2025年北師版八年級數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí) 專題01 承上啟下篇-全等三角形、平行線的證明

專題01承上啟下篇-全等三角形、平行線的證明題型聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1AAS（主要）、SAS】【題型2SAS】【題型3全等三角形選擇、填空綜合】【題型4平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）】【題型5平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）選擇、填空綜合】【題型6全等三角形、平行線的證明難點分析】1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.2.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”.3.全等三角形其他知識點.4.平行線的三條判定定理；平行線的三條性質(zhì)定理；平行線傳遞性定理.5.三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°.6定理:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.定理:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.題型歸納【題型1AAS（主要）、SAS】1．如圖，，，求證：．2．如圖，是的中線，過點C作，交的延長線于點E，求證：．3．如圖，已知，．(1)求證：；(2)若，，求的長．4．如圖，，，，，垂足分別為，，，.求的長.5．如圖，的兩條高交于點H，已知，．(1)求證：；(2)求．6．已知：如圖，．求證：(1)；(2)．7．如圖，已知，，，，，且點B在線段上．(1)求的長；(2)猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．8．如圖，四邊形中，對角線、交于點O，，點E是上一點，且，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．9．是經(jīng)過的頂點的一條直線，，，分別是直線上的兩點，連接，，．(1)如圖①，若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且點，在射線上，．求證：；(2)如圖②，若直線不經(jīng)過的內(nèi)部，，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【題型2SAS】10．如圖，已知，，，求證：．11．已知：，，，求證：(1)；(2)．12．如圖，已知連接．(1)求證：；(2)若求的度數(shù)．13．如圖，中，，，，平分交于，點為邊上一點，．(1)求證：；(2)的周長是________．14．如圖，已知在、中，，，，點、、三點在同一直線上，連接．求證：．【題型3全等三角形選擇、填空綜合】15．如圖，，點B，M，N，C在一條直線上，若，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．816．如圖，已知，只要再添加一個條件：，就能使．（填一個即可）

17．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，，，要使，還需添加一個條件是18．如圖是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的過程示意圖，則能說明的依據(jù)是（

）A． B． C． D．19．如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角20．有一座小山，現(xiàn)要在小山的A，B兩端開一條隧道，如圖，施工隊要知道A，B之間的距離，于是先在平地上取一可以直接到達點A和點B的點C，連接并延長到D，使，連接并延長到E，使，連接．經(jīng)測量，的長度分別為，則A，B之間的距離為m．21．如圖，在的方格中，每個小方格的邊長均為1，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．22．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的是（

）A．，， B．，，C．， D．，，23．如圖，在中，，，，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，點和分別以和的速度同時開始運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動．分別過點，作于點，于點．設(shè)運動時間為，要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等（點與點不重合），則的值為．【題型4平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）】24．如圖，點N在線段上，與交于點．(1)判斷與是否平行，并說明理由；(2)若，求的大?。?5．如圖，，點E在上，與交于點F，，．(1)求的長度；(2)求的度數(shù)．26．如圖所示，均為直角三角形，且，過點C作平分交于點F．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)．27．如圖，在中，，于點D．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．28．如圖，在和中，，，，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．【題型5平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）選擇、填空綜合】29．下列說法錯誤的是（）A．在同一平面內(nèi)，沒有公共點的兩條直線是平行線B．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行C．經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線30．如圖，下列結(jié)論正確的是(

)A．與是對頂角 B．與是同位角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是內(nèi)錯角31．如圖，已知直線、被直線所截．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．32．如圖，，平分，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．33．如圖所示，在中，，垂足為點D，，交于點E．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．34．將一副三角板按如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．35．如圖，，，若使，則可將直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度．36．如圖，在中，，沿折疊，使點B恰好落在邊上的點E處．若，則．37．已知，點C為射線BD上一動點，平分交于點P，若為直角三角形，則．38．如圖，平分，，的延長線交于點E，如果，則為°【題型6全等三角形、平行線的證明難點分析】39．如圖，在中，是的中線，延長點，使，．

(1)求證：；(2)如圖，平分交于點，交于點，若，試探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．40．已知，四邊形中，，連接，平分交于點E，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的平分線與的延長線交于F，且，求；(3)如圖3，若H是上一動點，F(xiàn)是延長線上一點，交于M，平分交于N，交于G．當(dāng)H在上運動時（不與B點重合）．，95°，求的度數(shù)．41．【探究發(fā)現(xiàn)】（）如圖，在中，AD是的中線，作，邊BM交AD延長線于點．求證：；【初步應(yīng)用】（）如圖，在中，，，AD是中線，則AD的取值范圍；【探究提升】（）如圖，AD是的中線，過點分別向外作、，使得，，連接，延長交于點，判斷線段與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．42．（1）如圖1，在四邊形中，分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，在四邊形中，分別是邊延長線上的點，且（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

43．【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請直接寫出的度數(shù)．過關(guān)檢測一、解答題1．如圖，，，分別是，的對應(yīng)邊上的中線．(1)求證：；(2)把第（1）小題中的結(jié)論用文字敘述出來．2．如圖，在中，D是上一點（），按要求完成下列各小題．（保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明各頂點字母）(1)連接，求作（點E在線段上；點F在線段的右側(cè)），使得；(2)作圖依據(jù)______．3．如圖，在四邊形中，為上的一點求證：(1)平分；(2)4．如圖，在中，，為邊上一點，過作，分別與，相交于點和點．(1)求證：；(2)若，求證：．5．如圖，，，，，垂足分別為．(1)求證：；(2)延長至點，使得，連接交于點，若，，求的面積．6．如圖，，平分，平分，點在上，且，．(1)與垂直嗎？說明你的理由；(2)若，，試求出四邊形的面積．7．如圖（1），已知中，，，是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于點，于點．(1)試說明：．(2)若直線繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請說明理由；(3)若直線繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，其余條件不變，問與，關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明．8．如圖，已知和中，，，．(1)如圖1，若和相交于點F，當(dāng)時，請猜想和的關(guān)系是________；(2)若，與的位置如圖2所示時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)如圖3，和相交于點F，直接寫出的度數(shù)為________．（用含α的式子表示）

專題01承上啟下篇-全等三角形、平行線的證明題型聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1AAS（主要）、SAS】【題型2SAS】【題型3全等三角形選擇、填空綜合】【題型4平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）】【題型5平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）選擇、填空綜合】【題型6全等三角形、平行線的證明難點分析】1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.2.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”.3.全等三角形其他知識點.4.平行線的三條判定定理；平行線的三條性質(zhì)定理；平行線傳遞性定理.5.三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°.6定理:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.定理:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.題型歸納【題型1AAS（主要）、SAS】1．如圖，，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法；由可得，根據(jù)可證，即可得證．【解析】證明：∵，∴，，，，∴，∴．2．如圖，是的中線，過點C作，交的延長線于點E，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)是的中線得，再由得，進而可證，再由三角形全等的的性質(zhì)可證得結(jié)論．【解析】證明：是的中線，，.，，在和中，，，．3．如圖，已知，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．（1）根據(jù)證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【解析】（1）證明：，，在和中，，．（2）解：，，．4．如圖，，，，，垂足分別為，，，.求的長.【答案】.【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形常用的判定方法有：、、、、，熟練掌握并靈活運用適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵.根據(jù)，，利用同角的余角相等得出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可得答案.【解析】證明：∵，，，∴，∴．∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴.5．如圖，的兩條高交于點H，已知，．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積計算：（1）先由三角形高的定義得到，再導(dǎo)角證明，則可由證明；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，則，據(jù)此根據(jù)三角形面積計算公式求解即可．【解析】（1）證明：∵的兩條高交于點H，∴，∴，∵∴，又∵，∴（2）解：∵，∴，∴，∴．6．已知：如圖，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，推得，根據(jù)可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【解析】（1）證明：在和中，，∴．（2）證明：∵，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴．7．如圖，已知，，，，，且點B在線段上．(1)求的長；(2)猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）證明求出的長，進而求出的長即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明，進而證明，據(jù)此可得結(jié)論．【解析】（1）解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：如圖所示，延長交于H，∵，∴，∴，∴．8．如圖，四邊形中，對角線、交于點O，，點E是上一點，且，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．（1）先證明，再證明，得出結(jié)論即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解析】（1）證明：∵，∴，即：，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．9．是經(jīng)過的頂點的一條直線，，，分別是直線上的兩點，連接，，．(1)如圖①，若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且點，在射線上，．求證：；(2)如圖②，若直線不經(jīng)過的內(nèi)部，，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由題可得，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，則，，即可得出．（2）同（1）可得，則，，再由即可得出．【解析】（1）在中，．，，．，．在和中，，，，．，．（2）．證明：，．在中，，．在和中，，，，，，．【題型2SAS】10．如圖，已知，，，求證：．【答案】【解析】略11．已知：，，，求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由可得．運用證明與全等；（2）根據(jù)兩三角形全等得到，利用同位角相等，證明出兩直線平行．【解析】（1）證明：∵，，，∴，，在和中，，∴；（2）證明：∵，∴．12．如圖，已知連接．(1)求證：；(2)若求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）根據(jù)題意由，可得，即可求證；（2）由，可得，再由內(nèi)角和為即可求解．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．13．如圖，中，，，，平分交于，點為邊上一點，．(1)求證：；(2)的周長是________．【答案】(1)證明見解析(2)9【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，線段的和差計算．利用角平分線的定義來求出角相等，繼而證明三角形全等是解答關(guān)鍵．（1）由角平分的定義得到，利用判定三角形全等即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，利用線段的和差求出的長度，再利用三角形的周長公式求解．【解析】（1）證明：平分交于，．在和中．（2）解：，．，，，，，即的周長為：9．故答案為：9．14．如圖，已知在、中，，，，點、、三點在同一直線上，連接．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用等式的性質(zhì)及已知條件可推出，然后利用即可得出結(jié)論．【解析】證明：，，即：，在和中，，．【題型3全等三角形選擇、填空綜合】15．如圖，，點B，M，N，C在一條直線上，若，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，是解題關(guān)鍵．利用得到，從而得到，然后利用即可求解．【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴；故選：B．16．如圖，已知，只要再添加一個條件：，就能使．（填一個即可）

【答案】或者（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形全等的判定，判定兩個三角形全等，已知，且由圖可知為和的一條公共邊，由根據(jù)全等三角形全等的判定定理，根據(jù)再添加條件即可．【解析】解：所添加條件為：或；①∵，，為公共邊，∴；②∵，，為公共邊，∴；故答案為：或（答案不唯一）．17．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，，，要使，還需添加一個條件是【答案】（或或或）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識點，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，添加條件為：或，根據(jù)可證明；添加條件為：或，根據(jù)可證明，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【解析】∵，，∴，，①添加條件為：，在和中，，∴；②添加條件為：，在和中，，∴；③添加條件為：，∴，在和中，，∴；④添加條件為：，在和中，，∴；∴這個條件可以是（或或或）,故答案為：（或或或）．18．如圖是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的過程示意圖，則能說明的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和基本作圖，由作法易得，，，根據(jù)可得到三角形全等．【解析】解：解：由作法易得，，，依據(jù)可判定，則（全等三角形的對應(yīng)角相等）．故選：A．19．如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角【答案】C【分析】本題考查了常見的基本作圖，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．由圖可知已知線段，，，由此即可判斷解答．【解析】解：由圖可知：已知線段，，，故選：C．20．有一座小山，現(xiàn)要在小山的A，B兩端開一條隧道，如圖，施工隊要知道A，B之間的距離，于是先在平地上取一可以直接到達點A和點B的點C，連接并延長到D，使，連接并延長到E，使，連接．經(jīng)測量，的長度分別為，則A，B之間的距離為m．【答案】800【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用：一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．利用“”證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得．【解析】解：在和中，，，，，故答案為：800．21．如圖，在的方格中，每個小方格的邊長均為1，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；【解析】解：如圖，，在和中，，，，，，故選：B．22．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的是（

）A．，， B．，，C．， D．，，【答案】D【分析】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一進行判斷即可得到答案．【解析】解：，，，兩邊及其中一邊的對角不能畫出唯一，故A不符合題意；∵，，，∴，故B不符合題意；，，一邊一角不能畫出唯一，故C不符合題意；當(dāng)，，時，根據(jù)“”可判斷的唯一性．故D符合題意；故選D．23．如圖，在中，，，，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，點和分別以和的速度同時開始運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動．分別過點，作于點，于點．設(shè)運動時間為，要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等（點與點不重合），則的值為．【答案】6或8【分析】本題考查的是全等三角形與動點問題．先求出點從點出發(fā)到達點和點所需要的時間，點從點出發(fā)到達點和點所需要的時間，然后根據(jù)、所在的位置分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，找出全等三角形的對應(yīng)邊并用時間表示，然后列出方程即可得出結(jié)論．【解析】解：由題意知，點從點出發(fā)到達點所需要的時間為：；到達點共需要的時間為：，點從點出發(fā)到達點所需要的時間為：；到達點共需要的時間為：，當(dāng)，點在上，點在上，如圖所示：此時，，，，，要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等，，，（不符合題意，舍去）；當(dāng)，點在上，點在上，如圖所示：要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等，和重合，和重合，（不符合題意，舍去）；當(dāng)，點在上，點在上，如圖所示：，，，，要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等，，，（符合題意）；當(dāng)，點在上，點與點重合，如圖所示：，，，，要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等（符合題意）；要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等，則或，故答案為：6或8.【題型4平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）】24．如圖，點N在線段上，與交于點．(1)判斷與是否平行，并說明理由；(2)若，求的大?。敬鸢浮?1)平行，見解析(2)【分析】本題主要查了平行線的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)，可得，從而得到，繼而得到，即可求證；（2）根據(jù)，可得，再由，可得，即可求解．【解析】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．25．如圖，，點E在上，與交于點F，，．(1)求的長度；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)：（1）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，則；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．26．如圖所示，均為直角三角形，且，過點C作平分交于點F．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義：（1）利用角平分線的性質(zhì)，先說明與的關(guān)系，再利用平行線的判定得結(jié)論；（2）先求出，再利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求解．【解析】（1）證明：∵，且平分，∴，又∵，∴，∴．（2）解：由（1）知，．在中，∵，∴．∴．27．如圖，在中，，于點D．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)，【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行求解即可；（2）先利用勾股定理求出，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：∵在中，，，∴，∵，即，∴；（2）解：∵在中，，，，∴．設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，∴．解得．∴．28．如圖，在和中，，，，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）先根據(jù)全等三角形的判定“”得到，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角性質(zhì)求得答案；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等求出，根據(jù)圖形計算即可．【解析】（1）解：∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴；（2）解：根據(jù)解析（1）可知：，∵，∴．【題型5平行線的證明（含三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)）選擇、填空綜合】29．下列說法錯誤的是（）A．在同一平面內(nèi)，沒有公共點的兩條直線是平行線B．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行C．經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線【答案】D【分析】根據(jù)平行公理等即可逐一進行判斷．【解析】解；A、在同一平面內(nèi)，沒有公共點的兩條直線是平行線．正確，本選項不符合題意；B、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．平行線具有“傳遞性”，正確，本選項不符合題意；C、經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行．正確，本選項不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．原說法錯誤，本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平行公理等知識點．掌握相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵．30．如圖，下列結(jié)論正確的是(

)A．與是對頂角 B．與是同位角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是內(nèi)錯角【答案】B【分析】根據(jù)對頂角、同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角的定義分別進行分析即可．【解析】解：A、與不是對頂角，故此選項錯誤；B、與是同位角，故此選項正確；C、與不是同旁內(nèi)角，故此選項錯誤；D、與不是內(nèi)錯角，故此選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角，熟練掌握各角的特征是解題的關(guān)鍵．31．如圖，已知直線、被直線所截．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得的度數(shù)．【解析】解：如下圖，，，，，故選：C．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．32．如圖，，平分，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到結(jié)論．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=130°，∴∠BDC=180°-∠ABD=50°，∴∠2=∠BDC=50°．故選C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線定義，解題的關(guān)鍵是求出∠ABD的度數(shù)．33．如圖所示，在中，，垂足為點D，，交于點E．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)垂直的定義得，進而根據(jù)即可得出答案．【解析】解：，，，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．34．將一副三角板按如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的知識點是三角板中角度計算問題、三角形外角的定義與性質(zhì)、對頂角相等，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)三角板的特征先得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及對頂角相等逐步推得、及．【解析】解：如圖，依題得：，是的外角，，，，，是的外角，．故選：．35．如圖，，，若使，則可將直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度．【答案】42【分析】先根據(jù)鄰補角進行計算得到，根據(jù)平行線的判定當(dāng)b與a的夾角為時，，由此得到直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)．【解析】解：如圖：

∵，∴，∵，∴當(dāng)時，，∴直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)．故答案為：42．【點睛】本題考查的是平行線的判定定理，熟知同位角相等，兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵．36．如圖，在中，，沿折疊，使點B恰好落在邊上的點E處．若，則．【答案】30【分析】本題考查三角形折疊中的角度問題，三角形外角的性質(zhì)，先計算出，由折疊前后對應(yīng)角相等可得，再由外角的性質(zhì)可得，進而可得．【解析】解：中，，，，由折疊知，，，故答案為：30．37．已知，點C為射線BD上一動點，平分交于點P，若為直角三角形，則．【答案】或【分析】本題考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)，先根據(jù)角平分線得到，然后分和兩種情況分別計算解題即可．【解析】解：∵平分，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故答案為：或．38．如圖，平分，，的延長線交于點E，如果，則為°【答案】【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，證明，則，得到，則，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.【解析】解：∵平分∴在和中，∴∴∴∵∴∴故答案為：【題型6全等三角形、平行線的證明難點分析】39．如圖，在中，是的中線，延長點，使，．

(1)求證：；(2)如圖，平分交于點，交于點，若，試探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明解析；(2)，理由見解析．【分析】()延長至點，使，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，根據(jù)題目已知，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，等量代換即可得出答案；()如圖所示，作，可證，由全等三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等角從而得出，進而得出，故可證，得到，等量轉(zhuǎn)化即可求得；本題考查了全等三角形的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）如圖所示，延長至點，使，

在與中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵平分，，，∴，，∴，作，如圖，

在與中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴．40．已知，四邊形中，，連接，平分交于點E，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的平分線與的延長線交于F，且，求；(3)如圖3，若H是上一動點，F(xiàn)是延長線上一點，交于M，平分交于N，交于G．當(dāng)H在上運動時（不與B點重合）．，95°，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由，平分，得，，得出；（2）先求出，由平分，平分，可求出，利用平行線性質(zhì)得出，等量代換即可求解；（3）在中，根據(jù)角之間的關(guān)系，得，再根據(jù)角之間的關(guān)系得，則可得出，然后代入數(shù)值即可求解．【解析】（1）證明∶∵，∴，∵平分，∴又，∴，∴，即；（2）解∶∵，，∴，∵平分，平分，，，∴，又∵，∴，∴，即；（3）解：∵在中，，又∵，∴，∴，∴，又，，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵在于熟悉掌握知識要點，并且善于運用角與角之間的聯(lián)系進行傳遞．41．【探究發(fā)現(xiàn)】（）如圖，在中，AD是的中線，作，邊BM交AD延長線于點．求證：；【初步應(yīng)用】（）如圖，在中，，，AD是中線，則AD的取值范圍；【探究提升】（）如圖，AD是的中線，過點分別向外作、，使得，，連接，延長交于點，判斷線段與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．【答案】（）證明見解析；（）；（），，理由見解析【分析】（）利用證明即可；（）如圖，延長AD至，使得，則，先證明，得到，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得，據(jù)此即可求解；（）如圖，延長AD到，使得，連接BM，則，證明得到，，即得，再根據(jù)得到，即可得到．【解析】（）證明：∵AD是的中線，∴，∵，，∴；（）如圖，延長AD至，使得，則，∵AD是的中線，∴，∵，∴，∴，在中，由三角形三邊關(guān)系得，，∴，∴，故答案為：；（）解：，，理由如下：如圖，延長AD到，使得，連接BM，則，由（）可得，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．42．（1）如圖1，在四邊形中，分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，在四邊形中，分別是邊延長線上的點，且（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）見解析；（2）成立；（3）不成立，應(yīng)當(dāng)是，見解析【分析】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）延長到G，使，連接．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）先證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．，由全等三角形的性質(zhì)得出，即，則可得出結(jié)論；（3）在上截取，使連接．證明．由全等三角形的性質(zhì)得出．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解析】證明：延長到G，使，連接．

∵，∴．∴．∴．∴．又∵∴．∴．∵．∴（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．，，在與中，，，，，即在與中，，即，；（3）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是．證明：在上截取，使連接．

∵，∴．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴．43．【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1），理由見解析；（2）仍然成立，理由見解析；（3）【分析】（1）延長到點G，使，連接，可判定≌，進而得出，，再判定≌，可得出，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長到點G，使，連接，先判定≌，進而得出，，再判定≌，可得出；（3）在延長線上取一點G，使得，連接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，利用，推導(dǎo)出的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1），理由如下：如圖1，延長到點G，使，連接，在和中，，≌，，，，，，在和中，，≌，故答案為：；（2）上述結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長到點G，使，連接，，，，在和中，，≌，，，在和中，，≌，；（3）如圖3，在延長線上取一點G，使得，連接，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，，，，即，，，，【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補角相等．過關(guān)檢測一、解答題1．如圖，，，分別是，的對應(yīng)邊上的中線．(1)求證：；(2)把第（1）小題中的結(jié)論用文字敘述出來．【答案】(1)見詳解(2)全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，，求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可直接敘述即可【解析】（1）證明：∵，∴，，，∵，分別是，的對應(yīng)邊上的中線，，∴，∴，∴．（2）由（1）中結(jié)論可用文字敘述為：全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等．2．如圖，在中，D是上一點（），按要求完成下列各小題．（保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明各頂點字母）(1)連接，求作（點E在線段上；點F在線段的右側(cè)），使得；(2)作圖依據(jù)______．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定及基