數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2023高考數(shù)列專題——數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

一、數(shù)列的單調(diào)性

解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法

(1)作差比較法：根據(jù)?！ā币?〃的符號判斷數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；

(2)作商比較法：根據(jù)誓或小<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；

(3)函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷.

例1(2022?滕州模擬)設(shè)數(shù)列｛m｝的通項公式為斯=爐+加，若數(shù)列｛〃”｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取

值范圍為()

A.[1,+8)B.(-3,+8)

C.(-2,+8)D.(-/+8)

例2若數(shù)列｛斯｝滿足如=—2層+加-1,且｛?。沁f減數(shù)列，則實數(shù)攵的取值范圍為

跟蹤練習(xí)

1、已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為猾，那么這個數(shù)列是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列

2、請寫出一個符合下列要求的數(shù)列｛小｝的通項公式:①｛為｝為無窮數(shù)列;②｛斯｝為單調(diào)遞增數(shù)列;③0?“<2.這

個數(shù)列的通項公式可以是.

3、(2022?綿陽模擬)在數(shù)列僅“｝中，。1=1,m+2a2+3a3H------\~nan=^~^~an+\.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

(2)若存在〃￡N",使得詼W(〃+1)A成立，求實數(shù)人的最小值.

二、數(shù)列的周期性

解決數(shù)列周期性問題的方法

根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項的值或者前〃項的

和.

例3、若數(shù)列｛m｝滿足卬=2,知+|=老(〃￡N)則該數(shù)列的前2023項的乘積是()

A.2B.-6

C.3D.I

12

例4(2021?福建福清校際聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知與為數(shù)列｛〃”｝前〃項和，若卬=今且田產(chǎn)三

則6Sioo=()

A.425B.428

C.436D.437

跟蹤練習(xí)

1、（2022?福州模擬）已知數(shù)列｛斯｝滿足-,若田=不則“2023=（）

I1斯/

A.-1B.；

C.1D.2

三、數(shù)列的最大（?。╉?/p>

求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)｛x）當(dāng)x￡N”時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)力（）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用

求函數(shù)最值的方法，求出?r）的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（小）項；

斯-]9\dn^Cln-1

（2）通過通項公式小研究數(shù)列的單調(diào)性，利用|、（〃22）確定最大項，利用彳_9（〃22）

確定最小項；

（3）比較法：若有如+i—〃”=/（〃+1）—/（〃）>0（或〃“>0時，W*l），則則數(shù)列｛“”｝是遞增數(shù)列，

所以數(shù)列｛斯｝的最小項為ai=yu）；若有④+i—a〃=ys+i）一4〃）<0（或小>0時，箋Li），則即1〈斯，則數(shù)

列｛斯｝是遞減數(shù)列,所以數(shù)列｛如｝的最大項為

例5（2022?金陵質(zhì)檢）已知數(shù)列｛m｝滿足0=28,如產(chǎn)=2,則等的最小值為（）

A.yB.477-1C.yD.今

例6已知數(shù)列｛m｝的通項公式則數(shù)列｛斯｝中的最大項是第項.

跟蹤練習(xí)

fi-2

1、已知數(shù)列｛3｝的通項公式為小=萬=F，前〃項和為s〃，則當(dāng)s“取得最小值時〃的值為.

2、已知遞增數(shù)列｛斯｝,如20,0=0.對于任意的正整數(shù)小不等式尸一居一3,-3%忘0恒成立，則正數(shù)/

的最大值為（）

A.1B.2

C.3D.6

3、（2022?重慶模擬）設(shè)S”為等差數(shù)列｛〃〃｝的前n項和，且滿足S2oi8>O，S2oi9<O，Xr任意正整數(shù)〃，都有|叫?㈤，

則k的值為（）

A.I008B.1009

C.1010D.1011

4、（多選）已知數(shù)列｛小｝滿足a〃=〃?K（〃￡N，04<l）,下列命題正確的有（）

A.當(dāng)1=4時,數(shù)列A”｝為遞減數(shù)列

4

B.當(dāng)2=5時，數(shù)列｛m｝一定有最大項

C.當(dāng)0<上4時，數(shù)列｛m｝為遞減數(shù)列

D.當(dāng)占為正整數(shù)時，數(shù)列｛m｝必有兩項相等的最大項

5、已知數(shù)列｛6｝的通項公式斯=",若“is?…”“Wars?…?詼對〃WN+恒成立，則正整數(shù)k的值為.

四、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題

例7（2022?珠海模擬汜知函數(shù)丫=危+1）的圖象關(guān)于），軸對稱，且函數(shù)危）在（1,+8）上單調(diào)，若數(shù)列｛&,｝

是公差不為0的等差數(shù)列，且八。4）=/如而，則｛?。那?1項之和為（）

A.0B.

C.21D.42

跟蹤練習(xí)

1、（2022?舟島模■擬）等比數(shù)列｛〃“｝的各項均為正數(shù)，的，“6是函數(shù)7（X）=￥—3，+8x+l的極值點(diǎn)，則log2m

+log2tt2H-----bl0g2?10=（）

A.3+Iogz5B.8

C.10D.15

2、已知等比數(shù)列伍”｝的公比乃1,?,-2,且0，a2,你一8成等差數(shù)列.

（1）求出數(shù)列｛仇｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列用的前〃項和為S”任意〃wM,S〃W加恒成立，求實數(shù)機(jī)的最小值.

3、[2022?東莞模擬）已知等差數(shù)列｛m｝的首項0=1,公差為d,前〃項和為S”.若S,WS8恒成立，則公差

d的取值范圍是.

高考數(shù)列專題——數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（解析版）

一、數(shù)列的單調(diào)性

解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法

（D作差比較法：根據(jù)z+i—斯的符號判斷數(shù)列｛期｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；

(2)作商比較法：根據(jù)*(如＞0或如＜0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；

(3)函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷.

例1(2022?滕州模擬)設(shè)數(shù)列｛m｝的通項公式為斯=/+而，若數(shù)列(〃〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取

值范圍為(B)

A.[1,+8)B.(-3,+8)

C.[-2,+8)D.(一去+8)

解：;數(shù)列｛。〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列，工對任意的都有如+1＞小，??.(〃+1)2+伙〃+1)＞/+加，即

比＞一(2〃+1)對任意的〃￡“恒成立，又〃=1時，一(2〃+1)取得最大值-3,?二加＞一3,即實數(shù)力的取值范圍

為(一3,+0°).

例2若數(shù)列｛卬｝滿足〃”=—2層+加-1,且｛?。沁f減數(shù)列，則實數(shù)女的取值范圍為(一8,6).

2

解：解法一：由數(shù)列是一個遞減數(shù)列，得0J+1&G”又因為an=-2n-\-kn—\t所以一2(〃+1＞+2(〃+

1)-1〈一2層+加一1,k＜4〃+2,對〃WN",所以kv6.

k3

解法二：數(shù)列｛〃”｝的通項公式是關(guān)于〃(〃￡N?)的二次函數(shù)，???數(shù)列是遞減數(shù)列，???：$,「/〈S

跟蹤練習(xí)

1、已知數(shù)列｛內(nèi)｝的通項公式為?！?肅彳，那么這個數(shù)列是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列

解析：A由詼=3〃11'可得研|-0尸3"+4-3〃；1=(3〃+1；(3〃+4)丸故選A.

2、請寫出一個符合下列要求的數(shù)列(為｝的通項公式:①｛詼｝為無窮數(shù)列;②｛斯｝為單調(diào)遞增數(shù)歹U；?)4〃v2.這

個數(shù)列的通項公式可以是.

解析：因為函數(shù)3=2一[的定義域為N*,且4“=2-]在N*上單調(diào)遞增，0＜2-32,所以滿足3個條件

的數(shù)列的通項公式可以是。〃=2-1.

答案：斯=2一《答案不唯一)

3、(2022?綿陽模擬)在數(shù)列｛斯｝中，m=l,0+2a2+3s+…+也產(chǎn)"^\”+1.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)若存在〃￡N*,使得anW(〃+1)2成立，求實數(shù)2的最小值.

解：(1)：。1+2。2+3。3~1------/〃+i,.,.當(dāng)“22時，。［+2a2+3。3"1--------------------l-(n—l)?M-i=^an>

兩式相減得M="L”+I—前，即片=3(心2),

乙乙flCln

*.*ai=1,1=1.即。2=1,...^■^=2W3.

Z1-671

?.?數(shù)歹U5。〃｝是從第二項開始的等比數(shù)列，

工當(dāng)〃22時，有〃小=2X3””，

1,〃=1,

.“1京3〃-2,介2.

(2)存在使得a〃W(〃+l)2成立022含?有解，

①當(dāng)〃=1時，y=1,則2*,即Amin=4

②當(dāng)〃/時，鬲=訴，

設(shè)加尸篇，，喘=患＞］，?.必)單調(diào)遞增，

?*-/(W)min=/(2)=|,實數(shù)X的最小值是;.

由①②可知實數(shù)Z的最小值是提

二、數(shù)列的周期性

解決數(shù)列周期性問題的方法

根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項的值或者前〃項的

和.

例3、若數(shù)列｛小｝滿足0=2,卬+1=；)："(〃￡”),則該數(shù)列的前2023項的乘積是(3)

A.2B.-6

C.3D.I

解因為數(shù)列｛小｝滿足0=2,而*件(〃臥’)，所以做=田^罟二一3,同理可得G=一9，44

=1,05=2,…所以數(shù)列｛斯｝每四項重復(fù)出現(xiàn)，即為+4=%，且0?2&3g=1,而2023=505X4+3,所以

該數(shù)列的前2023項的乘積是4「42?。3“4」"0023=15°5乂〃［、42乂43=3.

例4(2021?福建福清校際聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知S〃為數(shù)列｛?。啊椇停舴?［且4"產(chǎn)W"(〃￡N)

則6SM=(A)

A.425B.428

C.436D.437

解：由數(shù)列的遞推公式可得：

2__4__2__,__2__-__2__1_

G=r^=3.2?as=^—=2=ax.

據(jù)此可得數(shù)列｛為｝是周期為4的周期數(shù)列，貝I：65IOO=6X25XQ+1+3-2)=425.

跟蹤練習(xí)

1、(2022?福州模擬)己知數(shù)列｛〃“｝滿足a〃+i=:二一?若。|=5，則42023=()

A.-1B.5

C.1D.2

解析：B由〃1=J,詼+1=775~得G=2,。3=—1，〃4=,，45=2,…，可知數(shù)列｛m｝是以3為周期的

周期數(shù)列，因此42023=43x674+1=。1=￡.

五、數(shù)列的最大(小)項

求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

(1)將數(shù)列視為函數(shù)?r)當(dāng)x￡N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)代?的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用

求函數(shù)最值的方法，求出|x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項；

、缶\an^an-\,

(2)通過通項公式為研究數(shù)列的單調(diào)怛，利用|、(〃22)確定最大項，利用＜?(〃22)

%)a〃+11

確定最小項；

(3)比較法：若有4〃+1—a〃=/(〃+1)—/(〃)＞0(或?。?時，與表＞1)，則則數(shù)列｛〃”｝是遞增數(shù)列，

所以數(shù)列｛斯｝的最小項為。1=/(1)；若有④+1—4〃=4〃+1)—/(〃)V0(或4”＞0時，食〃1)，則斯+1＜4”則數(shù)

列｛斯｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛知｝的最大項為0=41).

例5(2022?金陵質(zhì)檢)已知數(shù)列｛小｝滿足m=28,色千色=2,則年的最小值為(C)

A.yB.4^7-1C.yD.y

解：由斯+L。”=2〃，可得a〃=ai+(42—0)+(的一。2)+…+3〃一。“-1)=28+2+4+…+2(〃-1)=28

+〃(〃-1)=7?—〃+28,.,.與=〃+那一1,設(shè)式x)=x+§,可知/(x)在(0,，與］上單調(diào)遞減，在(、陷，+8)

上單調(diào)遞增，又且/=竽螳=學(xué).

例6已知數(shù)列｛知｝的通項公式斯=(〃+1)(￥＞，則數(shù)列｛“〃｝中的最大項是第項.

解：解法一：?.?如+借下"一（〃+借>=借>乂\^,

1—01=（〃+2）1）

當(dāng)n<9時，〃“+]—4〃>0,即

當(dāng)〃=9時，a〃+i—%=0,即即+i=m;

當(dāng)〃>9時，研1—斯<0,即an+\<an,

，該數(shù)列中有最大項，為第9、10項，

且。9=。10=l°X（if>.

解法二：根據(jù)題意，令、（〃22）,

3“力斯+i

7x（臥WM+1）（勖,

艮K,、，、解得9W〃W10.

”+l）G?）〃2（〃+2）G?H

又〃WN*,，〃=鄉(xiāng)或〃=10,

該數(shù)列中有最大項，為第9、10項，

且49=00=10X（$9

跟蹤練習(xí)

n-2

1、已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為斯=市外，前〃項和為&,則當(dāng)S”取得最小值時〃的值為

解析：當(dāng)a=--->0=>n=l或〃26,.?.&=（）,的<0,?4<0,的<0,故當(dāng)S”取得最小值時n的值為5.

n2〃一11

2、已知遞增數(shù)列｛〃"｝,。"20,m=0.對于任意的正整數(shù)〃，不等式r2一晶一3f—3a”W0恒成立，則正

數(shù)f的最大值為（）

A.1B.2

C.3D.6

解析：C因為數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，又產(chǎn)一居一3f—3a4=（f—如-3）（f+m）W0,f+a”>0,所以fWa”+3

恒成立，即/W（即+3）min=〃l+3=3,所以，max=3.

3、（2022?重慶模擬）設(shè)S〃為等差數(shù)列（〃〃）的前〃項和，且滿足S2oi8>O，52019<0?對任意正整數(shù)〃，都有

則的值為（）

k112MI，k

A.1008B.1009

C.1010D.1011

解析：C因為S20l8>0,S2019V0,所以m+々2018=41009+aiOlO>0,41+。2019=2。1010<0,所以41009>0,

aioioO,且⑶oo9>|aioiol，因為對任意正整數(shù)〃，都有I斯|冽*，所以<=1010,故選C.

4、（多選）已知數(shù)列｛小｝滿足4"=〃記（〃￡N*?0v%vl）,下列命題正確的有（）

A.當(dāng)仁刎，數(shù)列｛為｝為遞減數(shù)列

4

B.當(dāng)左=與時，數(shù)列｛斯｝一定有最大項

C.當(dāng)（X2<1時，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列

D.當(dāng)告為正整數(shù)時，數(shù)列｛〃”｝必有兩項相等的最大項

1K

解析：BCD當(dāng)左時，0=〃2=:,知A錯誤；當(dāng)女=?時，當(dāng)〃v4時，~~>h當(dāng)心4

時，￥」vl,所以可判斷｛〃〃｝一定有最大項，B正確；當(dāng)OvkvJ時，與'所以數(shù)列｛〃〃｝為

tin乙cifin

L|I1k

遞減數(shù)列，C正確；當(dāng)■;~~為正整數(shù)時，\>k^,當(dāng)左=5時，0=。2>。3>所>…，當(dāng)1>上>5時，令■;~r=〃?￡

N\解得％=一上，則答=學(xué)唱，當(dāng)〃=加時，知+|=如，結(jié)合B,數(shù)列｛為｝必有兩項相等的最大項，故

/Milcinnyin-ii）

D正確.故選B、C、D.

5、已知數(shù)列｛為｝的通項公式“等若aiwaWs…s對"WN*恒成立,則正整數(shù)k的值為

解析：斯=,當(dāng)后5時，an>\\當(dāng)〃26時，an<\,由題意知，ms??！锸牵ā保那啊棾朔e的最大值,

所以A=5.

六、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題

例7（2022?珠海模擬）已知函數(shù)尸兀v+1）的圖象關(guān)于），軸對稱，且函數(shù)於）在（1,+8）上單調(diào)，若數(shù)列｛為｝

是公差不為0的等差數(shù)列，且共出）=/3聞，則他〃｝的前21項之和為（C）

A.0B,苧

C.21D.42

解：由函數(shù)y=?r+l）的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)?x）在（1,+8）上單調(diào)，可得）,=貝外的圖象關(guān)于

直線x=l對稱，由數(shù)列｛?。枪畈粸?的等差數(shù)列，且1出）=/（4而，可得田+。M=2,又｛斯｝是等差數(shù)

t

列，所以0+。21=44+可8=2,可得數(shù)列的前21項和S2I=21（02■助）=2],則｛〃“｝的前21項之和為21.故

選.

跟蹤練習(xí)

1、（2022?青鳥模擬）等比數(shù)列｛處｝的各項均為正數(shù)，恁，%是函數(shù)兀0=*—3/+秋+