2025版高中數(shù)學課時作業(yè)14平面與平面垂直的判定新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時作業(yè)14平面與平面垂直的判定基礎鞏固1．下列說法：①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角是從棱上一點動身，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角；③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系．其中正確的個數(shù)是()A．0 B.1 C．2 D.3解析：依據(jù)二面角定義知①②③都不正確．選A.答案：A2．如圖1所示，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論中正確的是()圖1A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：∵AB＝CB，AD＝CD，E為AC中點．∴AC⊥DE，AC⊥BE，又BE∩DE＝E，∴AC⊥平面EDB.又AC?平面ABC，AC?平面ADC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.答案：C3．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β解析：由a∥α，知α內(nèi)必有直線l與a平行，而a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β.選D.答案：D4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：如圖2所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，O為BD中點，圖2∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).答案：C5．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，則下列四個結(jié)論中錯誤的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：由DF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A結(jié)論正確；作PO⊥平面ABC，垂足為O，則點O在AE上，則DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B結(jié)論正確；由DF⊥平面PAE，可得平面PAE⊥平面ABC，故D結(jié)論正確．易知C結(jié)論錯誤．答案：C6．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：________．(用序號表示)解析：當m⊥α，m⊥n時，有n∥α或n?α.∴當n⊥β時，α⊥β，即①③④?②.或當α⊥β，m⊥α時，有m∥β或m?β.∴當n⊥β時m⊥n，即②③④?①.答案：①③④?②(或②③④?①)實力提升1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N、P分別是所在棱的中點，則下列圖形中能推出面MNP⊥面BB1D1D的有()圖3A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：把過M、N、P的截面補充完整，結(jié)合面面垂直判定定理即可推斷①②③正確．答案：C2．(2024年吉林一中)在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC是()A．直角三角形 B.等腰三角形C．等邊三角形 D.等腰直角三角形解析：過點A作AH⊥BD于點H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，則AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選A.答案：A3．已知α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，A，B?l，設直線AB與α、β所成的角分別為θ1，θ2，則()A．θ1＋θ2＝90° B.θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D.θ1＋θ2<90°解析：如圖4，作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，則∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.圖4答案：C4．如圖5，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點，則下面結(jié)論中錯誤的是()圖5A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角解析：平面PAB與平面ABC交于AB，由于GE，EF未必與棱AB垂直，故不肯定是二面角的平面角．答案：D5．如圖6，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于A，B兩點)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，有以下四個結(jié)論：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的結(jié)論是________．(填序號)圖6解析：由題意可知PA在平面MOB內(nèi)，所以①不正確；因為M為線段PB的中點，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC內(nèi)，所以MO∥平面PAC，所以②正確；當OC與AB不垂直時，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正確；因為AB是直徑，所以BC⊥AC，又PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是②④.答案：②④6．三棱錐P-ABC的兩個側(cè)面△PAB與△PBC都是邊長為a的正三角形且AC＝eq\r(2)a.則平面ABC與平面PAC的位置關系是________．圖7解析：如圖7，取AC的中點O，連接PO、OB，由題意知PO⊥AC，PO＝eq\f(\r(2),2)a，PB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC，又∵PO?平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC.答案：垂直7．如圖8所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).圖8(1)求證：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解：(1)證明：如圖8所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解：由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，∠PBA＝60°，故二面角A-BE-P的大小是60°.8．如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點．圖9(1)求證：平面MNF⊥平面ENF；(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．解：(1)證明：連接MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點，圖10∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形．∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NE∩NF＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解：在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點G，連接MG.由(1)得MN⊥平面NEF，又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，又MG?平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN為