正定二次型和正定矩陣

正定二次型和正定矩陣正定二次型和正定矩陣正定二次型一、定義7-7設f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一個實二次型.如果對于任意一個非零實向量α=(a1,a2,…,an)T，均有f(a1,a2,…,an)=αTAα>0（7-19）則稱f(x

1,x

2,…,x

n)是一個正定二次型.首先，給出關于正定二次型的兩個結論.定理7-5二次型f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n

是正定的當且僅當di>0,i=1,2,…,n.證明充分性：顯然，對于任意的非零實向量α=(a1,a2,…,an)T，均有αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0

因此，原二次型是正定的.必要性：利用反證法，假設存在某個i使得di≤0，那么取向量β=εTi，即第i個n維單位向量，于是f(0,…,0,1,0,…,0)=βT

Aβ=di≤0

這與二次型的正定性矛盾.因此di>0,i=1,2,…,n.定理7-6非退化線性替換保持二次型的正定性，即經過一次非退化線性替換前后的二次型具有相同的正定性.證明設是一個正定二次型，對這個二次型經過一次非退化的線性替換（7-20）將其化成（7-21）則α也是一個非零向量.否則，若α=0，由P是可逆矩陣，β=P－1α=0，與β是非零向量矛盾.又因為g(b1,b2,…,bn)=βT(PTAP)β=(Pβ)TA(Pβ)=αTAα且f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定的，所以g(b1,b2,…,bn)=βTBβ=αTAα>0

從而g(y1,y2,…,yn)是正定二次型.由于非退化線性替換是可逆的變換，所以式（7-21）的二次型可以由非退化線性替換Y=P－1X

變到式（720）的二次型，且根據上面的討論，當g(y1,y2,…,yn)正定時，f(x1,x2,…,xn)也是正定的.于是，非退化線性替換保持二次型的正定性.由定理7-5和定理7-6看出：（1）如果一個二次型f(x1,x2,…,xn)是標準形式，那么根據定理7-5，能很容易地判別它是否正定.（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是標準形式，那么可以經過一次非退化的線性替換X=PY將其化成標準形式d1y21+d2y22+…+dny2n（7-22）這個二次型與原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，從而可以判別原二次型是否正定.由于f(x1,x2,…,xn)的標準型式（7-16）中大于0的di的個數，即為f(x1,x2,…,xn)的正慣性指數，因此，得到以下的定理.定理7-7

二次型f(x1,x2,…,xn)是正定的當且僅當其正慣性指數是n.正定矩陣二、定義7-8設A是一個n階實對稱矩陣.如果二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX

是正定二次型，具體地說，對于任意非零n維向量α=(a1,a2,…,an)

T，均有αTAα>0，則稱A是一個正定矩陣.c根據正定矩陣的定義，若要判別一個對稱矩陣A是否正定，按照前面的討論，可以利用一個非退化的線性替換X=PY，將二次型XTAX化成標準型（與其具有同樣正定性）YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n

從而，利用正定二次型的判別定理，判別XTAX的正定性，也就得到了A的正定性.但是，更希望從矩陣的本身，直接判別其是否正定.由于標準形式的二次型f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n

的矩陣是對角矩陣于是，根據定理7-5，有以下的定理.（7-23）定理7-8n階對角矩陣式（7-17）是正定矩陣當且僅當di>0,i=1,2,…,n.根據第二節(jié)的討論，二次型通過一次非退化線性替換化成標準型，對與之相對應的矩陣來說，存在一個可逆矩陣P，使得二次型的矩陣A合同于一個對角矩陣，即這樣，由定理7-1和定理7-6可得如下的定理.定理7-9合同的兩個矩陣具有相同的正定性.定理7-10設A是一個n階實對稱矩陣，則下列命題是等價的：（1)A是正定的.（2)二次型XTAX是正定的.（3)A合同于單位矩陣E，即A=E.（4)存在可逆矩陣P，使得A=PTP.（5)A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0.證明“（1）（2）”即為正定矩陣的定義.我們將其列出只是為了說明，下面的判別矩陣正定的充要條件，也可以作為判別二次型正定的方法.“（1）（3）”A是正定矩陣，根據第六章的定理6-19，對于實對稱矩陣A，存在正交矩陣Q，使得由定理7-8和定理7-9知λi>0,i=1,2,…,n.令“（5）（1）”由于A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0，再根據第六章的定理6-19，對于實對稱矩陣A，存在正交矩陣Q，使得其中λ1,λ2,…,λn是矩陣A的特征值.由定理7-8和定理7-9知，A是正定矩陣.推論7-1

正定矩陣A的行列式|A|>0.證法一由定理的等價條件（4），存在可逆矩陣P，使得A=PTP.于是|A|=|PT||P|=|P|2>0證法二由定理的等價條件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0，于是|A|=λ1λ2…λn>0為了給出一個更方便的判別矩陣正定的方法，引入如下定義.定義7-9設A=(aij)是一個n階方陣.將A的子式稱為A的順序主子式.也就是說，A的第i個順序主子式就是A的前i行前i列交叉位置的元素，按照原來的位置構成的子式.定理7-11設A是一個n階實對稱矩陣，則二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX

是正定二次型（或者說，A是正定矩陣）當且僅當A的順序主子式均大于0.證明必要性.設二次型f(x1,x2,…,xn)的具體形式為顯然fk(x1,x2,…,xk)也是一個以x1,x2,…,xk為變元的二次型，其對應的矩陣為Ak的行列式|Ak|即為A的k階順序主子式Pk.下面證明fk(x1,x2,…,xk)是正定的.事實上，對于任意的一個k維非零向量α=(c1,c2,…,ck)，由f(x1,x2,…,xn)是正定的，則有于是，根據定理7-10的推