2025年北師版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第01講 等腰三角形（第1課時）

第01講等腰三角形（第1課時）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握AAS證明三角形全等；2．學(xué)會等腰三角形的性質(zhì)及證明；3.掌握等腰三角形中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)。知識點1知識回顧（七年級下冊）一、定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(AAS)已知：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°,∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E,∴∠C=∠F.又BC=EF,∠B=∠E,∴△ABC≌△DEF(ASA).七年級下冊給出的“全等三角形”的定義是“能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形”,“全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”則是由全等三角形的定義推出來的，本章很多證明都會用到它.因此，這里特別提出這一結(jié)論，以便后續(xù)證明使用.二、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.三、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形是軸對稱圖形.2.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱“三線合一”),它們所在的直線是等腰三角形的對稱軸.3.等腰三角形的兩個底角相等.知識點2等邊對等角、“三線合一”定理等腰三角形的兩底角相等.（簡述為：等邊對等角求證：∠B=∠C.分析：我們曾經(jīng)利用折疊的方法說明了這兩個底角相等(如圖1-2).實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等三角形.這啟發(fā)我們，可以作一條輔助線，把原三角形分成兩個全等的三角形，從而證明這兩個底角相等.證明：如圖1-3,取BC的中點D,連接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).交流與討論：你還有其他證明方法嗎?與同伴交流.想一想：在圖1-3中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)?為什么?由此你能得到什么結(jié)論?推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(也稱“三線合一”),知識點3等腰三角形中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)引入：在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等),你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結(jié)論嗎?例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖1-4,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.證明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).∵BD,CE分別平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=，∠2=.∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).交流與討論：等腰三角形兩腰上的中線相等嗎?高呢?還有其他的結(jié)論嗎?請你證明它們，并與同伴交流.議一議：如圖1-5,在△ABC中，AB=AC,點D,E邊AC和AB上.果呢?由此你能得到一個什么結(jié)論?結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE呢?由此你能得到一個什么結(jié)論?結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，∠AD=AC,AE=AB,那么BD=CE考點一：等腰三角形的定義例1．若一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則第三邊的長可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．2或4【變式1-1】．等腰三角形的頂角是，則它的底角是．【變式1-2】．等腰三角形的一邊長，另一邊長，則它的周長是（

）A． B． C．或 D．或【變式1-3】．已知等腰三角形有一個角是，則其頂角的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．或考點二：等邊對等角例2．在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2-1】．如圖，在中，，，點D、E分別在、的延長線上，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2-2】．如圖，在中，點在邊上，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-3】．如圖，在中，點D在上，，，將沿著翻折得到，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．考點三：根據(jù)等邊對等角證明例3．如圖，，，連接交于點O，．求證：．【變式3-1】．如圖，在中，，點D、E都在邊BC上，且，求證：．

【變式3-2】．如圖，已知和，，，，與交于點P，點C在上．求證：．【變式3-3】．如圖，在中，，過點A作且，連接．試說明：．考點四：根據(jù)等邊對等角求邊長或角度例4．如圖，在中，為中線，E為上一點，交于點F，且．求證：．【變式4-1】．如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點O與，分別相交于點M，N，且(1)若，請直接寫出的度數(shù)；(2)已知，，求的周長．【變式4-2】．如圖，在中，，點D、E、F分別在邊、、上，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式4-3】．證明體驗(1)思考探究如圖1，在中，點在邊上，點在邊上，，，與相交于點．求證：．(2)拓展延伸如圖2，在（1）的條件下，過點作的平行線交于點，若，，求的長．考點五：等腰三角形的“三線合一”例5．如圖，在中，，，若，則的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式5-1】．等腰三角形的“三線合一”指的是（

）A．中線，高線，角平分線互相重合 B．頂角的平分線，中線，高線三線互相重合C．腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合 D．頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三線互相重合【變式5-2】．對于運用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)定理的推理過程，下列合理的是（）A．∵，平分B．∵，平分，，C．∵，平分，，D．∵，∴【變式5-3】．如圖，在中，，，點E為的中點，于點F，則的長度為（

）

A．5 B．10 C．16 D．考點六：根據(jù)等腰三角形的“三線合一”求解或證明例6．如圖，在中，，點D在上．(1)若，則_______________．(2)若，則_______________．(3)若，則_______________．【變式6-1】．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．

求證：∠DBC=∠A．【變式6-2】．如圖，在中，，為的中線．點，分別在AB，上，且，連接DE，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式6-3】．如圖，中，，，點D在斜邊上，且，過點B作交直線于點E，過點A作于點F．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．考點七：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角問題例7．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是46°，則它的底角度數(shù)是．【變式7-1】．一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角度數(shù)為．【變式7-2】．如果一個等腰三角形其中一腰上的高與另一腰的夾角是30°，那么這個等腰三角形的頂角等于【變式7-3】．如果等腰三角形的頂角為α，那么這個等腰三角形一條腰上的高與底邊的夾角為．考點八：等腰三角中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)例8．求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：如圖，在中，，分別是腰上的中線．求證：．【變式8-1】．下面是命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明過程，把空格補充完整．已知：如圖，在中，，，是的角平分線．求證：（1）．證明：，（2）．∵，分別是，的角平分線，，（3）．即．在和中，．（4）．【變式8-2】．求證：等腰三角形兩腰上的高線長相等．【變式8-3】．等腰三角形兩底角的平分線相等嗎？兩腰上的中線呢？兩腰上的高呢？證明其中的一個結(jié)論．考點九：等邊對等角與“三線合一”綜合例9．如圖，在中，，點是的中點，點在上，，，求的度數(shù)．

【變式9-1】．如圖所示，在中，，，是邊上的中線，是上一點，且，求(1)求的度數(shù)(2)的度數(shù)．【變式9-2】．如圖，在中，，AD是角平分線，E是AB邊上一點，連接ED，CB是的平分線，ED的延長線與CF交于點F．（1）求證：；（2）若，，則______度．【變式9-3】．如圖，在中，，點是邊的中點，以為底邊向上作等腰，使得，交于點．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求證：．一、單選題1．若等腰三角形一個角為，則頂角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或2．如圖，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖所示，分別是的中線和角平分線，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩與，當(dāng)固定點B，C到桿腳E的距離相等，且點B，E，C在同一直線上時，電線桿．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等角對等邊 B．等腰三角形三線合一的性質(zhì)C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短5．如圖，中，，點在線段上，且滿足．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，，于點D，點E為中點，與交于點F，則等于（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．8．如圖，在中，，點C是上一點，過點C作，交于點F，連接，且，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）

．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．如圖，在中，，平分，，，則．10．如圖，在中，點D在上，，E為的中點，若，則．11．如圖，在中，，，，則的度數(shù)為度．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，兩點的坐標(biāo)分別為，，，則點的坐標(biāo)為．13．如圖，在等腰三角形中，是邊上的高，，點E、F是上的兩點，則圖中陰影部分的面積是．14．如圖，在中，為中線，，，，將沿著翻折到，連接、，則．三、解答題15．在中，，，，，求的度數(shù)．16．如圖，在中．．點、分別在、上，，與相交于點．求證：(1)；(2)．17．如圖，在中，為邊上的一點，，為外部一點，，且，連接，與交于點．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．18．如圖，在等腰三角形中，，D為延長線上一點，且，垂足為C，連接，若，求的面積．19．如圖，在中，，點在上，且．(1)求證：；(2)若為中點，，求的度數(shù)．20．如圖①所示，點D，E在的邊上，．(1)若，求證：．(2)如圖②所示，若，F(xiàn)為的中點，，求的度數(shù)．21．問題情境：如圖1，△中，，，點為△外一點，，過作，垂足分別為、．求證：．實踐探究：如圖2，△中，，，點是上一點，，于，求證：．問題解決：如圖3，△中，，，點為上一點，，過點作，且，連接．若，請直接寫出的值為________．22．已知和都為等腰三角形，，，，點E在線段AB上，點F在射線AC上，連接AD．(1)如圖1，當(dāng)點F與點C重合時，若，且，試說明；(2)如圖2，當(dāng)點F在邊AC的延長線上時，在AF上取點M，使得FM=AE，連接DM，若，DE與AC的交點為O．①試說明②判斷AF、AE與BC之間的數(shù)量關(guān)系是否滿足？若是，請說明理由；若不是，請求出AF、AE與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

第01講等腰三角形（第1課時）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握AAS證明三角形全等；2．學(xué)會等腰三角形的性質(zhì)及證明；3.掌握等腰三角形中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)。知識點1知識回顧（七年級下冊）一、定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(AAS)已知：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°,∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E,∴∠C=∠F.又BC=EF,∠B=∠E,∴△ABC≌△DEF(ASA).七年級下冊給出的“全等三角形”的定義是“能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形”,“全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”則是由全等三角形的定義推出來的，本章很多證明都會用到它.因此，這里特別提出這一結(jié)論，以便后續(xù)證明使用.二、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.三、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形是軸對稱圖形.2.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱“三線合一”),它們所在的直線是等腰三角形的對稱軸.3.等腰三角形的兩個底角相等.知識點2等邊對等角、“三線合一”定理等腰三角形的兩底角相等.（簡述為：等邊對等角求證：∠B=∠C.分析：我們曾經(jīng)利用折疊的方法說明了這兩個底角相等(如圖1-2).實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等三角形.這啟發(fā)我們，可以作一條輔助線，把原三角形分成兩個全等的三角形，從而證明這兩個底角相等.證明：如圖1-3,取BC的中點D,連接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).交流與討論：你還有其他證明方法嗎?與同伴交流.想一想：在圖1-3中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)?為什么?由此你能得到什么結(jié)論?推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(也稱“三線合一”),知識點3等腰三角形中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)引入：在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等),你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結(jié)論嗎?例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖1-4,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.證明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).∵BD,CE分別平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=，∠2=.∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).交流與討論：等腰三角形兩腰上的中線相等嗎?高呢?還有其他的結(jié)論嗎?請你證明它們，并與同伴交流.議一議：如圖1-5,在△ABC中，AB=AC,點D,E邊AC和AB上.果呢?由此你能得到一個什么結(jié)論?結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE呢?由此你能得到一個什么結(jié)論?結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，∠AD=AC,AE=AB,那么BD=CE考點一：等腰三角形的定義例1．若一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則第三邊的長可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．2或4【答案】B【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形三邊關(guān)系和等腰三角形的定義求解即可．三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．【解析】解：解：∵一個三角形的兩邊長分別是2和4，設(shè)第三邊長為，∴，即又∵這個三角形是等腰三角形，∴第三邊的長可能是2和4，∴第三邊的長只可能是4，故選：B．【變式1-1】．等腰三角形的頂角是，則它的底角是．【答案】/55度【分析】此題考查了是等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論，掌握等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵等腰三角形的頂角是，∴它的底角為，故答案為：．【變式1-2】．等腰三角形的一邊長，另一邊長，則它的周長是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．分是底邊與腰長兩種情況討論求解．【解析】解：當(dāng)是底邊時，此時三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，它的周長是；當(dāng)是腰長時，此時三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，它的周長是；故選：C．【變式1-3】．已知等腰三角形有一個角是，則其頂角的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題重點考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟知相關(guān)概念；等腰三角形的兩個底角相等，三角形內(nèi)角和等于；要注意分情況討論；【解析】解：本題可分兩種情況：①為頂角；②為底角，則頂角為：；故選：D考點二：等邊對等角例2．在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：D．【變式2-1】．如圖，在中，，，點D、E分別在、的延長線上，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)．由三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)對頂角性質(zhì)得到，從而，再由等邊對等角即可解答．【解析】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴．故選：B【變式2-2】．如圖，在中，點在邊上，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由平角的定義得出的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解析】解：∵中，，，∴，∴，∵，∴．故選：B．【變式2-3】．如圖，在中，點D在上，，，將沿著翻折得到，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，還應(yīng)理解翻折的性質(zhì)．證明，利用三角形外角性質(zhì)求出的度數(shù)，即可得到的度數(shù)，由翻折得，由此根據(jù)得到答案．【解析】解：∵，，∴，∴，∴，由翻折得，∴，故選：A．考點三：根據(jù)等邊對等角證明例3．如圖，，，連接交于點O，．求證：．【答案】見解析【分析】利用等邊對等角求得，再利用等角的余角相等即可證明．【解析】證明：∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】．如圖，在中，，點D、E都在邊BC上，且，求證：．

【答案】見詳解【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再由證明，從而得．【解析】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】．如圖，已知和，，，，與交于點P，點C在上．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角等等，先證明，得到，再由等邊對等角可得．【解析】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．∴，∴．【變式3-3】．如圖，在中，，過點A作且，連接．試說明：．【答案】見解析【分析】此題考查了等邊對等角，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后由等邊對等角得到，，然后等量代換求解即可．【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．考點四：根據(jù)等邊對等角求邊長或角度例4．如圖，在中，為中線，E為上一點，交于點F，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，先延長到G使，連接，再證明得出再由等邊對等角得，則最后由等角對等邊得出即可作答．【解析】證明：延長到G使，連接，∵為中線，∴，又∵∴∴∵，∴，∵，∴∴∴．【變式4-1】．如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點O與，分別相交于點M，N，且(1)若，請直接寫出的度數(shù)；(2)已知，，求的周長．【答案】(1)(2)的周長為13【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點．（1）先根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，據(jù)此求解即可；（2）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，，從而可得，最后根據(jù)三角形的周長公式即可得．【解析】（1）解：∵平分，平分，∴，∴，∴；（2）解：平分，，，，，，同理可得：，，，的周長是．【變式4-2】．如圖，在中，，點D、E、F分別在邊、、上，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）證明，即可求證；（2）由三角形內(nèi)角和定理求出，由全等三角形的性質(zhì)得出，再由三角形的內(nèi)角和定理和平角定義即可得出答案．【解析】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴．【變式4-3】．證明體驗(1)思考探究如圖1，在中，點在邊上，點在邊上，，，與相交于點．求證：．(2)拓展延伸如圖2，在（1）的條件下，過點作的平行線交于點，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角得出，，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等量代換即可得證；（2）證明即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：，，，，，；（2）解：，，，，，，，，在與中，，，；考點五：等腰三角形的“三線合一”例5．．如圖，在中，，，若，則的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，根據(jù)三線合一性質(zhì)直接能得到點D是線段的中點，即可求解．【解析】解∶∵，，，∴，故選：B．【變式5-1】．等腰三角形的“三線合一”指的是（

）A．中線，高線，角平分線互相重合 B．頂角的平分線，中線，高線三線互相重合C．腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合 D．頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三線互相重合【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)直接選取答案即可求解．【解析】解：三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線相互重合．故選：D【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握“三線合一”是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】．對于運用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)定理的推理過程，下列合理的是（）A．∵，平分B．∵，平分，，C．∵，平分，，D．∵，∴【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【解析】解：是等腰三角形，平分，，．證明如下：在等腰中，，平分，，在和中，，，，，，，，故選：C．【變式5-3】．如圖，在中，，，點E為的中點，于點F，則的長度為（

）

A．5 B．10 C．16 D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式及勾股定理，熟練掌握勾股定理和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；連接，由，點E為的中點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，并且，在中利用勾股定理可計算出，然后根據(jù)三角形面積公式得，即可得到的長．【解析】解：如圖，連接，

，，，點E為BC的中點，，，在中，由勾股定理得：，，，故選：D．考點六：根據(jù)等腰三角形的“三線合一”求解或證明例6．．如圖，在中，，點D在上．(1)若，則_______________．(2)若，則_______________．(3)若，則_______________．【答案】(1)垂直，且平分(2)平分，且平分(3)垂直，且平分【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴垂直，且平分；故答案為：垂直，且平分；（2）解：∵，，∴平分，且平分；故答案為：平分，且平分；（3）解：∵，，∴垂直，且平分．故答案為：垂直，且平分【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．

求證：∠DBC=∠A．【答案】見解析.【分析】作AE⊥BC于點E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)：等角對等邊得AB=AC，再由三角形三線合一有的性質(zhì)得∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定義和同角的余角相等即可得證.【解析】證明：作AE⊥BC于點E，如圖：∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，又∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠BCD=90°，∴∠DBC=∠CAE=∠BAC.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及同角的余角相等．【變式6-2】．如圖，在中，，為的中線．點，分別在AB，上，且，連接DE，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查的知識點是等腰三角形“三線合一”、全等三角形的判定、等邊對等角，解題關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形“三線合一”．（1）根據(jù)等腰三角形“三線合一”推得后即可用“邊角邊”證明全等；（2）根據(jù)等腰三角形“三線合一”及等邊對等角即可求解．【解析】（1）證明：，是的中線，，在和中，，．（2）解：，，，，，，是的中線，，即，．【變式6-3】．如圖，中，，，點D在斜邊上，且，過點B作交直線于點E，過點A作于點F．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）先由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進而根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，則；（2）先由三線合一定理得到，再證明，得到，即可證明．【解析】（1）解：∵中，，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．考點七：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角問題例7．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是46°，則它的底角度數(shù)是．【答案】或【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系：三角形的內(nèi)部、三角形的邊上、三角形的外部，根據(jù)條件可知第二種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應(yīng)分兩種情況進行討論即可得解．【解析】解：①當(dāng)高在三角形內(nèi)部時，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)高在三角形外部時，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴．∴綜上所述，底角是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了與三角形的高有關(guān)的計算、直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質(zhì)三角形的分類以及等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】．一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，并注意分類討論．要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【解析】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，∴，若三角形為鈍角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．故答案為：或．【變式7-2】．如果一個等腰三角形其中一腰上的高與另一腰的夾角是30°，那么這個等腰三角形的頂角等于【答案】或【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯誤是只是求出一種情況，把三角形簡單的認為是銳角三角形．因此此題屬于易錯題．等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應(yīng)分兩種情況進行討論．【解析】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時（如圖，，則，即頂角是；當(dāng)高在三角形外部時（如圖，，則，即頂角是．故答案為：或．【變式7-3】．如果等腰三角形的頂角為α，那么這個等腰三角形一條腰上的高與底邊的夾角為．【答案】/【分析】首先對該等腰三角形進行分類，當(dāng)時，底角為，在中，，底角減去即可得解；當(dāng)時，底角為，，即為所求．【解析】當(dāng)時，作于點D，如圖，∵，∴．∵，∴，∴．當(dāng)時，作于點H，為所求．如圖∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為，熟悉等腰三角形的性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵．考點八：等腰三角中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)例8．．求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：如圖，在中，，分別是腰上的中線．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)中線的定義可得，，則，根據(jù)證明即可．【解析】∵分別是上的中線（已知），∴，（三角形中線的定義）．∵（已知），∴．在和中，，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形兩腰相等；全等三角形的判定定理有，全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．【變式8-1】．下面是命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明過程，把空格補充完整．已知：如圖，在中，，，是的角平分線．求證：（1）．證明：，（2）．∵，分別是，的角平分線，，（3）．即．在和中，．（4）．【答案】；等邊對等角；角平分線的定義；全等三角形的對應(yīng)邊相等【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)等腰三角形的等邊對頂角及全等三角形的性質(zhì)與判定可進行求解【解析】已知：如圖，在中，，，是的角平分線．求證：．證明：，（等邊對等角）．∵，分別是，的角平分線，，（角平分線的定義）．即．在和中，．（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；故答案為；等邊對等角；角平分線的定義；全等三角形的對應(yīng)邊相等．【變式8-2】．求證：等腰三角形兩腰上的高線長相等．【答案】見解析【分析】畫出圖形，通過證明三角形全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等從而得出結(jié)論．【解析】解：如圖：已知，求證：．證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．∴等腰三角形兩腰上的高線長相等．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，寫出已知和求證，掌握三角形全等是判定方法和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)．【變式8-3】．等腰三角形兩底角的平分線相等嗎？兩腰上的中線呢？兩腰上的高呢？證明其中的一個結(jié)論．【答案】相等，相等，相等，見解析【分析】根據(jù)題意，作出圖像，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以及已知條件結(jié)合三角形全等的性質(zhì)與判定證明即可【解析】①等腰三角形兩底角的平分線相等，證明如下，如圖，中，，分別為兩底角的角平分線分別為兩底角的角平分線在與中等腰三角形兩底角的平分線相等；②等腰三角形兩腰上的中線相等，證明如下，如圖，中，，分別為的中點在與中等腰三角形兩腰上的中線相等；③等腰三角形兩腰上的高相等如圖，中，，分別為兩腰上的高線，，在與中，，，等腰三角形兩腰上的高相等．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形全等的性質(zhì)三角形的高，中線，角平分線的定義，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點九：等邊對等角與“三線合一”綜合例9．．如圖，在中，，點是的中點，點在上，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的“三線合一“是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，，計算即可．【解析】解：，，，，，點是的中點，，，．【變式9-1】．如圖所示，在中，，，是邊上的中線，是上一點，且，求(1)求的度數(shù)(2)的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得，由三線合一得，根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：∵，∴，（2）解：∵，∴．∵是邊上的中線，∴，∴．【變式9-2】．如圖，在中，，AD是角平分線，E是AB邊上一點，連接ED，CB是的平分線，ED的延長線與CF交于點F．（1）求證：；（2）若，，則______度．【答案】（1）見解析，（2）46【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分線，得到BD＝CD，證△BDE≌△CDF即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE＝DF＝DA，根據(jù)求得∠DAB，進而求出∠B的度數(shù)即可．【解析】（1）證明：∵，∴∠B＝∠ACB，∵CB是的平分線，∴∠ACB＝∠BCF，∴∠B＝∠BCF，∵AD是角平分線，AB＝AC，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF（AAS）；∴；（2）∵△BDE≌△CDF；∴ED＝FD，∵,∴ED＝AD，∵，∴，∴，∴∠B＝∠ACB＝∠BCF＝23°，∴，故答案為：46．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)知識進行推理證明和計算．【變式9-3】．如圖，在中，，點是邊的中點，以為底邊向上作等腰，使得，交于點．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰，可得，由題意知，，則，根據(jù)，計算求解即可；（2）如圖，作于，則，證明，則，進而可得．【解析】（1）解：∵以為底邊向上作等腰，∴，由題意知，，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）證明：如圖，作于，∴，∵，∴，∴，∴．一、單選題1．若等腰三角形一個角為，則頂角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形一內(nèi)角為，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況討論．【解析】解：當(dāng)角為頂角，頂角度數(shù)即為；當(dāng)為底角時，頂角；綜上，若等腰三角形一個角為，則頂角的度數(shù)是或，故選：C．2．如圖，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角．根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B．3．如圖所示，分別是的中線和角平分線，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)三線合一定理和等邊對等角求出的度數(shù)，再由角平分線的定義得到的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解析】解：∵，是的中線，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴，故選：B．4．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩與，當(dāng)固定點B，C到桿腳E的距離相等，且點B，E，C在同一直線上時，電線桿．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等角對等邊 B．等腰三角形三線合一的性質(zhì)C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：根據(jù)題意，得，，∴，即，故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：B．5．如圖，中，，點在線段上，且滿足．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握等腰三角形性質(zhì)是關(guān)鍵；由及，得；由可求得，再由即可求解．【解析】解：∵，，∴；∵，∴，∴；故選：B．6．如圖，在中，，，于點D，點E為中點，與交于點F，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查等腰三角形三線合一，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三線合一，得到平分，進而求出的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【解析】解：∵在中，，點E為中點，∴平分，∴，∵，∴，∴；故選：C．7．如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進行求解．【解析】解：連接，如圖：∵，，點D是中點，∴∴，∴又∵∴故選：C8．如圖，在中，，點C是上一點，過點C作，交于點F，連接，且，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）

．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)進行推導(dǎo)即可．【解析】解：，，，，，，，，，，在和中，，，，故①正確，符合題意；∵∴，故②正確，符合題意；，，，與互為對頂角，，，，故③正確，符合題意；從題目現(xiàn)有條件無法證出，故④錯誤，不符合題意．故選：C．二、填空題9．如圖，在中，，平分，，，則．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理計算．【解析】解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．10．如圖，在中，點D在上，，E為的中點，若，則．【答案】/35度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，進而利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵，E為的中點，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．11．如圖，在中，，，，則的度數(shù)為度．【答案】40【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，，，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，，代入數(shù)據(jù)計算即可求出的度數(shù)．本題主要利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對等角，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，，，，，，，，即，，．故答案為40．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，兩點的坐標(biāo)分別為，，，則點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了點的坐標(biāo)，主要利用了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理．過點A作于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，再求出點D的橫坐標(biāo)，然后利用勾股定理列式求出的長度，再寫出點A的坐標(biāo)即可．【解析】解：如圖，過點A作于D，∵，，兩點的坐標(biāo)分別為，，∴，∵，∴，∴點D的橫坐標(biāo)為，在中，，所以，點A的坐標(biāo)為．故答案為：．13．如圖，在等腰三角形中，是邊上的高，，點E、F是上的兩點，則圖中陰影部分的面積是．【答案】2【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，依據(jù)圖中陰影部分的面積等于等腰三角形的面積的一半，即可得到結(jié)果．【解析】解：∵等腰三角形中，是邊上的高，∴，且.∵且，∴與同底等高，∴與面積相等，∴圖中陰影部分的面積是.故答案為：2．14．如圖，在中，為中線，，，，將沿著翻折到，連接、，則．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，第一步利用三角形內(nèi)角和定理先證明，同理可證明：，再根據(jù)折疊有，，再根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)有，，最后根據(jù)勾股定理有，，，問題隨之得解．【解析】延長交于點F，如圖，∵為中線，，∴，點E為中點，∴，∴，，∵，∴，∴，同理可證明：，根據(jù)折疊可知：，，∴在等腰中，，，∵，點E為中點，∴在等腰中，，∵，，∴根據(jù)勾股定理有：，，，∵，，，，∴，，，解得：，故答案為：．三、解答題15．在中，，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由，得，，由得，即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．16．如