2024屆河北武邑中學高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

2024屆河北武邑中學高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知雙曲線C:毛-與⑦>0）的焦距為2c,過左焦點耳作斜率為1的直線交雙曲線C的右支于點若線

ab

段PR的中點在圓0：/+），2=。2上，則該雙曲線的離心率為（）

A.0B.2垃C.6+1D.272+1

41

2.已知曲線），=“i+l（a>0且過定點小/），若加+〃=/?且〃?>（）,〃>（）,則一十一的最小值為（）.

tnn

95

A.-B.9C.5D.-

22

2020

3.著名的斐波那契數(shù)列｛%｝：1,b2,3,5,8,…，滿足4=。2=1，?！?2=?！?1+?！?，"N"，若&=2。2〃-1，

n?l

則&=（）

A.2020B.4038C.4039D.4040

4.設直線/過點A（0「l）,且與圓C：f+）,2一2）,=0相切于點8,那么黃.震二（）

A.±3B.3C.GD.1

22

5.已知斜率為-2的直線與雙曲線C:+-親■=1（?！?力〉0）交于兩點，若M（%,為）為線段中點且

kOM=-4（。為坐標原點），則雙曲線。的離心率為（）

A.V5B.3C.V3D.

4

0(M

6.設。=logo.()80-04,b=log030.2,c=0.3,則。、b>c的大小關系為()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

7.已知函數(shù)/(外二*一"1)爐，若2"二log2〃=c,則()

A.<fic)B.fib)<fic)<fia)

C.1a)<f(c)<f(b)D.f(c)<fib)<fia)

8.設全集為R,集合A={x|0<x<2},B={x\x>l}t則An&8)=

A.{x|0<x<1}B.1^|0<x<1|C.{x|l<x<2}D.{x|0<x<2}

9.已知3+ai=b-(2a-\)i,貝!||3。+萬|=()

A.VioB.2x/3c.3D.4

卜-2,(x210)

10.設fM=W(x+6)L(x<10)廁/⑸=()

A.10B.11C.12D.13

11.△ABC是邊長為2G的等邊三角形，E、尸分別為AB、AC的中點，沿E/把..AM折起，使點A翻折到點

P的位置,連接依、PC,當四棱錐P—3CWE的外接球的表面積最小時，四棱錐莊的體積為（）

A5g3x/3「瓜n3G

A.-----RBe------C.I）.-------

4444

12.將函數(shù)/（x）=氐in2x-cos2x向左平移聿個單位，得到g3的圖象，則g（x）滿足（）

A.圖象關于點（5,0）對稱，在區(qū)間（0,（）上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2,圖象關于點01對稱

C.圖象關于直線x=￡對稱，在三9上的最小值為1

6L123_

D.最小正周期為萬，g（X）=l在0,y有兩個根

4_

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.圖（1）是第七屆國際數(shù)學教育大會（/CME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2））,其

中04,=AA?=A?4=■■■=AjA^=1,則44?4A的值是.

(I)(2)

x-\<0

14.變量工，),滿足約束條件卜+>+120,則目標函數(shù)z=-2x+)，的最大值是一.

x-y+3>0

15.已知公差大于零的等差數(shù)列｛?！ǎ校?、Q、〃依次成等比數(shù)列，則幺的值是.

。2

16.已知函數(shù)>=f(x)的圖象在點例(3,/(3))處的切線方程是y=：x+2,則〃3)+/'(3)的值等于.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P—A3CD中，PD_L平面ABCO,底面A8CO是矩形，AD=PD,E,b分別是

CD,朋的中點.

D

(I)求證：七尸_|_平面

(II)設AB=&C=3,求三棱錐P—AE2的體積.

18.(12分)已知函數(shù)=f-工+〃lnx(?<0),且/(大)只有一個零點.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若』<x2,且/(%)=/(￡)，證明：西+工2>2.

19.(12分)我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁

瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,

得到其辦理手續(xù)所需時間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表：

時間[0,2)[24)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)

人數(shù)156090754515

(1)若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60

人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間

與是否流動人員”有關.

列聯(lián)表如下

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

60

時間超過4天

總計2109030()

(2)為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為［8,12)流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動

人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為［10,12)的人數(shù)為求出J分布列及期望值.

嘰。2_n(ad-bc)2

附：K_

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.05().0100.005

及02.7063.8416.6357.879

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=ln」--?之+1他之。).

2x

(1)討論函數(shù)Ax)的極值點的個數(shù)；

(x)+3..

(2)若Ar)有兩個極值點七,々，證明f_/->7一,2.

Ai?A->今

22

21.(12分)己知橢圓￡：￡+￡=1(〃>〃>())的左、右焦點分別為6和匕右頂點為A，且|A/=3,短軸

長為26.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若過點A作垂直刀軸的直線/,點丁為直線/上縱坐標不為零的任意一點，過工作7K的垂線交橢圓E于點?和

Q,當四=述時，求此時四邊形TP￡Q的面積.

IP0I24

22.(10分)己知｛4｝為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，S“為｛q｝的前八項和，若。3為5%和《3的等比中項，$=49.

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式；

22222018

（2）若<=-------1-----------1----------------1-...H--------,求最大的正整數(shù)〃，使得7歷

aia202a3+a4anan+\

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設線段尸G的中點為A,判斷出A點的位置，結合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設線段尸G的中點為A,由于直線匕尸的斜率是1,而圓。：/+_/=°2,所以4(0,c).由于。是線段耳人的中點,

所以歸月=2|OA|=2c,而|P￡|=2|A耳|=2x缶=20c,根據雙曲線的定義可知歸耳卜歸瑪|=2a,即

c2I-

2億-2。=2小即片^r'2+L

故選：c

【點睛】

本小題土要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔

題.

2、A

【解析】

41

根據指數(shù)型函數(shù)所過的定點，確定&=1/=2,再根據條件加+〃=2,利用基本不等式求一+一的最小值.

mn

【詳解】

定點為。,2),

:.k=\yb=1,

m+a=2

當且僅當％=四時等號成立,

nrn

429

即機=一,〃=一時取得最小值一.

332

故選：A

【點睛】

本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.

3、D

【解析】

計算代入等式，根據。〃+2=。向+為化簡得到答案.

【詳解】

q=1,%=2,%=3,故％+%=%，

2020

Z4/1-1=4++…+”4039=+a5+%+—+&039=R+%+…+“4039=…="4040，

n=\

故k=4040.

故選：0.

【點睛】

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學生的計算能力和應用能力.

4、B

【解析】

過點A((),—l)的直線/與圓C：d+)，2y=0相切于點3,可得BA-8C=0?因此

ABAC=AB^AB+BC^AB^AB-BC=AC?./,即可得出.

【詳解】

由圓C：x2+y2-2y=0配方為V+(>'-1)2=1,

C(O,1),半徑r=1.

丁過點4（0,-1）的直線/與圓C：/+）,2-2丁=0相切于點8,

?-ABBC=0i

2222

：.ABAC=AB^AB+BC）=AB+ABBC=AB=AC-r=3i

故選：B.

【點睛】

本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎題.

5、B

【解析】

設A（x，yJB（馬,%）,代入雙曲線方程相減可得到直線A3的斜率與中點坐標之間的關系，從而得到的等式，求

出離心率.

【詳解】

2&=-4,

跖

設4（內,），1）,5。2，必），則〈，）,

三一五=1

a-b2

兩式相減得）=0,

a-b~

%一/a（X+%）al47a-Ncr

故選：B.

【點睛】

本題考杳求雙曲線的離心率，解題方法是點差法，即出現(xiàn)雙曲線的弦中點坐標時，可設弦兩端點坐標代入雙曲線方程

相減后得出弦所在直線斜率與中點坐標之間的關系.

6、D

【解析】

因為“=logons。皿=2log。0s0.2=log^^0.2>log1=0,b=log030.2>log031=0,

所以?!■二log02，0.08,1=log()20.3且y=log02x在((),+8)上單調遞減，且,().()8<().3

所以一所以8>a,

ab

又因為。=log向而0.2>log而麗而麗=1,c=O.3o(M<O.3°=b所以

所以Z?>a>c.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調性比較指對數(shù)的大小，難度一般,除了可以直接利用單調性比較大小，還可以根據中間

值“()』”比較大小.

7、C

【解析】

利用導數(shù)求得了(“在(。,”)上遞增，結合)，=。與y=2\y=log?x,y=x圖象，判斷出。涉,c的大小關系，由此

比較出/(a)J優(yōu))J(c)的大小關系.

【詳解】

因為/4》)=(x?a)e],所以/(x)在3,田)上單調遞增；

在同一坐標系中作>'=c,與y=2\y=log2x,y=x圖象，

T=log2b=cf可得.vcvZ?,故/3)</(c)</S).

故選：C

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用函數(shù)的單調性比較大小，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于

中檔題.

8、B

【解析】

分析：由題意首先求得然后進行交集運算即可求得最終結果.

詳解：由題意可得：CRB={X\X<\},

結合交集的定義可得：Ac(CM)={0<x<l}.

本題選擇B選項.

點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

9、A

【解析】

根據復數(shù)相等的特征，求出3。和人，再利用復數(shù)的模公式，即可得出結果.

【詳解】

因為3+5=h-(2。-1?,所以]"‘二'I、，

[-⑶-1)=4,

叫%3=13,

則|3々+譏?|=|l+3i|二J『+32=回?

故選：A.

【點睛】

本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模，屬于基礎題.

10、B

【解析】

根據題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉化為求應10內的函數(shù)值，代入即可求出其值.

【詳解】

x-2(x>10)

/[/(x+6)](x<10)

.V(5)=/|/⑴]

=/(9)=;|/(15)]

=/(13)=1.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎題.

11、D

【解析】

首先由題意得，當梯形3CFE的外接圓圓心為四棱錐P-ACFE的外接球球心時，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn),

的中點即為梯形莊的外接圓圓心，也即四棱錐。一3。尸石的外接球球心，則可得到PO=OC=G，進而可

根據四棱錐的體積公式求出體積.

【詳解】

如圖，四邊形3CFE為等腰梯形，則其必有外接圓，設。為梯形3CEE的外接圓圓心，

當。也為四棱錐P-ACFE的外接球球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過A作的垂線

交BC于點M,交EF于氤N,連接PM,PN,點。必在AM上，

E、尸分別為A3、AC的中點，則必有AN=PN=MN,

ZAPM=90，即△ARW為直角三角形.

對于等腰梯形8CEE,如圖:

因為.ABC是等邊三角形，E、F、M分別為AB、AC、BC的中點,

必有MB=MC=MF=ME,

所以點M為等腰梯形8CFE的外接圓圓心，即點。與點M重合，如圖

212

po=OC=^BC=y/3fPA=ylAO-PO=73-3=>/6>

所以四棱錐P-BCbE底面BCFE的高為POPA=6又瓜=72,

AM3

Vp_BCFE=gSBCH■:h=：sA8C〃=Jx]x；x2Gx3x點

JJJ44?

故選：D.

【點睛】

本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關鍵是要找到外接球球心的位置，這個是一個難點，考查了學生空間想象能力

和分析能力，是一道難度較大的題目.

12>C

【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結合正弦函數(shù)的圖象與性質即

可判斷各選項.

【詳解】

函數(shù)/(A)=也sin2x-cos2x，

貝"(x)=2sin"lx——

X6J

將/*)=2sin向左平移[個單位,

I6J6

可得g（"=2sin

萬nkjr

由正弦函數(shù)的性質可知，g(x)的對稱中心滿足2x+w=k;r/eZ,^x=-—+—9keZt所以A、B選項中

6122

的對稱中心錯誤；

對于3g(x)的對稱軸滿足2/1=工+2丘,丘2,解得,“^+女凡&Z,所以圖象關于直線尤=^對稱；當

6266

71乃715乃

時，2x+—G,由正弦函數(shù)性質可知2sin2x4--w[1,2],所以在—上的最小值為1,

6O/14。

所以C正確;

對于D,最小正周期為2上乃二4，當工￡0,7￡1,2.r+^71e712乃，由正弦函數(shù)的圖象與性質可知，2sin2/+與=1

21_4」6|_663」16J

時僅有一個解為x=0,所以D錯誤；

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、叵

7

【解析】

先求出向量A4和4A夾角的余弦值，再由公式即得.

【詳解】

如圖，過點A作44的平行線交。4于點〃，那么向量兒4和44夾角為N8&4,?.?/。44=90,

N&84=90，二乙線。4=0A=4A?=1,且△。44是直角三角形，=&，同理得

O\=J6,C>4=\/7，.二cos（A4,44）=sinNA4O=^^=半，一?A4.44=lx1x半

4。77yjl7

故答案為，牛

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關鍵是找到向量A4和4A的夾角?

14、5

【解析】

x+『+l=0x=-2

由J可得，

x-j+3=0）'=1

可得A（—2,l）,

目標函數(shù)z=-2大+y變形為y=2x+z,

平移直線y=2x+z,

當直線y=2x+z經過A(-2,l)時，

可得z=-2x+y有最大值4+1=5,

故答案為5.

點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線)；(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內平移變

形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的定點就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.

15、2

4

【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項的性質，化簡求出公差與生的關系，然后轉化求解組的值.

【詳解】

設等差數(shù)列｛q｝的公差為"，則d>0,

由于〃2、。6、a\l依次成等比數(shù)列，則=%的，即(生+4df=出(啰+1。4)，

…q,a,+10d18d9

解得%=8",因此，上:二------=—=T.

a2a28d4

_9

故答案為：

4

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式以及等比中項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

10

16、—

3

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義即可解決.

【詳解】

由己知，/(3)=1,/(3)=1x3+2=3,故f(3)+/(3)=與.

JJJ

故答案為：—.

【點睛】

本題考杳導數(shù)的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別，本題屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)見解析(n)2

4

【解析】

(I)取Q4中點G,連R7,GD,根據平行四邊形，可得EF//DG,進而證得平面Q43_L平面PAO,利用面

面垂直的性質，得/)G_L平面又由EF//DG,即可得到石下_L平面

(II)根據三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.

【詳解】

(I)取24中點G,連bG,GD,

由FG//AB,FG=LAB,ED//AB,ED=LAB,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EDGb是平行四邊形，則M//OG,

又夕。，平面A3c。，???平面LT面A8CD,

???43_14。=43_1_平面24。，A6u平面???平面946_￡平面PAD,

?:PD=AD,G是A4中點，則QG_LQ4,而。Gu平面以OnQG_L平面

而EF//ZX7,??.￡F_L平面Q4B.

(II)根據三棱錐的體積公式，

得^P-AEF=^B-AEF=^F-BAE=T^P-BAE=TXTX^ABAEXp。

JJJ

=-x—x—x3x5/3x-Vs=—.

2324

【點睛】

本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位

置關系的判定定理和性質定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎

題.

18、(1)。=一1(2)證明見解析

【解析】

(1)求導可得在］匕手迎,+8上費x)>0,在0.匕上用x)v0,所以函數(shù)八力在尸！±正藥吐

取最小值,由函數(shù)/(“只有一個零點，觀察可知/(1)=0則有匕與刎=|,即可求得結果.

(2)由(1)可知/(1)=0為最小值則。<1<與構造函數(shù)

A(x)=f(x)-/(2-x)=2A-2-lnx+ln(2-x)(0<x<l)，求導借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得

〃(%)＞硝)=°，即〃(與)=/&)-/(2-斗)＞()則有/(2-％)＜/(%),由已知/(%)=/(/)可得

/(2-^,)＜/(X2),由芯＜1,可知2-玉＞1,因為入-＞］時,/(x)為增函數(shù)，即可得2-玉＜出證得結論.

【詳解】

(1)f,(x)=2x-\-h-=2x~X+a(x＞0).

XX

因為。＜0,所以1一8。＞0,

令/＜勺=0得$=1—

1+\Jl—Sa

x＞=---------,

-4

且王＜0,x2＞0,在1l+'j^+g］上/,x)＞0；

在01+4^上/＜勾＜0；

所以函數(shù)/(X)在XJ+13面時,取最小值，

當最小值為。時，函數(shù)“X)只有一個零點，

易得/(1)=0,所以匕嚀迎=|,

解得。=—1.

(2)由(1)得4=一1,函數(shù)/(x)=/-x-lnx,

設/@)=/(工2)=機(機＞0),則0＜工|＜1＜七，

/i(x)=/(x)-/(2-x)(0＜x＜l),

則/?(%)=x2-x-lnx-(2-x)~+(2-x)4-ln(2-x)=2x-2-lnx4-ln(2-x),

ii77

li(x)=2---------=2---^—＜2------=一-=0

x2-xx(2-x)(彳+2-x、”＞

所以〃(同為減函數(shù)，所以力(大)＞力(1)=0,

即〃（％）=/（X）-/（2-X）＞。，

所以廣（2-%）＜，（.）,即）（2—玉）＜/（電），

又為＜1,所以2-玉＞1,

又當戈＞1時，/（“為增函數(shù)，

所以2-占＜々，即％+々＞2.

【點睛】

本題考查借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值，考查學生分析問題的能力，及邏輯推理能力，難度困難.

3

19、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，

4

【解析】

（1）根據題意，結合已知數(shù)據即可填寫列聯(lián)表，計算出K2的觀測值,即可進行判斷：

（2）先計算出時間在［8,10）和［10,12）選取的人數(shù)，再求出J的可取值，根據古典概型的概率計算公式求得分布列,

結合分布列即可求得數(shù)學期望.

【詳解】

（1）因為樣本數(shù)據中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續(xù)

所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下：

辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

453075

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

16560225

時間超過4天

總計21090300

結合列聯(lián)表可算得心部”二答.4762＞3和.

有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.

（2）根據分層抽樣可知時間在［8,10）可選9人，時間在［10,12）可以選3名,

故4=0,1,2,3,

廠21C2Cl27

則。(4=0)=看_一，24=1)=*=一,

C，55"%55

尸(—=普*，尸3)=等4

可知分布列為

40123

2127271

P

5555220220

—rJ八，、21272713

可知E(4)=0x—+lx—+2x---+3x---=—.

55552202204

【點睛】

本題考查獨立性檢驗中K?的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.

20、(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)求得函數(shù)/(x)的定義域和導函數(shù)f(x),對。分成。＜)三種情況進行分類討論，判斷出/(x)

OO

的極值點個數(shù).

If(x.)+/(x,)aI

(2)由(1)知。￡((),一),結合韋達定理求得知七的關系式，由此化簡~一::一一的表達式為2aln-+—+2。，

8%+占22

通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)證得2aln二+7+2〃＞：-ln2,由此證得八＞了一皿2成立.

224玉+/4

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)=In--at24-x=-In2x-ar2+x的定義域為ve(0,+oo)

2x

田g/、1c1—2av~+x—I

得/(x)=----2ax+1=-----------,xG(0,+oo),

XX

x—1

(i)當〃=0時；/(幻二:---,

X

因為xw(0,1)時，/(x)<0,工6(1,”)時，/'(%)>0,

所以X=1是函數(shù)/(X)的一個極小值點;

5)若八0時，

若A=l—&/W0,即。2三時，/（x）<0,

8

/（X）在（0,+8）是減函數(shù)，/1）無極值點.

若△=1一8。>0,即時，

O

（）有兩根小毛，

fx=2ad-x+l=0%+x2

...X]>0,^2>0不妨設0<Xj<x2

當XW（0,X］）和^^（馬，內）時，八幻<0,

當不€（大|,々）時，fM>0,

二.對馬是函數(shù)“幻的兩個極值點，

綜上所述。=（）時，僅有一個極值點；

a大!時，/（X）無極值點；0<a<:時，/（刈有兩個極值點.

88

（2）由（1）知，當且僅當。￡（0,二）時，/（X）有極小值點當和極大值點々，且玉，公是方程2ad-工+1=0的兩

根,

11皿

「?X+工2二五'則

/每)八，、/c、

/(X!)+12,1

所以—------"-=(ln-------ax；+x14-ln-------or；+x,)?(2〃)

M+x22x,2X2

=[-(In2M+In2X2)-+工；)+(芭+x2)]-2a

=[-ln(4x1x2)-Q(X；+x；)+a+x2)]-2a

1

-)+—]-2a

a2a

設g(。)=2。1114+工+2。，貝!)g(a)=2111且+4,又a￡(()」)，即

2228216

所以，(〃)=21110+4<21!1-!-+4=-41114+4<0

216

113

所以g(。)是(0,-)上的單調減函數(shù)，g(a)>g匕)=:—In2

884

fM+fM3,.

???/(x)有兩個極值點內，x”則,/[\->J。?

?Vi"■人■

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與

轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

如⑴:?、飘?/p>

【解析】

a+c=3

（1）依題意可得〃,解方程組即可求出橢圓的方程;

a2=b~+c2

（2）設r（2,一6）（加工0）,則|明二〃2+1,設直線PQ的方程為X=〃zy+1,聯(lián)立直線與橢圓方程，消去X,設

P（X，X），Q（w，乂），列出韋達定理，即可表示10。1,再根據鵠=呼求出