周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)前面介紹了函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的條件及冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用，從中可看出，冪級(jí)數(shù)無論在理論上還是實(shí)際上都具有重要的作用,但它有兩個(gè)比較苛刻的條件，一是要求函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，二是級(jí)數(shù)的部分和只在某一點(diǎn)的附近才與函數(shù)有較為理想的近似,而實(shí)際問題中的函數(shù)往往比這條件要弱得多(不可導(dǎo)，不連續(xù))，因此在實(shí)際應(yīng)用中冪級(jí)數(shù)受到較大的限制.如何找到展開條件較弱且更為簡(jiǎn)單的函數(shù)來代替冪級(jí)數(shù)？這是擺在當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家面前的一個(gè)難題.直到18世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家傅里葉在研究熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了周期函數(shù)可用一系列正弦函數(shù)Ansin(nωt+φn)組成的級(jí)數(shù)來表示,這個(gè)表示比冪級(jí)數(shù)展開的條件要弱得多，且它的部分和在連續(xù)點(diǎn)與函數(shù)吻合得非常理想.因此,傅里葉級(jí)數(shù)比冪級(jí)數(shù)在工程中的應(yīng)用更加廣泛.周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、三角函數(shù)系的正交性函數(shù)系1,cosx,sinx，cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…(11-5)

稱為三角函數(shù)系.三角函數(shù)系(11-5)中任意兩個(gè)相異函數(shù)的乘積在區(qū)間［π,π］上的積分等于零，即∫π－πcosnxdx=0(n=1,2,3,…),∫π－πsinnxdx=0(n=1,2,3,…),∫π－πsinkxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,…),∫π－πcoskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,…;k≠n),∫π－πsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,…;k≠n).這個(gè)性質(zhì)為三角函數(shù)系的正交性.一、三角函數(shù)系的正交性在三角函數(shù)系(11-5)中，兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間－π,π］上的積分不等于零，即∫π－π1dx=2π，∫π－πsin2nxdx=π(n=1,2,3,…)，∫π－πcos2nxdx=π(n=1,2,3,…).二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)首先討論第一個(gè)問題：假定f(x)能展成三角級(jí)數(shù)(11-4)，如何求出系數(shù)an,bn?假定f(x)以2π為周期，且能展成逐項(xiàng)可積的三角級(jí)數(shù)(11-6)二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)這個(gè)級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù).二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)一個(gè)定義在(-∞，+∞)上周期為2π的函數(shù)f(x)，若它在一個(gè)周期上可積，則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).但是，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂？如果它收斂，它是否一定收斂于函數(shù)f(x)？一般來說，這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的.再討論第二個(gè)問題：三角級(jí)數(shù)(11-4)在什么條件下收斂于f(x)？這個(gè)問題直到1829年才由狄利克雷完全解決.二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理11(收斂定理，狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù).若f(x)滿足在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且(1)當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于f(x).(2)當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)際上，不論x是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)還是間斷點(diǎn)，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)均收斂于該點(diǎn)處函數(shù)的左、右極限的算術(shù)平均值.因?yàn)楫?dāng)x是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，有二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)【例47】設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在(－π,π］上的表達(dá)式為二、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)【例49】設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，將函數(shù)f(x)=x(－π≤x＜π)展開成傅里葉級(jí)數(shù).三、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)

上面所討論的都是以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的問題，如果函數(shù)以2l為周期，又如何展開成傅里葉級(jí)數(shù)呢？下面的定理回答了這個(gè)問題.三、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理12設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為三、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)三、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)【例51】三、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)四、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式在電子技術(shù)中，常常使用傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式.設(shè)周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為(11-8)四、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式四、以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式四、以2l為周期的函數(shù)展