2025年北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第06講 探索直線平行的條件（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4大考點(diǎn)舉一反三+過(guò)關(guān)測(cè)試）

第06講探索直線平行的條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解和掌握平行線的判定公理及兩個(gè)判定定理．2．通過(guò)經(jīng)歷探索平行線的判定方法的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力．3．掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示平行線的判定公理及定理，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式，通過(guò)學(xué)生畫(huà)圖、討論、推理等活動(dòng)，給學(xué)生滲透化歸思想和分類(lèi)思想．知識(shí)點(diǎn)1：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性知識(shí)點(diǎn)2：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行。幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）考點(diǎn)一：平行公理的應(yīng)用例1.（22-23七年級(jí)下·山東德州·期中）數(shù)學(xué)課上，老師畫(huà)一條直線a，按如圖所示的方法，畫(huà)一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫(huà)一條直線c也與直線a平行，此時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線b與直線c也平行，這就說(shuō)明了（

）A．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行B．兩直線平行，同位角相等C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D．同位角相等，兩直線平行【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·安徽六安·期末）如圖，是一個(gè)可折疊衣架，AB是地平線，當(dāng)PM∥AB,PN∥AB時(shí)，就可以確定點(diǎn)N，P，M在同一直線上，這樣判定的依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．平行于同一直線的兩直線平行D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·廣西防城港·期末）已知直線a∥b，A．直線a與c互相垂直 B．直線a與c互相平行C．直線a與c相交 D．直線a與b相交【變式1-3】（2024·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是我們常見(jiàn)的馬路標(biāo)線，工人師傅在劃線時(shí)要保證中間的線與兩邊的線保持平行，小明認(rèn)為我們已知馬路兩邊的線是互相平行的，只要中間的線與兩邊其中任意一條線平行，那么它就一定與另一條線平行，這其中的數(shù)學(xué)原理是．考點(diǎn)二：用直尺、三角板畫(huà)平行線例2.（23-24七年級(jí)下·吉林延邊·期中）如圖，在6×4的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C均為小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成以下操作．(1)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線．(2)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點(diǎn)D．【變式2-1】（23-24七年級(jí)下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB，BC．利用方格紙完成以下操作：(1)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AE．(2)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與（1）中的平行線相交于點(diǎn)D．(3)用符號(hào)表示出圖中的一組平行線．【變式2-2】（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）小明利用三角尺和直角尺畫(huà)直線l1的平行線l2，如圖所示，由此可得到的基本事實(shí)是（A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【變式2-3】（23-24七年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫(huà)出直線AB∥CD，請(qǐng)將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好應(yīng)是（

）①沿直尺下移三角尺；

②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB．A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②考點(diǎn)三：平行線的判定例3.（23-24七年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【變式3-1】（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·階段練習(xí)）如圖，已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°，請(qǐng)說(shuō)明AB與DE平行的理由．解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則∠2+∠4=°（

）因?yàn)椤?+∠3=180°（

）所以∠3=∠4（

）因?yàn)椋?/p>

）所以∠1=∠4（等量代換）所以AB∥DE（

）【變式3-2】（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，已知∠E=∠1，∠3=∠2，試說(shuō)明：AB∥EC．【變式3-3】（23-24七年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，已知∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5,∠2=∠4,∠ABC+∠BCD=180°．將下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整．∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥________（________________）∵∠3=∠5（已知）∴AB∥________（________________）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴________∥_________（________________）．考點(diǎn)四：用尺規(guī)作角例4.（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，已知∠AOB請(qǐng)用尺規(guī)作∠A'O'

【變式4-1】（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）（1）僅用直尺，在圖（1）的方格紙中按要求完成畫(huà)圖：過(guò)點(diǎn)C，畫(huà)直線CN垂直于AB所在直線．（2）用圓規(guī)和直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．在圖（2）中作圖：在∠AOB的外部作∠OPC，使∠OPC=∠AOB，【變式4-2】（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，用尺規(guī)作∠DBC=∠C，與邊AC交于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）【變式4-3】（23-24八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，利用尺規(guī)作∠CED，使得∠CED=∠A．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．若∠1=∠2，則DE∥BC B．若∠2=∠4C．若∠1+∠2=180°，則DE∥BC 2．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）A．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行C．若直線a∥b，b∥D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離3．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，直線AB∥CD,CD∥EF，則AB與EF的位置關(guān)系是（

）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能確定4．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期中）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（

）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵5．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期中）如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（A．∠B=∠D B．∠1=∠2C．∠3=∠46．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直線l外任取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)直線l的平行線，可畫(huà)出的平行線有（

）

A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條二、填空題7．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）下列各圖中的直線a,b，用推三角尺的方法驗(yàn)證，其中a∥b的有8．（23-24七年級(jí)下·天津河北·期中）已知a，b，c為不重合的三條直線，a∥b，b∥c，則a∥c．理由是．9．（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，則AB與EF的位置關(guān)系是．（填“平行”或“相交”）．10．（23-24七年級(jí)下·安徽淮南·期末）如圖，直線AB，CD被直線CE所截，∠C=100°，請(qǐng)寫(xiě)出能判定AB∥CD的一個(gè)條件：三、解答題11．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，已知∠2=∠3，求證：AB∥CD.證明：∵∠2=∠3（已知）又∠1=∠3（）∴（）∴AB∥CD（）12．（23-24七年級(jí)下·江西上饒·階段練習(xí)）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖．(1)如圖1，在方格紙中作∠ABC的余角∠ABM．(2)如圖2，在方格紙中過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AD．13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，若∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，試說(shuō)明AD∥CF．14．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，連接OF．(1)求證：OC⊥OD；(2)若∠D與∠1互余，求證：ED∥AB．

第06講探索直線平行的條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解和掌握平行線的判定公理及兩個(gè)判定定理．2．通過(guò)經(jīng)歷探索平行線的判定方法的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力．3．掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示平行線的判定公理及定理，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式，通過(guò)學(xué)生畫(huà)圖、討論、推理等活動(dòng)，給學(xué)生滲透化歸思想和分類(lèi)思想．知識(shí)點(diǎn)1：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性知識(shí)點(diǎn)2：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行。幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）考點(diǎn)一：平行公理的應(yīng)用例1.（22-23七年級(jí)下·山東德州·期中）數(shù)學(xué)課上，老師畫(huà)一條直線a，按如圖所示的方法，畫(huà)一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫(huà)一條直線c也與直線a平行，此時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線b與直線c也平行，這就說(shuō)明了（

）A．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行B．兩直線平行，同位角相等C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D．同位角相等，兩直線平行【答案】A【分析】本題主要考查了平行線公理，根據(jù)平行線公理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵a∥b，a∥c，∴b∥c，∴這說(shuō)明了如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，故選A．【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·安徽六安·期末）如圖，是一個(gè)可折疊衣架，AB是地平線，當(dāng)PM∥AB,PN∥AB時(shí)，就可以確定點(diǎn)N，P，M在同一直線上，這樣判定的依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．平行于同一直線的兩直線平行D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行【答案】D【分析】根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行解決問(wèn)題即可．本題考查平行線的判定和性質(zhì)，平行公理及推理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【詳解】解：依題意，當(dāng)∠MPB=∠PBA時(shí)，PM∥AB；當(dāng)∠NPA=∠PAB時(shí)，PN∥AB，就可以確定點(diǎn)N，P，M在同一直線上（過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行）．故選：D．【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·廣西防城港·期末）已知直線a∥b，A．直線a與c互相垂直 B．直線a與c互相平行C．直線a與c相交 D．直線a與b相交【答案】B【分析】本題主要考查了平行公理的應(yīng)用，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵a∥b，∴a∥即直線a與c互相平行．故選：B．【變式1-3】（2024·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是我們常見(jiàn)的馬路標(biāo)線，工人師傅在劃線時(shí)要保證中間的線與兩邊的線保持平行，小明認(rèn)為我們已知馬路兩邊的線是互相平行的，只要中間的線與兩邊其中任意一條線平行，那么它就一定與另一條線平行，這其中的數(shù)學(xué)原理是．【答案】同平行于一條直線的兩條直線互相平行【分析】本題考查平行公理，掌握同平行于一條直線的兩條直線互相平行是解題的關(guān)鍵．【詳解】中間的線與兩邊其中任意一條線平行，那么它就一定與另一條線平行，這其中的數(shù)學(xué)原理是是同平行于一條直線的兩條直線互相平行，故答案為：同平行于一條直線的兩條直線互相平行．考點(diǎn)二：用直尺、三角板畫(huà)平行線例2.（23-24七年級(jí)下·吉林延邊·期中）如圖，在6×4的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C均為小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成以下操作．(1)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線．(2)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點(diǎn)D．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了作平行線．熟練掌握作平行線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)A作水平線AE即可；（2）格點(diǎn)C向上2個(gè)格點(diǎn)，向左2個(gè)格點(diǎn)為D，連接CD即可．【詳解】（1）解：過(guò)A作水平線AE，如圖1，AE∥BC，AE即為所作；

圖1（2）解：如圖2，格點(diǎn)C向上2個(gè)格點(diǎn)，向左2個(gè)格點(diǎn)為D，連接CD，CD∥AB，點(diǎn)D即為所作；

圖2【變式2-1】（23-24七年級(jí)下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB，BC．利用方格紙完成以下操作：(1)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AE．(2)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與（1）中的平行線相交于點(diǎn)D．(3)用符號(hào)表示出圖中的一組平行線．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)AD∥BC（答案不唯一）．【分析】本題主要考查基本作圖，根據(jù)平行線的定義作圖即可．（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線，在方格中畫(huà)出即可；（2）根據(jù)BC的長(zhǎng)度，可判斷出AD的長(zhǎng)度，從而確定點(diǎn)D，包含C，D兩點(diǎn)的直線即為所求；（3）根據(jù)（1）（2）的圖寫(xiě)出一組平行線即可．【詳解】（1）解：如圖，AE就是所求的與BC平行得直線：

（2）如圖，CF就是所求的與AB平行得直線：

（3）AD∥BC（答案不唯一）【變式2-2】（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）小明利用三角尺和直角尺畫(huà)直線l1的平行線l2，如圖所示，由此可得到的基本事實(shí)是（A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】A【分析】本題考查了畫(huà)平行線，根據(jù)平行線的判定可得答案．【詳解】解：由圖可知，∠1=∠2，∠∴l(xiāng)1∴由此可得到的基本事實(shí)是同位角相等，兩直線平行．故選：A．【變式2-3】（23-24七年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫(huà)出直線AB∥CD，請(qǐng)將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好應(yīng)是（

）①沿直尺下移三角尺；

②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB．A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②【答案】B【分析】本題考查了畫(huà)平行線，根據(jù)同位角相等兩直線平行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是④②③①，故選：B．考點(diǎn)三：平行線的判定例3.（23-24七年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【答案】BE∥CF，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，得到∠EBC=∠BCF是解題的關(guān)鍵．由AB⊥BC，CD⊥BC得到∠ABC=∠BCD=90°，繼而∠EBC=∠BCF，即可求證．【詳解】解：BE∥CF，理由如下，證明，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵∠1=∠2，∴∠EBC=∠BCF，∴BE∥CF．【變式3-1】（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·階段練習(xí)）如圖，已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°，請(qǐng)說(shuō)明AB與DE平行的理由．解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則∠2+∠4=°（

）因?yàn)椤?+∠3=180°（

）所以∠3=∠4（

）因?yàn)椋?/p>

）所以∠1=∠4（等量代換）所以AB∥DE（

）【答案】180，鄰補(bǔ)角的定義，已知，同角的補(bǔ)角相等，∠1=∠3，已知，同位角相等，兩直線平行【分析】此題考查了平行線的判定，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到∠3=∠4，等量代換得到∠1=∠4，則AB∥DE．【詳解】解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則∠2+∠4=180°（鄰補(bǔ)角的定義）因?yàn)椤?+∠3=180°（已知）所以∠3=∠4（同角的補(bǔ)角相等）因?yàn)椤?=∠3（已知）所以∠1=∠4（等量代換）所以AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）故答案為：180，鄰補(bǔ)角的定義，已知，同角的補(bǔ)角相等，∠1=∠3，已知，同位角相等，兩直線平行【變式3-2】（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，已知∠E=∠1，∠3=∠2，試說(shuō)明：AB∥EC．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用∠E=∠1，∠1=∠2，∠3=∠2，等量代換得出∠E=∠3，即可判定．【詳解】證明：∵∠E=∠1，∠1=∠2，∴∠E=∠2，∵∠3=∠2，∴∠E=∠3，∴AB∥EC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【變式3-3】（23-24七年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，已知∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5,∠2=∠4,∠ABC+∠BCD=180°．將下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整．∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥________（________________）∵∠3=∠5（已知）∴AB∥________（________________）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴________∥_________（________________）．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)平行線的判定方法，作答即可．【詳解】解：∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）∵∠3=∠5（已知）∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．考點(diǎn)四：用尺規(guī)作角例4.（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，已知∠AOB請(qǐng)用尺規(guī)作∠A'O'

【答案】詳見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，根據(jù)尺規(guī)作圖依次作兩個(gè)角等于已知角即可作出∠A【詳解】解：如圖，

∴∠A【變式4-1】（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）（1）僅用直尺，在圖（1）的方格紙中按要求完成畫(huà)圖：過(guò)點(diǎn)C，畫(huà)直線CN垂直于AB所在直線．（2）用圓規(guī)和直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．在圖（2）中作圖：在∠AOB的外部作∠OPC，使∠OPC=∠AOB，【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）圖見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)作圖；（2）利用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法作∠AOB=∠OPC，則∠OPC即為所求．【詳解】解：如下圖：（1）CN即為所求；（2）∠OPC即為所求．

【變式4-2】（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，用尺規(guī)作∠DBC=∠C，與邊AC交于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作一個(gè)角等于已知角，利用作一個(gè)角等于已知角的作法，即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)D即為所作．【變式4-3】（23-24八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，利用尺規(guī)作∠CED，使得∠CED=∠A．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交AC、AB于點(diǎn)M、N，再以點(diǎn)E為圓心，同樣的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交EC于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，線段MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，畫(huà)射線ED，則∠CED=∠A，掌握作一個(gè)角等于已知角的作圖方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，∠CED即為所求．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．若∠1=∠2，則DE∥BC B．若∠2=∠4C．若∠1+∠2=180°，則DE∥BC 【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定，正確理解平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．對(duì)于A，通過(guò)推理可得∠2+∠5=180°，同位角互補(bǔ)，不能得到兩直線平行；對(duì)于B，舉反例即可判斷；對(duì)于C，可證明∠2=【詳解】解：A、如圖，∵∠1+∠5=∴∠2+∴不能判斷DE∥所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、如圖，保持∠2的度數(shù)不變，改變∠2開(kāi)口方向，這樣仍滿足題意，但DE與BC不平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、∵∠1+∠5=∴∠2=∴DE∥所以選項(xiàng)C正確，符合題意；D、如圖，∵∠1+∠3=180°，∴∠3=

顯然DE與BC不平行，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選C．2．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）A．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行C．若直線a∥b，b∥D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，平行公理及推論判斷求解即可．【詳解】A：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故A錯(cuò)誤；B：在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，故B錯(cuò)誤；C：若直線a∥b，b∥D：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，故D錯(cuò)誤；故選：C．3．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，直線AB∥CD,CD∥EF，則AB與EF的位置關(guān)系是（

）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能確定【答案】A【分析】本題主要考查了平行公理的應(yīng)用，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD,CD∥EF，∴AB∥即AB與EF的位置關(guān)系是平行，故選：A．4．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期中）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（

）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵【答案】C【分析】本題考查了平行公理的推論，根據(jù)“如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”逐項(xiàng)判斷即可，掌握平行公理的推論是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、a，c都和b平行，應(yīng)該推出的是a∥c，而非B、c，d與不同的直線平行，無(wú)法推出兩者也平行，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、b，c都和a平行，根據(jù)“如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”可推出是b∥D、a，c與不同的直線平行，無(wú)法推出兩者也平行，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．5．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期中）如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（A．∠B=∠D B．∠1=∠2C．∠3=∠4【答案】B【分析】此題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；逐一判定即可．【詳解】A選項(xiàng)，∠B=∠D，∠B和∠D既不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，故不能判定AB∥B選項(xiàng)，∠1=∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，能判定AB∥C選項(xiàng)，∠3=∠4，能判定ADD選項(xiàng)，∠D+∠BCD=180°，能判定AD∥BC，但不能判定故選：B．6．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直線l外任取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)直線l的平行線，可畫(huà)出的平行線有（

）

A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條【答案】B【分析】本題考查的是平行公理．根據(jù)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”解答．【詳解】解：過(guò)直線l外一點(diǎn)Q畫(huà)直線l的平行線，只能畫(huà)一條，故選：B．二、填空題7．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）下列各圖中的直線a,b，用推三角尺的方法驗(yàn)證，其中a∥b的有【答案】①②③【分析】本題考查的是用三角板和直尺判定判定平行線，將三角板的一條邊靠在直線上，用直尺靠在三角板的另一條邊上，固定直尺不動(dòng)，推動(dòng)三角板即可判定．【詳解】解：將三角板的一條邊靠在直線上，用直尺靠在三角板的另一條邊上，固定直尺不動(dòng)，推動(dòng)三角板，可判定三個(gè)圖形中a∥b的有故答案為：①②③．8．（23-24七年級(jí)下·天津河北·期中）已知a，b，c為不重合的三條直線，a∥b，b∥c，則a∥c．理由是．【答案】如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行【分析】本題考查了平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．注意：平行公理的推論可以看作是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時(shí)應(yīng)用．【詳解】解：∵a∥b，b∥c，（已知），∴a∥c（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．故答案為：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．9．（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，則AB與EF的位置關(guān)系是．（填“平行”或“相交”）．【答案】平行【分析】本題主要考查了平行公理，根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行即可得到答案．【詳解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故答案為：平行．10．（23-24七年級(jí)下·安徽淮南·期末）如圖，直線AB，CD被直線CE所截，∠C=100°，請(qǐng)寫(xiě)出能判定A