內(nèi)部的所有點構(gòu)成的集合，而R×R

={(x，y)|x∈R，y∈R}就表示整個坐標(biāo)平面，記作R2.

一、集合、區(qū)間和鄰域區(qū)間2.在很多情況下，集合可以用區(qū)間來表示.設(shè)a和b都是實數(shù)，且a<b，集合{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，記作(a，b)，即(a，b)＝{x|a<x<b}，它在數(shù)軸上表示點a與點b之間的線段，但不包括端點a及端點b,如圖1-1所示.圖1-1一、集合、區(qū)間和鄰域集合{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，記作［a，b］，即［a，b］＝{x|a≤x≤b}，它在數(shù)軸上表示點a與點b之間的線段，包括兩個端點,如圖1-2所示.圖1-2一、集合、區(qū)間和鄰域還有其他類似的區(qū)間：集合{x|a<x≤b}記作(a，b］，稱為左開右閉區(qū)間,如圖1-3所示.圖1-3一、集合、區(qū)間和鄰域集合{x|a≤x<b}記作［a，b)，稱為左閉右開區(qū)間,如圖1-4所示.圖1-4一、集合、區(qū)間和鄰域上述兩個區(qū)間(a，b］和［a，b)統(tǒng)稱為半開區(qū)間.

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長度.從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是長度為有限的線段.

此外還有所謂無限區(qū)間，引進記號＋∞(讀作正無窮大)及-∞(讀作負無窮大)，則無限區(qū)間表示如下：(a，＋∞)={x|x>a}，如圖1-5所示.圖1-5一、集合、區(qū)間和鄰域［a，＋∞)={x|x≥a}，如圖1-6所示.圖1-6一、集合、區(qū)間和鄰域(-∞，b)={x|x<b}，如圖1-7所示.圖1-7一、集合、區(qū)間和鄰域(-∞，b］={x|x≤b}，如圖1-8所示.

圖1-8一、集合、區(qū)間和鄰域全體實數(shù)的集合R=(-∞，＋∞)={x|x為任意實數(shù)},它也是無限區(qū)間.

注：以后在不需要辨明所討論區(qū)間是否包含端點，以及是有限區(qū)間還是無限區(qū)間的問題時，就簡單地稱它為“區(qū)間”，且常用I來表示.一、集合、區(qū)間和鄰域鄰域3.設(shè)a與δ是兩個實數(shù)且δ>0，則稱數(shù)集{x||x-a|<δ}或{x|a-δ<x<a＋δ}

為點a的δ鄰域，記作U(a，δ)，并稱點a為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑，如圖1-9所示.

圖1-9一、集合、區(qū)間和鄰域因為|x-a|表示點x與點a間的距離，所以U(a，δ)表示與點a距離小于δ的一切點x的全體.實際上，鄰域就表示以點a為中心的任何開區(qū)間.

點a的δ鄰域去掉中心點a后的集合，稱為點a的去心δ鄰域，記作U°(a，δ)，并且

U°(a，δ)＝{x|0<|x-a|<δ}，其中，0<|x-a|就表示x≠a.

一、集合、區(qū)間和鄰域二、函數(shù)的基本概念在對自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象的觀察與研究過程中，人們會碰到許多用來表示不同事物的量，通?？蓪⑺鼈兎譃閮深悾阂活愂窃谀硞€問題的研究過程中保持不變的量，稱之為常量；另一類是在某個問題的研究過程中會出現(xiàn)變化，即可以取不同的值的量，稱之為變量.

例如，學(xué)校的體育館的面積是保持不變的，是常量；而每天來體育館打球的人數(shù)是不同的，因而是變量.

二、函數(shù)的基本概念又如，將一密閉的容器中的氣體進行加熱，在加熱過程中，容器中的氣體的體積、分子數(shù)保持不變，是常量；而氣體的溫度、容器內(nèi)的氣壓在不斷變化，是變量.

在研究實際問題的過程中，常常發(fā)現(xiàn)有幾個變量同時變化，它們并不是孤立的，它們不僅是相互聯(lián)系的，而且還是遵循一定變化規(guī)律聯(lián)系的，下面先舉例說明兩個變量的情形.

二、函數(shù)的基本概念正方體的體積V與其邊長x之間的關(guān)系式為V=x3，這里V和x都是變量，當(dāng)邊長x變化時，其體積V也隨之作相應(yīng)的變化.【例1】二、函數(shù)的基本概念在自由落體運動中，設(shè)物體下落的時間為t，下落的距離為s，如果取開始下落的時刻t=0，那么s和t之間的依賴關(guān)系由公式表示(g為重力加速度)，若物體到達地面的時刻t=T，則在時間區(qū)間［0，T］上任取一個數(shù)值時，由上面的公式都可以確定出s的對應(yīng)值.【例2】二、函數(shù)的基本概念設(shè)某產(chǎn)品的固定成本為100萬元,每生產(chǎn)100件成本就增加4萬元,已知該商品市場前景看好,即產(chǎn)品可以全部銷售出去,又知其需求量函數(shù)為q=200-2p(其中p表示銷售單價).顯然，總成本為C(q)=100＋4q，總收益為因此，總利潤為即總利潤是隨需求量的變化而變化的.【例3】二、函數(shù)的基本概念上面三個例子的實際意義雖然不同，但卻有共同之處，每個例子所描述的變化過程都有兩個變量，當(dāng)其中一個變量在一定變化范圍內(nèi)取定一個數(shù)值時，按照某一確定的法則，另一個變量有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng).兩個變量之間的這種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的概念.二、函數(shù)的基本概念定義1設(shè)D為一個給定的實數(shù)集，對于每個x∈D，按照某種對應(yīng)法則f，總存在唯一確定的實數(shù)值y與之對應(yīng)，則稱f為定義在D上的一個函數(shù)，習(xí)慣上也稱y是x的函數(shù)，并記作y=f(x)，x∈D，其中，x稱為自變量，y稱為因變量，實數(shù)集D稱為這個函數(shù)f的定義域.

函數(shù)定義中，對于每個x∈D，按照某種對應(yīng)法則f，總存在唯一確定的實數(shù)值y與之對應(yīng)，這個實數(shù)值y稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f(x)，即y=f(x).當(dāng)x遍取實數(shù)集D的每個數(shù)值時,對應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集W={y|y=f(x)，x∈D}

稱為函數(shù)f的值域.

二、函數(shù)的基本概念值得注意的是記號f和f(x)的含義是有區(qū)別的，f表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則，而f(x)表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值.

如果x0∈D，則稱函數(shù)f在點x0處有定義或有意義；如果x0∈D，則稱函數(shù)f在點x0處無定義或無意義.當(dāng)x=x0時，函數(shù)f的值為y0，記為y0=f(x0).如果函數(shù)在某個區(qū)間I上每一點都有定義，就說這個函數(shù)在該區(qū)間I上有定義.

二、函數(shù)的基本概念如果y是x的函數(shù)，有時也可記為y=g(x)，y=F(x)，y=φ(x)或y=y(x)等.當(dāng)討論到幾個不同的函數(shù)時，為了區(qū)別起見，需要用不同的記號來表示它們.

由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則被確定后，其值域就隨之而定，因此定義域和對應(yīng)法則就成了函數(shù)的兩個要素.如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，則稱這兩個函數(shù)相同，否則就不同.

二、函數(shù)的基本概念函數(shù)y=x3與y=t3，它們的定義域為實數(shù)集R，且其對應(yīng)法則都是“自變量的三次方”，因此，雖然表示變量的字母不同，但它們?nèi)匀皇莾蓚€相同的函數(shù).在研究函數(shù)時必須注意它的定義域.在實際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義來確定的.如例1中定義域為D=(0，＋∞)，例2中定義域為D=［0，T］，例3中定義域為D=［0，200).在數(shù)學(xué)中，有時不考慮函數(shù)的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數(shù)，這時約定函數(shù)的定義域就是使得這個式子的運算有意義的所有實數(shù)值.這種定義域又稱為函數(shù)的自然定義域.【例4】二、函數(shù)的基本概念通常情況下，求函數(shù)定義域時要注意以下幾點：(1)分式中分母不能為零.

(2)偶次根式中，被開方式的值非負.

(3)對數(shù)式中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1.

二、函數(shù)的基本概念【例5】二、函數(shù)的基本概念【例6】圖1-10二、函數(shù)的基本概念若自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值，對應(yīng)的函數(shù)值總是唯一的，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).

例如，方程x2+y2=a2在閉區(qū)間［－a,a］上確定了一個以x為自變量、y為因變量的函數(shù).對每一個x∈(－a,a)，都有兩個y值(±a2－x2)與之對應(yīng)，因而y是多值函數(shù).二、函數(shù)的基本概念若無特別聲明，函數(shù)均指單值函數(shù).注