2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題06 向量專題（新定義）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題06向量專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“如下：對任意的。=（m,〃）,b=（p,g）.令

aOb=mq-np,下面說法錯(cuò)誤的是（）

A.若a與方共線，則aCA=O

B.a3b=b0a

C.對仟意的；l￡R.（/la）o3=4（aO8）.

D.（。0人）+（〃m）=忖~埠

2.（2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中）定義〃③匕=同2一〃心.若向量d=（2,6）,向量〃為單位向量，則"③人

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

3.（2021春?云南昆明?高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯?nèi)任意給定一點(diǎn)0和兩個(gè)不共線的向量e；,4,由

平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個(gè)向量用都可以唯一表示成q,g的線性組合，m=xei+ye2（x,yeR）,

則把有序數(shù)組稱為〃?在仿射坐標(biāo)系[。涓芻]下的坐標(biāo)，記為m=（%），）,在仿射坐標(biāo)系[。弓?]下，〃，

方為非零向量，且a=（M，y）,〃=（/,%），則下列結(jié)論中（）

①〃+〃=（%+%2，乂+必）②若"JL。，則%也+乂為=。

③若口/必，則五必=/乂④8s2.=/2”一號(hào)2

4玉-+x

一定成立的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?高一單元測試）若對于一些橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標(biāo)不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量a=（l，3）,b=（-3,-l）,即為“等模整向量”，那么模為5及的“等模整向量”有（）

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

5.（2017?四川廣元?統(tǒng)考三模）對于門個(gè)向量％生,如q,若存在〃個(gè)不全為0的示數(shù)占冬，自，小，使

得：4%+&4+&%+,+K4=O成立；則稱向量4，%,%，4是線性相關(guān)的，按此規(guī)定，能使向量4=（1,0）,

“2=（1,一1），生=（2,2）線性相關(guān)的實(shí)數(shù)4，*&,則4+4自的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中）對任意兩個(gè)非零的平面向量a,0,定義a4=匆，若平面

PP

向量滿足忖之忖＞0,的夾角且/石和.&都在集合仁l〃wz｝中，則/$=（）

A.~B.1C.—D.—

222

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系

中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點(diǎn)尸作兩坐標(biāo)軸的平行

線，其在x軸和y軸上的截距小人分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記尸（附），則在x軸正方向和），軸正方

向的夾角為。的斜坐標(biāo)系中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)6=60。時(shí)4（1,2）與8（3,4）距離為

B.點(diǎn)A（L2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為H（T,-2）

C.向量：=（今乂）與b=（』，％）平行的充要條件是《再=%百

D.點(diǎn)A（l,2）到直線x+y-l=O的距離為近

8.（2022春?黑龍江大慶?高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，設(shè)。心。），是平面內(nèi)相交成《。工］

角的兩條數(shù)軸，q，G分別是與x,），軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系宜k為。斜坐標(biāo)系，若

0歷=邛+以，則把有序數(shù)對（x，y）叫做向量0M的斜坐標(biāo)，記為QM=a『）.在。="的斜坐標(biāo)系中,

=（;‘孝）”=（&'_）.則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

①d—b=3-石，當(dāng)+1；②同=1；?Qj_b；④方在Q上的投影為一夜

A.②③B.②@C.③④D.②③④

9.（2021春?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，定義〃、。的向量積[。,可=忖?忖sina,a

為當(dāng)°、力的起點(diǎn)相同時(shí)，由a的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與3方向相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對于）=（4凹），

）=（々。2），C=（W，%）的向量積有如下的五個(gè)結(jié)論：

①[溫悶=同；

②["同=[4"];

③小%力一再乂；④[a,〃+e]=[.,/?]+[a,c]；

⑤[a,5+c]=[a,人一c]；

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（)

a

a

h

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（2022春?山西朔州?高一校考階段練習(xí)）定義/肉=卜叫為兩個(gè)向量j6間的“距離”，若向量a，b滿

足下列條件：（ii）a";（適）對于任意的YR,恒有小詞之小，。），現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號(hào)，

①.a_L6②.叫③叫④.雁1⑤.（4+〃）“。叫

則以上正確的編號(hào)為（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

11.（2018?湖南?統(tǒng)考一模）在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“〉”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類似的，我

們這平面向量集合。={a|a=（x,y）,xwR,ywR}上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“定義如下：

對于任意兩個(gè)向量4=（大,y），/=（格力），4>的當(dāng)且僅當(dāng)">42”或“芭=占且）'|>當(dāng)"，按上述定義的

關(guān)系“>”，給出下列四個(gè)命題：

①若q=（l,0）,=（0,1）,0=（0,0）,則

②若q>出，出>/，則4>4；

③若q>/，則對于任意的ac。，4+a>/+。；

④對于任意的向量a>0，其中0=（0,0）,若4>出，則a?q>a?〃2.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

12.（2017秋?河南鄭州?高三鄭州一中階段練習(xí)）若非零向量a,b的夾角為銳角0,且：=8s0,則稱d被力

O

“同余”.已知力被?！巴唷?，則4-匕在。上的投影是（）

A.

13.（2022春?陜西榆林?高一榆林市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)。=（%/）石=3，4）,定義一種向量積：

a?b=（av/）③（偽，4）=（哈她）?已知〃i=（2,；）,〃=信°），點(diǎn)尸3V）在丁=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)。在>=/&）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足OQ=〃??OP+〃（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則>=/（力的最大值A(chǔ)及最

小正周期r分別為（）

A.2,7TB.2,4a

C.y,4^D.7T

14.（2023?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量q與匕的夾角為。，定義。十人=|小皿。+加os4.

已知向量a為單位向量，W卜&，k一0=1，則a十。=（）

A.也B.V2C.叵D.2叢

22

15.（2022春.浙江金華?高一浙江金華第一中學(xué)?？计谥校┯沵in｛乂y｝=""Ay,設(shè)a，6為平面內(nèi)的非零

[x,x<y

向量，則（）

A.min1|a+Z?|,|?-/?||<min||a|,|/?||B.min||a+Z?|2|>?2+/>2

C.min{|n+5|,|G-5|}Nmin{同，愀D.min||tz+/?f^a-bf^<a2+b2

16.（2021?全國?高三專題練習(xí)）對于向量PA（i=l,2，…,?）,把能夠使得附|+|尸4|+“川外|取到最小值的點(diǎn)

產(chǎn)稱為AG=1，2，…,〃）的“平衡點(diǎn)”.如圖，矩形ABCO的兩條對角線相交于點(diǎn)。，延長BC至E，使得BC=CE,

聯(lián)結(jié)4E,分別交加、CO于廣,G兩點(diǎn).下列的結(jié)論中，正確的是（）

A.A。的“平衡點(diǎn)”為0.

B.D、C、E的“平衡點(diǎn)”為！>、E的中點(diǎn).

C.ARG、E的“平衡點(diǎn)”存在且唯一.

D.AB、E、。的“平衡點(diǎn)”必為廣

二、多選題

17.（2022春?浙江?高一期中）如圖所示，在平面上取定一點(diǎn)。和兩個(gè)以點(diǎn)0為起點(diǎn)的不共線向量q,e2,

稱為平面上的一個(gè)仿射坐標(biāo)系，記作｛。：巧4｝，向量。歷=xq+ye；與有序數(shù)組（工，村之間建立了一一對應(yīng)關(guān)

系，有序數(shù)組（x,y）稱為0M在傷射坐標(biāo)系｛。：4勺｝下的坐標(biāo)，記作OM=（x,y）.已知q,6是夾角為。=7

的單位向量，。=。,2）,b=（2,T）,則下列結(jié)論中正確的有（）

B.,卜省

C.aLbD.?在〃方向上的投影向量為

18.（2022春?河南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對任意兩個(gè)非零向量a,b,定義新運(yùn)算:?已知非

零向量肛〃滿足同＞3%且向量皿〃的夾角序會(huì)，若和4（〃區(qū)可都是整數(shù)，則機(jī)③〃的值可

能是：）

A.2B-IC.3D.4

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量q,與是平面。內(nèi)的一組基向量，。為。內(nèi)的定點(diǎn)，對于。內(nèi)任

意一點(diǎn)p,當(dāng)。n=咫+泗2時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對a＞）為點(diǎn)尸的廣義坐標(biāo)?若點(diǎn)的廣義坐標(biāo)分別為（為，%），

（花，匕），關(guān)于下列命題正確的是（）

A.線段A,B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為（受尹■，上產(chǎn)）

B.A,B兩點(diǎn)間的距離為—/『+回一必『

C.若向量。4平行于向量OB，則引力=12,

D.若向量04垂直于向量OB，則占占+、y2=2

20.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)機(jī)〃是大于零的實(shí)數(shù)，向量4=（wwsa,msina）為=（〃8s0〃sin/?）,

其中a,/7e[0,2乃），定義向量（a/=fVwcosy,Vmsiny2=（jGcos§、/￡inf）,記6=。一尸，則（）

￡2

A.（a）?（a）2=a

■-,0

B.(ay(by=\[mncos—

2

C.{aY-(b)2^4x//w7sin2—

4

G_

D.(a)2+(b)2>4\/w?cos

4

21.(2022?浙江溫州?高一永嘉中學(xué)統(tǒng)考競賽)設(shè)0、A、8是平面上任意三點(diǎn)，定義向量的運(yùn)算:

det(OA,O8)=OA、O8,其中由向量OA以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直角得到(若OA為零向量，規(guī)定

04；也是零向量).對平面向量￡、B、人下列說法正確的是()

A.det(a,A)=deta)

B.對仟意千sR.det(a+4^,)=det(a,b)

del仿,c)det|c,^)

C.若〃、b為不共線向量，滿足m+^=c(x,yeR),則x=一/

det(a,adet(a,b)

D.dct(a,Z?)c+det(/>,c)a+det[,a)方=6

22.(2023春?湖北武漢?高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí))對任意兩個(gè)非零的平面向量a和夕，定義

aB=照，若平面向量久6滿足同之也卜0，〃與6的夾角夕￡。*，且〃b和b〃都在集合

{'IMwZ,〃ez}中.給出以下命題，其中一定正確的是()

A.若7%=1時(shí)，則ab=ba=I

B.若/w=2時(shí)，則ab=—

2

C.若加=3時(shí)，則a〃的取值個(gè)數(shù)最多為7

D.若帆=2014時(shí)，則°%的取值個(gè)數(shù)最多為竺日

2

23.(2023?全國?高三專題練習(xí))定義平面向量的一種運(yùn)算“。”如下:對任意的兩個(gè)向量：=(/%),力=(法見)，

11

令㈤。=(石必一七51小七+5跖)，下面說法一定正確的是()

A.對任意的&R,有%)*

B.存在唯一確定的向量工使得對于任意向量〃，都有溫3=為：=:成立

C.若〃與人垂直，則與力岷）共線

D.若〃與E共線，貝與h（后：）的模相等

三、填空題

24.（2023春?江蘇泰州?高一靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量d與b的夾角為。，定義力與6的“向量積”，

axb是一個(gè)向量，它的模等于向司=|珊sin。，若〃=（1,a，b=（-瓜-1）,則,xq=.

25.（2018春?安徽蕪湖?高一蕪湖一中校考階段練習(xí)）在平面斜坐標(biāo)系x0y中，Z^=60°,平面上任一點(diǎn)。

關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若。P=%+g（其中平6分別為X，＞軸方向相同的單位向量），

則P的坐標(biāo)為（%,），），若P關(guān)于斜坐標(biāo)系心的坐標(biāo)為則|。耳=

26.（2019春?安徽蕪湖?高一校聯(lián)考期中）定義〃*力=厘，若）=（1,2）,6=（3,-2）,則與〃2方向相反的

ah

單位向量的坐標(biāo)為.

27.（2022秋?湖南長沙?高三校考階段練習(xí)）已知對任意平面向量A8=（x,y）,把他繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)6角得到向量4P=（vcos0-ysin0,xsin0+ycos0）.如圖所示,頂角Z.Q=120°的等腰三角形PQR的頂點(diǎn)尸、

。的坐標(biāo)分別為P（LO）、Q（3,J5）,則頂點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

28.（2022春?北京海淀?高一?？计谥校┰O(shè)平面中所有向量組成集合C,c為C中的一個(gè)單位向量，定義

網(wǎng)切=-￡+2（￡拓”.則下列結(jié)論中正確的有（只需填寫序號(hào)）.

①若則尸（布）?尸（萬）=稱%

②若/eC,伉4=5,則網(wǎng)尸（9）=尤；

③若d=(l,O),v=(O,l),尸僅)=",則e-有唯一解與，興.

/

29.(2022春?江蘇南通?高一海安市曲塘中學(xué)校考期中)小顧同學(xué)在用向量法研究解三角形面積問題時(shí)有如

下研究成果：若04=(%,X),。月=伍，%)，則與加=；歸力一超川?試用上述成果解決問題：已知A(L1),

B(2,3),C(4,5),則S.c=.

30.(2022春?上海寶山?高一上海交大附中?？茧A段練習(xí))關(guān)于任意平面向量可實(shí)施以下6種變換，包括2

種u變換和4種卬變換

v,：模變?yōu)樵瓉淼?倍，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。；

v2：模變?yōu)樵瓉淼膅倍，同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。；

“：模變?yōu)樵瓉淼囊贡?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。；

叱：模變?yōu)樵瓉淼难叮瑫r(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。；

嗎：模變?yōu)樵瓉淼囊贡?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。；

切：模變?yōu)樵瓉淼?倍，同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。.

記集合s=N，a件嗎，明，卬/，若每次從集合S中隨機(jī)抽取一種變換.經(jīng)過〃次抽取，依次將第i次抽取的

變換記為4?=0，1，2,…,〃)，即可得到一個(gè)〃維有序變換序列，記為。(如外，…，％)，則以下判斷中正確的

序號(hào)是.

①單位向量i=(U))經(jīng)過2022次y變換后所得向量一定與向量。=(0,1)垂直；

②單位向量:(1.0)經(jīng)過2022次w變換后所得向量一定與向量。=(0,1)平行；

③單位向量\(1.0)經(jīng)過G6變換后得到向量)=(-1,0),則Ge中有且只有2個(gè)y變換；

④單位向量”(1.0)經(jīng)過G?變換后不可能得到向量力=(1,1)；

⑤存在小使得單位向量，=(1，0)經(jīng)過G,次變換后，得至IJ1=(2022,2022).

31.(2022春?湖南株洲?高一株洲二中?？茧A段練習(xí))設(shè)V是已知平面M上素有向量的集合，對于映射

記日的象為/(d).若映射廣丫一丫滿足：對所有,、及任意實(shí)數(shù)人4都有

fSa+"b)=WS)+“(b),則/稱為平面"上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：

①設(shè)/?是平面M上的線性變換，a、OeV，則〃。+6)=/(。)+〃6)；

②若4是平面M上的單位向量，對deV,設(shè)/（〃）=〃+?,則，是平面”上的線性變換；

③對awV,設(shè)/3）=-".則/'是平面加上的線性變換：

④設(shè)/是平面M上的線性變換，atV,則對任意實(shí)數(shù)上均有/（3）=4（。）.

其中的真命題是（寫出所有真命題的編號(hào)）.

32.（2021春?重慶南岸?高一重慶第二外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“※二

一一4-

記族b=acose+）sin。，其中。是非零向量。力的夾角，若百，電均為單位向量，且69=丁則向量q※/

與4※（-e；）的夾角的余弦值為.

33.（2021春?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）設(shè)必、3,是平面內(nèi)相交成120。角的兩條數(shù)軸，q,。；分別是與x軸，

y軸正方向同向的單位向量，若向量OP=xq+*2,則把有序數(shù)對（x,y）叫做。尸在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假

設(shè)OP=（2,2），則的大小為.

34.（2018春?浙江臺(tái)州?高一臺(tái)州中學(xué)校考期中）已知向量d及向量序列：嗎，嗎，滿足如下條件：

|=2口卜2,4?=1,且％一4二=1（〃22,〃￡1＜）,當(dāng)1?女49且2€1＜時(shí)，的最大值為.

35.（2017春?北京東城?高二統(tǒng)考期末）已知平面向量。=（加,〃），平面向量b=（p,q）,（其中見〃，〃應(yīng)￡Z）.

定義：a?b=（mp-nq,mq+np）,若a=（1,2）,/?=（2,1）,則;

若a0〃=（5,0）,且忖＜5,W＜5,則",b=（寫出一組滿足此條件的a和6即可）.

36.（2014?安徽?高考真題）已知兩個(gè)不相等的非零向量ag兩組向量：％.，嗎，均'尊帝和品，地,叫黑；陽均

由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成.記S=.qI-X-"7：：:-二iJ-1：，S/表示S所有可能取值中

的最小值.則下列命題的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①5有5個(gè)不同的值.

②若則S―與口無關(guān).

③若5川2,則S―與口無關(guān).

④若E＞小，則S-＞0.

2

⑤若W=2|4，Smin=8|a|,則［與Z的夾角為:

37.（2021春?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：對于實(shí)數(shù)用和兩個(gè)定點(diǎn)M、N,在某圖

形上恰有〃個(gè)不同的點(diǎn)玖”123,川），使得用=稱該圖形滿足“〃度冏合】若在邊長為4的正

方形A6CO中，BC=2BM，DN=3NA，且該正方形滿足“4度冏合”，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

38.（2022?全國?高三專題練習(xí)）定義兩個(gè)向量組X=（x，X2，W），y=（%%，%）的運(yùn)算

X-y=x1yI+x^y2+xy-y3，設(shè)q?9為單位向量，向量組X=（與巧,芻）,卜=（升，％，%）分別為。?，色的

一個(gè)排列，則x-y的最小值為.

39.（2022?北京順義?統(tǒng)考二模）向量集合5={m=（乂），）,居川/?},對于任意人派5,以及任意丸耳?！唬?/p>

都有/ia+（l-4）beS,則稱集合S是“凸集”，現(xiàn)有四個(gè)命題：

①集合M={4,=（乂y）,'之"2}是“凸集,,；

②若S為“凸集”，則集合N={2*C5}也是“凸集”；

③若AM都是“凸集”，則A?&也是“凸集”；

④若A，4都是“凸集”，且交集非空，則AcA?也是“凸集”.

其中，所有正確的命題的序號(hào)是.

四、解答題

40.（2022秋?河北滄州?高二?？奸_學(xué)考試）平面內(nèi)一組基底04,。8及任一向量

OC,OC=xOA+yOB^yeR）f若點(diǎn)C在直線AB上或在平行于48的直線上，我們把直線AB以及與直線

A3平行的直線稱為“等和線”，此時(shí)x+y為定值，請證明該結(jié)論.

41.（2022秋?上海嘉定.高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，定義非零向量OM=（冬。）的“相伴函數(shù)”為y=osinx+bcosx（xwR）,向量OM=3,加稱為函數(shù)

y=a$inx+〃cosx（xeR）的“相伴向量”；記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S

（1）已知aeR,Kr）=cos（x+a）+2cosx,若函數(shù)〃（幻為集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍；

⑵已知點(diǎn)M（a向滿足條件：a=3,OvbWx/5,若向量OM的“相伴函數(shù)"V=g（x）在％=%處取得最大值，

當(dāng)b在區(qū)間（0,6］變化時(shí)，求tan2%的取值范圍；

（3）當(dāng)何量OM=（6,1）時(shí)，“相伴函數(shù)”為f（x）,若xc0,學(xué)，方程r（x）+（2-a）/（x）+a-3=0存在4個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

42.（2022春?上海奉賢?高一?？计谀τ谝粋€(gè)向量組…以“（〃之，,令”=4+%+…+勺，

如果存在使得14Hq-可，那么稱《是該向量組的“好向量”

⑴若4是向量組4,電，生的“好向量”，且q=（〃，x+〃），求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

⑵已知％,%,%均是向量組4，%，4的.'好向量”，試探究4，%生的等量關(guān)系并加以證明.

43.（2021春?山西臨汾?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，G分別是

A。，BC的二等分點(diǎn).

（1）EF,EG有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.

（2）已知對任意平面向量MN=（x,y）,把MN繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕角得到向量

MP=（xcos0-ysin<9,xsin<9+ycos0）,現(xiàn)做把點(diǎn)N繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)P.已知正方形

A股⑦中，點(diǎn)40.0）,點(diǎn)6（2,0）,0（0,2）,把點(diǎn)G繞點(diǎn)七沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)g后得到點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

44.（2021春?四川成都?高一四川省成部市鹽道街中學(xué)校考階段練習(xí)）定義非零句量0M=（。,3的“相伴函數(shù)”

為f（x）=asinx+Ocosx（xwR）,向量0M=（4,匕）稱為函數(shù)/（力=45抽工+。881（不￡2的“相伴向量”（其

中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)''構(gòu)成的集合為S.

⑴設(shè)Mx）=6cos1+弓）+385（方-工）rwR）,請問函數(shù)力（X）是否存在相伴向量OM，若存在,求出與OM

共線的單位向量；若不存在，請說明理由.

（2）已知點(diǎn)M（a,b）滿足：向量OM的“相伴函數(shù)”/（x）在％處取得最大值，求由2Ao的取值

范圍.

專題06向量專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“。”如下：對任意的。=（根，〃）*=（〃，q）.令

aCb=mq-np,下面說法錯(cuò)誤的是（）

A.若a與加共線，則ab=O

B.ab=b0a

C.對任意的;leR,（/la）05=之

D.（aQ〃）+（a

【答案】B

【分析】根據(jù)給出的運(yùn)算的新定義，結(jié)合已知的向量的數(shù)量積公式及模長公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】若。與b共線，則有a:_Z?=〃?g-叩=0,故A正確；

bja=pn-qtn,MaQb=mq-np,a~b^ba?故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

對任意的2wH,（2。）b=Amq-Anp,

又aOb=mq-叩，：.（b）=癡勺-A叩,故C正確；

??,（aT（a.b）=（mq叩+（/??/?Inq^=m2q2+n2p2+m2p2TrTq1,

又qZ>|'=（7M2+n2）（p2+）=m2p2+m2q2+n1p2+n2q2,故D正確.

故選：B.

2.（2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中）定義力.若向量4二（2,逐），向量人為單位向量，則〃⑥b

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

【答案】B

【分析】求得同，設(shè)<ag>=e,整理可得。合白為關(guān)于。的關(guān)系式，進(jìn)而求解.

【詳解】因?yàn)閮x=（2,司，所以同=口。時(shí)=3,

設(shè)力>=。，6e[0,句，由向量g為單位向量，

所以4③b=\d^-ab=32-3xlxcos<a,Z?>=9-3cos^,

因?yàn)閏osee[—l/],所以4③hw[6,12],

故選：B

3.（2021春?云南昆明?高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯?nèi)任意給定一點(diǎn)。和兩個(gè)不共線的向量e；,“由

平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以唯一表示成q,6的線性組合，"7=xq+）宏2（x，y￡R），

則把有序數(shù)組（x,y）稱為用在仿射坐標(biāo)系[。咫/]下的坐標(biāo)，記為〃?=*,y），在仿射坐標(biāo)系[。；6勺]下，。，

b為非零向量，且i=（ax）,%=（a力），則下列結(jié)論中（）

①白+6=（吞+々,乂+必）②若a_Lb,則%與+%>2=。

▲,▲xx,-y.Vo

③若□/區(qū)，則占%=再到④cosi'，:/22

一定成立的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用向量的新定義結(jié)合向量的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】在仿射坐標(biāo)系[。0,與]下，設(shè)（不弓"，因?yàn)椋?（A，y）,}=（.，必），所以

h=x2ex+y2e2,所以a+b=（x+X）q+（）1+加）62，所以+/，X+g），①正確：

若aJ_5，則〃力=0，所以4心=（司6+/2>（通白+%62）=陽426|2+（百%+>丙）4仁+丫跖小，

e

=卬:?|4『+（Xy2+*）\\\同cose+了防k|~=°，故②不一定正確;

因?yàn)榱Ρ?，所以存在唯一的?shí)數(shù)4，使得>=肪，則耳0+了?=丸124+,'2/），所以司=九1兇二尤必，所

以占以=X2乂，所以③正確；

a?b.-2*.2

cos〈a,歷=||’由②知，a-b=x{x2e^^-[xxy2+e2+yly2e2',所以④不一定正確，

所以正確的有2個(gè),

故選：B

4.(2022?高一單元測試)若對于一些橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標(biāo)不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量”=(1,3)為=(-3,-1),即為“等模整向量”，那么模為5&的“等模整向量”有()

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

【答案】D

【分析】把5五=同=J(±iy+(±7)2=J(±5『+(±5)2,分別寫出向量即可.

【詳解】因?yàn)?人=同、J(±l)2+(±7)2=J(±5)2+(±5尸

所以模為5五的等模整向量有

4=(1?7)，4=(1,-7),ciy=(-1,7),a4=(-1,-7)

4=(7/)，％=(7,-1),”(-7,1),^=(-7,-1)

%=(5,5)，=(5,-5),au=(-5,5),a]2=(-5,-5)

所以模為5板的等模整向量共有12個(gè).

故選：D

【點(diǎn)睛】在求向量模的有關(guān)問題時(shí)通常的處理方法有:

(l)a2=a?a=|a|2或忖：

2

(2),±0=土b)2=y]a±2ah+b；

⑶若a—(x,y),則|a|—^Jx2+y2.

5.(2017?四川廣元?統(tǒng)考三模)對于〃個(gè)向量q,%,%若存在麓個(gè)不全為0的示數(shù)4,心，&,?,心，使

得：g+&4+%%++knan=0成立；則稱向量/出，%，4是線性相關(guān)的，按此規(guī)定，能使向量q=(1,0),

生=(1,-1),q=(2,2)線性相關(guān)的實(shí)數(shù)。內(nèi)冬，則K+4%的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

k+k+2k=0

【分析】由題可得3+內(nèi)生+切廣。，結(jié)合條件可得Y'即得.

【詳解】由題可知4%+心〃2+勺％=0，4=(1,0),4=(1,-1),1=(2,2),

勺+&+2占=0

所以

4xO+&(-1)+2攵3=0

兩等式兩邊相加可得K+4%=0.

故選：B.

6.（2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中）對任意兩個(gè)非零的平面向量a,/5,定義aB=端,若平面

PP

向量也滿足忖訓(xùn)>0,9的夾角夕電且.8和.&都在集合（自〃回中，則占方=（）

A.!B.IC.-D.一

222

【答案】C

【分析】由題意可可設(shè)meZ,teZ,a6=胃,ba=j,^cos2^=y對小,，進(jìn)行賦值即可

得出小，/的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】解:

又由I。|…聞>0,可設(shè)機(jī)wZ,teZ,

令4b==,ba=4，^./?>/>0

22

又夾角q。（）所以cos?夕吟u，

對機(jī)，f進(jìn)行賦值即可得出加=3,1=1

所以db===*.

故選：C.

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系

中兩條坐標(biāo)軸不垂宜，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點(diǎn)尸作兩坐標(biāo)軸的平行

線，其在x軸和），軸上的截距a,b分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記尸（?；?，則在x軸正方向和y軸正方

向的夾角為，的斜坐標(biāo)系中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

y

A.當(dāng)6=60。時(shí)A(l,2)與8(3,4)距離為26

B.點(diǎn)4(1,2)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為4(-1,-2)

C.向量i=(XQ1)與&=(七,>2)平行的充要條件是用2=%%

D.點(diǎn)A(l,2)到直線x+y-l=0的距離為&

【答案】D

【分析】根據(jù)“斜坐標(biāo)系’’的定義，結(jié)合向量運(yùn)算對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設(shè)％軸正方向的單位向量為耳，>軸正方向的單位向量為e；，

對于A選項(xiàng)：由已知得樂6)=60。，所以《烏=以嗎=熱

由A(1,2),B(3,4)及斜坐標(biāo)的定義可知。4=0+么,08=招+狷，

=+e

|A@=|OB-O/4|=2pj+^2|2)=2/；+2%?s+4=2J1+1+1=2y/3，

故A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng):根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義可知:點(diǎn)A(l,2),則OA=q+%,設(shè)A(l,2)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為A(x,y),

則OA'=-OA=-e,~2e2=xex+ye2,

―—fx=-I

由于qg不共線，所以|),=_2，

故B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)：a=xxe^+y,e2,b=x2et+y2e2,

若￡是零向量，則;〃力成立，同時(shí)％=乂=0，所以不必=/,成立，

11

此時(shí)allb<=>x1y2=x2)\；

若￡是非零向量，則￡〃方=存在非零常數(shù)31$<=>x2el+y2e2=Xxxex+A,y\e2<=><_；=

11

Ax2yl=Ax]y2oy）x2=y2x},所以〃〃。<=>再％=￡）1.

故C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)：設(shè)直線4+y-1=0上的動(dòng)點(diǎn)為尸（乂y）.OP=咫+），/,

因?yàn)閤+y-l=0,所以x+y=l,

設(shè)加=e；,。力=e；,則點(diǎn)P（M），）在直線C。匕

所以直線x+y-1=0過點(diǎn)C（l,0）,。（0,1）,

因?yàn)?/p>

=q+2e2,M|AC|=|0C-0A|=2^2|=2,

卜￡）|=1Of）-0/4]=k+6]=J（q+S）=&，

由于pq=|。4=1,（0Coo）=60°,所以「百=1.

所以,?！?歐]=罔,所以AOJ.CO，

所以點(diǎn)4到直線x+y-1=0的距離為卜4二6，

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D

8.（2022春?黑龍江大慶?高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成

角的兩條數(shù)軸，q，G分別是與x,），軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系宜k為。斜坐標(biāo)系，若

0歷=邛+以，則把有序數(shù)對(x，y)叫做向量0M的斜坐標(biāo)，記為QM=(x,『).在。="的斜坐標(biāo)系中,

=&'孝)*=(&'_).則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是()

①j二3一石，孚+11②同=1;③皿；④方在Q上的投影為一夜

A.②③B.②@C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】借鑒單位向量夾角為9(r時(shí)的情況，注意夾角為。=f；

4

22

a-b=(xxe^^y[e2)-(x2e^y2e2)=(xx-x2)el+(y)-y2)e2；|?|=7^=7%+y；

數(shù)量積為=+乂62>(%2《+%/)；

5在￡上的投影為|4cos6=M#j=^.

【詳解】對于①..一匕=(gc+^^e2)_(6G-?2)=(3-6鳩+(^^+1把2，

所以。-6=上嶺),故①正確；

對于②?卜卜J(gq+*弓)2=J；e：+2xgx孝q-e2+：e22=Jl+^cos^=J1+半>1，故②錯(cuò)誤;

對于③.ab=(—e1+^-€2)-(>/3￡1-e2)=^--^-+e2-e2=0+-^-^0,故③錯(cuò)誤；

22222

72

對于④.占在￡上的投影為整=各>0，故④錯(cuò)誤,

H\a\

故選：D

9.（2021春?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，定義。、。的向量積［。,可=聞忖011。，a

為當(dāng)￡、力的起點(diǎn)相同時(shí)，由a的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與3方向相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對于”=（X1,y）,

力=（0%），。=（七,%）的向量積有如下的五個(gè)結(jié)論:

①［加同=沏［a間；②["同=[4"]；

③［a,小王%一工2%；④+cj=[a,可+[a,c]；

⑤［a,5+c］=［ag-c］；

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（)

-------A

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】結(jié)合題目中的新定義的概念逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.

【詳解】①九〃至少有一個(gè)為。時(shí)，顯然成立；

都不為0時(shí),

若2//>0,則/?11?=%〃?沙卜皿0=4/［4,力］；

若2//<0,則［癡,〃可=,〃］.|聞與113_乃）=即忖.懷$10=沏［4,可；

綜上：［&/,同=初［。,可，故①正確；

②［。同=忖,Msina,忸,a］=%..sin（-a）=-M?忖sina,所以［a,可工［Aa］,故②錯(cuò)誤；

③,同第1卜強(qiáng)二"%一占）;，故③正確；

X2%

④由③知：［。出+可=%回+必）-%（再+丹）=石、2fy+石%-劭=［〃同+［方同，故④正確;

⑤［2出+可=辦（%+%）-%（馬+動(dòng)，［?-0=芭（%-%）-%（馬一巧），石（%+%）—玳凡+丹）與

%|（%-%）-,（9-七）不一定相等，故⑤錯(cuò)誤；

故選：c.

10.（2022春?山西朔州?高一?？茧A段練習(xí)）定義d（a,b）=|a-4為兩個(gè)向量￡,6間的“距離”，若向量入坂滿

足下列條件：（i）M=l;5）叱加⑺）對于任意的小火，恒有4，協(xié)）之小，沖，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號(hào),

①.a_L6②/叫③④.忖21⑤.（a+/?）_!_（4-。）

則以上正確的編號(hào)為（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得（。-可之,叫I轉(zhuǎn)化為/-2加0+（24.力-1）之。對于任意的能/?恒成立，即△4（），

整理得（。力-1）2^0,再利用向量的數(shù)量積逐一判斷即可.

【詳解】由于小乃）=卜-小又對于XR,恒有水,仍）之小力），

顯然有仍卜卜一q,即（”_法了之（〃_3）2,

則，2―2加4+（2?$_1/0對于任意的恒成立，

顯然有△=（-%/）2-4（2a-b-l）W0成立，

即則°力=1，故序號(hào)①錯(cuò)誤，

進(jìn)而a.b=”.陣€?。=1,

??書=1，于是8S。=同G,得忖21,即序號(hào)④正確.

再由i力一1=0得＞力-j=o，得可￡-q=。，

：.bl（a-b）t顯然序號(hào)②正確.從而序號(hào)③錯(cuò)誤,

再由②?工人故序號(hào)⑤錯(cuò)誤.

綜上婦本題正確的序號(hào)為②④.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題命制是以新定義為背景，考查向量長度及數(shù)量積等知識(shí)概念，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)換、不等式

恒成立問題，符合以生考熟的高考理念，考查知識(shí)內(nèi)容源于教材，試題面向全體考生，不同思維能力層次

的考生度可以利用熟悉的通法來解決問題，從而增強(qiáng)考生的自信心，有利于考生正常發(fā)揮，屬于中檔題.

11.（2018.湖南.統(tǒng)考一模）在實(shí)數(shù)集A中，我們定義的大小關(guān)系“〉”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類似的，我

們這平面向量集合。={a|a=（x，y），xwR，），R}上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為定義如下：

對于任意兩個(gè)向量q=（和y），/=（々，%），彳＞2當(dāng)且僅當(dāng)“百＞巧”或“％=/且%“2”，按上述定義的

關(guān)系”＞”，給出下列四個(gè)命題：

①若q=（1,0）,4=（0/），0=（0,0）,則q＞e；＞6；

②若4＞。2，a2＞a3,則4＞/；

③若4＞出，則對于任意的aw。，+a＞a2+a；

④對于任意的向量a＞0，其中0=（0,0）,若4＞生,則aqAa。％.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】按照新定義，對每一個(gè)命題進(jìn)行判斷.

【詳解】對于①，由定義可知①是正確的；

對于②，中q=（N，y）,q=（毛,必）嗎=6，%），滿足已知4＞/，則%之“2之七，只要有一個(gè)沒有

等號(hào)，則一定%＞七，若％=芻，則都滿足正確；

對于③，???%＞與=＞%